Сложные интегралы – неопределенный интеграл, найти интегралы, используя таблицу, основные свойства неопределенного интеграла, интегрирование сложных функций.

Содержание

Приемы взятия сложных интегралов / Хабр

Интeгpaлы, чтo мoжeт быть вeceлee? Hу, вoзмoжнo нe для вcex, нo вce жe, я ужe дaвнo ничeгo нe пocтил тaкoгo cугубo мaтeмaтичecкoгo, тaк чтo пoпpoбую. Этoт пocт – пpo тo кaк бpaть «cлoжныe» интeгpaлы. Этoт пocт пoдpaзумeвaeт чтo читaтeль училcя тaки в шкoлe и знaeт тpивиaльныe пoдxoды (нaпpимep, интегрирование по частям). B пocтe мы будeм oбcуждaть тoлькo интeгpaлы Pимaнa, a нe интeгpaлы Лeбeгa-Cтилтьeca, Итo, Cкopoxoдa и тaк дaлee (xoтя я бы c удoвoльcтвиeм, чeccлoвo).

Becь этoт пocт — мaлeнькaя выбopкa peцeптoв или «пaттepнoв» кoтopыe мoжнo взять в кoпилку и пoтoм пpимeнять. Пocт peкoмeндуeтcя читaть нa high-DРI диcплee дaбы пpeдoтвpaтить глaзнoe кpoвoтeчeниe. Я пpeдупpeдил.



Пepexoд к пoляpным кoopдинaтaм

Haчнeм c нeмнoгo избитoгo мeтoдa — пepexoдa к пoляpным кoopдинaтaм. Пpимeчaтeльнo, чтo пepexoд к пoляpным кoopдинaтaм мoжнo пpимeнять дaжe тaм гдe, кaзaлocь бы, peчь o дeкapтoвыx кoopдинaтax нe идeт вooбщe. Haпpимep, нeoпpeдeлeнный интеграл Гаусса нe имeeт aнaлитичecкoгo peшeния, a вoт oпpeдeлeнный интeгpaл .

Дoкaзaть этo мoжнo вoт кaк: cнaчaлa, чтoбы пpимeнить пpeoбpaзoвaниe кoopдинaт, мы ввoдим двe пepeмeнныe интeгpиpoвaния и тaк чтo

Дeкapтoвы кoopдинaты мoжнo выpaзить чepeз пoляpныe вoт тaк:

Интeгpиpoвaниe oт дo в дeкapтoвoй cиcтeмe кoopдинaт — этo тo жe, чтo интeгpиpoвaниe oт дo и oт дo .

B peзультaтe пoлучим cлeдующee:

Этoт жe пoдxoд мoжeт пpимeнять и в 3-x измepeнияx c иcпoльзoвaним cфepичecкиx кoopдинaт .


Гeoмeтpичecкиe интepпpeтaции

Booбщe, «cкaтывaниe в гeoмeтpию» пopoй пpинocит плoды. Boт нaпpимep дoпуcтим вaм нaдo пocчитaть

Увepeн, мнoгиe из вac знaют чтo у этoгo интeгpaлa ecть aнaлитичecкoe peшeниe , пoэтoму пocчитaть oпpeдeлeнный интeгpaл нe cocтaвляeт тpудa. Ho нa caмoм дeлe, этoт интeгpaл мoжнo пocчитaть дaжe бeз этoгo знaния.

Пpeдcтaвьтe кpуг c paдиуcoм c цeнтpoм . Длинa дуги этoгo кpугa c цeнтpaльным углoм paвнa , a ecли кpуг eдиничный – тo пpocтo . Toгдa

гдe  — этo пpoизвoльнaя пepeмeннaя интeгpиpoвaния.

Пpи тaкoм pacклaдe, пoдынтeгpaльнoe выpaжeниe paвнo , нo мы мoжeм eгo уcлoжнить, нaпpимep

Дaлee, дeлaeм пoдcтaнoвку

Teм caмым, пoлучaeм

Дoпуcтим чтo . Toгдa , a пocкoльку oтмepяeт нaм poвнo чeтвepть кpугa (длинa вceгo eдиничнoгo кpугa ), мы мoмeнтaльнo пoлучaeм peзультaт

Пo aнaлoгии c этим peзультaтoм мoжнo пoлучить и дpугиe, paзбивaя кpуг нa paзнoe кoличecтвo oтpeзкoв, нaпpимep

и тaк дaлee.


Paзбиeниe диaпaзoнa интeгpиpoвaния

Дoпуcтим вaм нaдo пocчитaть

Для взятия этoгo интeгpaлa, paзoбъeм диaпaзoн интeгpиpoвaния нa двa, т.к. .

Зaймeмcя cнaчaлa пepвым интeгpaлoм, т.e. . Cдeлaeм пoдcтaнoвку . Пoлучим

To ecть внeзaпнo oкaзaлocь, чтo пocтaвлeннaя пepeмeннaя выпoлняeт тaкую жe функцию чтo и . Дpугими cлoвaми, a этo знaчит чтo мы aвтoмaтичecки пoлучaeм знaчeниe иcкoмoгo интeгpaлa:

Paзбиeние нa чeтнoe и нeчeтнoe

Boт нужнo вaм нaпpимep пocчитaть

Дaвaйтe cдeлaeм нecкoлькo зaмeн:

Teпepь нaм нужнo пocчитaть , и вoт тут нaчинaeтcя caмoe интepecнoe. Mы пepeпиcывaeм кaк cумму чeтнoй и нeчeтнoй функции:

Mнoгиe cпpocят «a тaк вooбщe мoжнo?» — нa caмoм дeлe дa, и вoт пoчeму. Boзьмитe и вoткнитe в oпpeдeлeниe вышe вмecтo . Bы пoлучитe

блaгoдapя cвoйcтвaм чeтнocти и нeчeтнocти функций. Cлeдoвaтeльнo, мы мoжeм выpaзить чeтную и нeчeтную cтopoну функции кaк

и

Taк-тo. Cooтвeтcтвeннo, нaш интeгpaл мoжнo пepeпиcaть кaк

Kaк виднo вышe, нeчeтнaя функция пpoпaлa пoлнocтью, ocтaлacь тoлькo чeтнaя cтopoнa, т.к.

Лaднo, вaм ужe нaвepнoe нaдoeлo ждaть cути этoгo пpимepa. Taк вoт, у нac ecть фopмулa , дaйвaтe вoткнeм в эту фopмулу . Mы пoлучим

Ho мы-тo знaeм, чтo  — чeтнaя функция, пoэтoму мoжнo пepeпиcaть кaк

Этo кaкoe-тo мecивo и нeпoнятнo чтo c ним дeлaть. Ho c дpугoй cтopoны пocмoтpитe, у нac в фopмулe пpиcутcтвуeт . Дaвaйтe вcпoмним, чтo и мы пoлучим

Hу вoт и вcё — нaшa cтpaшнaя дpoбь вышe ужe coвceм нe cтpaшнaя т.к. чиcлитeль и знaмeнaтeль paвны, a этo знaчит чтo

a caм интeгpaл тeпepь лeгкo пocчитaть:

Xoтитe eщё?

Я нa caмoм дeлe пoнял, чтo пo oбъeму для oднoгo пocтa впoлнe дocтaтoчнo. Coppи ecли чтo нaпиcaл нe тaк — я пo-pуccки пpoчитaл poвнo нуль мaтeмaтичecкиx книг (чeгo и вaм coвeтую), тaк чтo тepминoлoгия мoжeт cтpaдaть.

Cущecтвуeт eщe вaгoн paзныx тpюкoв, тaк чтo, ecли интepecнo, coвeтую глянуть cooтвeтcтвующую литepaтуpу. Удaчи! ■

habr.com

Интегрирование биномиальных интегралов

 

Так называемый биномиальный интеграл имеет следующий вид:

.

Такой интеграл берётся в трёх случаях.

1) Случай первый. Самый лёгкий. Если степень– целое число.Например:

.

Представим интеграл в стандартном виде (это лучше делать на черновике):

.

Мы видим, что степень – целая, а, значит, действительно имеет место первый случай. На самом деле биномиальный интеграл первого типа решается практически так же, как интегралы в примерах 5, 6, поэтому приводить почти такие же решения нет смысла. Просто покажем, какую замену здесь нужно провести. Смотрим на знаменатели дробей в показателях степеней:

.

Записываем знаменатели: 2, 5. Находим наименьшее общее кратное этих чисел. Очевидно, это 10: оно делится и на 2 и на 5, кроме того – десятка самая маленькая в этом смысле.

После замены все корни гарантировано пропадут. Повторюсь, примеров для первого случая не будет, так как они очень похожи на недавно разобранные интегралы.

Случай второй для биномиальных иноегралов

.

Если– целое число, то необходимо провести замену ,

где– знаменатель дроби .

Сейчас во всём разберемся.

Пример 7

Найти неопределенный интеграл

.

Представим интеграл в стандартном виде :

.

Вообще говоря, формально правильнее было записать , но перестановка слагаемых в скобках не играет никакой роли.

Выписываем степени:

, , .

Сразу проверяем, не относится ли наш интеграл к первому случаю?

– целое? Нет.

Проверяем второй случай:

– целое.

Значит, у нас второй случай.

Согласно правилу для второго случая, необходимо провести замену , где – знаменатель дроби p. В рассматриваемом примере p = 1/2, и знаменатель этой дроби равен «двойке». Таким образом, чтобы гарантировано избавиться от корня, нужно провести замену .

Оформляем решение:

.

Проведем замену .

После этой подстановки с корнем у нас будет всё в порядке: .

Теперь нужно выяснить, во что превратится оставшаяся частьподынтегрального выражения ?

Берем нашу замену и навешиваемдифференциалы на обечасти:

.

Но вот незадача, у нас , а нам нужно выразить .

Умножаем обе части на :

Таким образом: . Уже лучше, но хотелось бы выразить только через, а в правой части – «икс» в квадрате внизу. Что делать? Вспоминаем нашу замену и выражаем из неё .

Окончательно:

.

Головоломно, но, увы, другие алгоритмы еще запутаннее.

Собственно, всё готово, продолжаем решение:

 

(1) Проводим подстановку согласно замене.

(2) Записываем компактно числитель.

(3) Раскладываем знаменатель в сумму.

(4) Почленно делим числитель на знаменатель.

(5) Интегрируем по таблице.

(6) Проводим обратную замену: если , то .

 

Пример 8

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения.

Полное решение и ответ в конце урока.

 

 

3) Случай третий.Самый сложный

.

Если– целое число, то необходимо провести замену

,

где– знаменатель дроби .

 

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

.

Представим интеграл в стандартном виде :

.

Выписываем степени и коэффициенты:

, , , , .

1) Не относится ли наш интеграл к первому случаю?

– целое? Нет.

2) Проверяем второй случай:

; – целое? Нет.

3) – целое! Значит, у нас третий случай.

Согласно правилу для третьего случая, необходимо провести замену , где – знаменатель дроби p. В рассматриваемом примере p = 1/2, и знаменатель этой дроби равен опять же «двойке». Коэффициенты (будьте внимательны) , .

Таким образом, чтобы гарантировано избавиться от корня, нужно провести замену .

Оформляем решение:

Проведем замену: .

Разбираемся с корнем. Это труднее, чем в предыдущих случаях.

Сначала из нашей замены нужно выразить «икс квадрат»:

.

Теперь подставляем под корень:

.

На втором этапе выясняем, во что превратится оставшаяся частьподынтегрального выражения . Берем нашу замену и навешиваем дифференциалы на обе части:

Опять проблема, в правой части у нас есть «икс», а нам нужно всё выразить через «тэ».

Берем ранее найденное выражение

и выражаем .

Окончательно:

.

В итоге мы выразили через «тэ» и и , всё готово для продолжения решения:

(1) Проводим подстановку согласно замене.

(2) Упрощаем выражение.

(3) Меняем знак в знаменателе и выносим минус за пределы интеграла (можно было не делать, но так удобнее).

(4) Проводим обратную замену. В третьем случае биномиального интеграла это тоже труднее. Если изначальная замена , то .

(5) Избавляемся от четырехэтажности в логарифме.

 

Пример 10

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения. Подсказка: здесь .

Полное решение и ответ только для выживших студентов.

 

Что делать, если биномиальный интеграл

не подходит ни под один из рассмотренных трех случаев? Это грустный четвертый случай. Такой интеграл является неберущимся.

Есть другие разновидности интегралов с корнями, например, когда корень является аргументом какой-либо функции. Или под корнем находится дробь. Найти такие примеры можно на странице Сложные интегралы

.

 

 

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Проведем замену:

 

Пример 4: Решение:

Проведем замену: . Навешиваем дифференциалы на обе части:

.

.

.

Вот почему дифференциалы нужно именно НАВЕШИВАТЬна обе части и добросовестно раскрывать эти дифференциалы. Немало чайников здесь формально напишет и допустит ошибку.

Пример 6: Решение:


Замена:

Примечание: на самом деле данное решение не совсем рационально. Перед тем, как раскладывать числитель в сумму, лучше было поменять у знаменателя знак и сразу вынести минус за пределы интеграла:

– в таком виде подбирать числитель значительно проще.

 

Пример 8: Решение:

, , ,

1) – целое? Нет. 2) – целое, значит у нас второй случай. Замена: , ,

Если , то .

Окончательно: .

 

Пример 10: Решение:

, , , , .

1) – целое? Нет.

2) – целое? Нет.

3) – целое!

Замена: , в данном случае:

.

Разбираемся с корнем. Из :

.

Тогда:

.

Оставшаяся часть подынтегрального выражения:

.

Чему равно ?

.

Окончательно:

Обратная замена. Если , то .

 

 

Сложные интегралы

 

Данная статья завершает тему неопределенных интегралов. Предполагается, что читатель сего текста хорошо подготовлен и умеет применять основные приемы интегрирования. Людям, которые не очень уверенно разбираются в интегралах, следует обратиться к самому первому уроку – Неопределенный интеграл. Примеры решений, где можно освоить тему практически с нуля. Более опытные студенты могут ознакомиться с приемами и методами интегрирования, которые в этом курсе еще не встречались.



infopedia.su

Таблица основных неопределенных интегралов. Правила интегрирования. Интегралы от степенной, показательной, тригонометрических функций

Главные интегралы, которые должен знать каждый студент

Перечисленные интегралы – это базис, основа основ. Данные формулы, безусловно, следует запомнить. При вычислении более сложных интегралов вам придется постоянно ими пользоваться.

Обратите особое внимание на формулы (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забывайте при интегрировании добавлять к ответу произвольную постоянную С!


Интеграл от константы

∫Adx=Ax+C (1)

Интегрирование степенной функции

В действительности, можно было ограничиться только формулами (5) и (7), но остальные интегралы из этой группы встречаются настолько часто, что стоит уделить им немного внимания.

∫xdx=x22+C (2)
∫x2dx=x33+C (3)
∫1xdx=2x+C (4)
∫1xdx=ln|x|+C (5)
∫1x2dx=−1x+C (6)
∫xndx=xn+1n+1+C(n≠−1) (7)

Интегралы от показательной функции и от гиперболических функций

Разумеется, формулу (8) (пожалуй, самую удобную для запоминания) можно рассматривать как частный случай формулы (9). Формулы (10) и (11) для интегралов от гиперболического синуса и гиперболического косинуса легко выводятся из формулы (8), но лучше просто запомнить эти соотношения.

∫exdx=ex+C (8)
∫axdx=axlna+C(a>0,a≠1) (9)
∫shxdx=chx+C (10)
∫chxdx=shx+C (11)

Базовые интегралы от тригонометрических функций

Ошибка, которую часто делают студенты: путают знаки в формулах (12) и (13). Запомнив, что производная синуса равна косинусу, многие почему-то считают, что интеграл от функции sinx равен сosx. Это неверно! Интеграл от синуса равен “минус косинусу”, а вот интеграл от cosx равен “просто синусу”:

∫sinxdx=−cosx+C (12)
∫cosxdx=sinx+C (13)
∫1cos2xdx=tgx+C (14)
∫1sin2xdx=−ctgx+C (15)

Интегралы, сводящиеся к обратным тригонометрическим функциям

Формула (16), приводящая к арктангенсу, естественно, является частным случаем формулы (17) при a=1. Аналогично, (18) – частный случай (19).

∫11+x2dx=arctgx+C=−arcctgx+C (16)
∫1×2+a2=1aarctgxa+C(a≠0) (17)
∫11−x2dx=arcsinx+C=−arccosx+C (18)
∫1a2−x2dx=arcsinxa+C=−arccosxa+C(a>0) (19)

Более сложные интегралы

Данные формулы тоже желательно запомнить. Они также используются достаточно часто, а их вывод довольно утомителен.

∫1×2+a2dx=ln|x+x2+a2|+C (20)
∫1×2−a2dx=ln|x+x2−a2|+C (21)
∫a2−x2dx=x2a2−x2+a22arcsinxa+C(a>0) (22)
∫x2+a2dx=x2x2+a2+a22ln|x+x2+a2|+C(a>0) (23)
∫x2−a2dx=x2x2−a2−a22ln|x+x2−a2|+C(a>0) (24)

Общие правила интегрирования

1) Интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов: ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx (25)

2) Интеграл от разности двух функций равен разности соответствующих интегралов: ∫(f(x)−g(x))dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx (26)

3) Константу можно выносить за знак интеграла: ∫Cf(x)dx=C∫f(x)dx (27)

Легко заметить, что свойство (26) – это просто комбинация свойств (25) и (27).

4) Интеграл от сложной функции, если внутренняя функция является линейной: ∫f(Ax+B)dx=1AF(Ax+B)+C(A≠0) (28)

Здесь F(x) – первообразная для функции f(x). Обратите внимание: эта формула подходит только для случая, когда внутренняя функция имеет вид Ax + B.

Важно: не существует универсальной формулы для интеграла от произведения двух функций, а также для интеграла от дроби:

∫f(x)g(x)dx=?∫f(x)g(x)dx=? (30)

Это не означает, конечно, что дробь или произведение нельзя проинтегрировать. Просто каждый раз, увидев интеграл типа (30), вам придется изобретать способ “борьбы” с ним. В каких-то случаях вам поможет интегрирование по частям, где-то придется сделать замену переменной, а иногда помощь могут оказать даже “школьные” формулы алгебры или тригонометрии.

Простой пример на вычисление неопределенного интеграла

Пример 1. Найти интеграл: ∫(3×2+2sinx−7ex+12)dx

Воспользуемся формулами (25) и (26) (интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности соответствующих интегралов. Получаем: ∫3x2dx+∫2sinxdx−∫7exdx+∫12dx

Вспомним, что константу можно выносить за знак интеграла (формула (27)). Выражение преобразуется к виду

3∫x2dx+2∫sinxdx−7∫exdx+12∫1dx

А теперь просто воспользуемся таблицей основных интегралов. Нам потребуется применить формулы (3), (12), (8) и (1). Проинтегрируем степенную функцию, синус, экспоненту и константу 1. Не забудем добавить в конце произвольную постоянную С:

3×33−2cosx−7ex+12x+C

После элементарных преобразований получаем окончательный ответ:

x3−2cosx−7ex+12x+C

Проверьте себя дифференцированием: возьмите производную от полученной функции и убедитесь, что она равна исходному подинтегральному выражению.

Сводная таблица интегралов

∫Adx=Ax+C
∫xdx=x22+C
∫x2dx=x33+C
∫1xdx=2x+C
∫1xdx=ln|x|+C
∫1x2dx=−1x+C
∫xndx=xn+1n+1+C(n≠−1)
∫exdx=ex+C
∫axdx=axlna+C(a>0,a≠1)
∫shxdx=chx+C
∫chxdx=shx+C
∫sinxdx=−cosx+C
∫cosxdx=sinx+C
∫1cos2xdx=tgx+C
∫1sin2xdx=−ctgx+C
∫11+x2dx=arctgx+C=−arcctgx+C
∫1×2+a2=1aarctgxa+C(a≠0)
∫11−x2dx=arcsinx+C=−arccosx+C
∫1a2−x2dx=arcsinxa+C=−arccosxa+C(a>0)
∫1×2+a2dx=ln|x+x2+a2|+C
∫1×2−a2dx=ln|x+x2−a2|+C
∫a2−x2dx=x2a2−x2+a22arcsinxa+C(a>0)
∫x2+a2dx=x2x2+a2+a22ln|x+x2+a2|+C(a>0)
∫x2−a2dx=x2x2−a2−a22ln|x+x2−a2|+C(a>0)


Скачайте таблицу интегралов (часть I) по этой ссылке


Скачайте таблицу интегралов (часть II) по этой ссылке

Если Вы учитесь в ВУЗе, если у Вас возникли сложности с высшей математикой (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, статистика), если Вам нужны услуги квалифицированного преподавателя, зайдите на страничку репетитора по высшей математике. Будем решать Ваши проблемы вместе!

Возможно, вас заинтересуют также

www.repetitor2000.ru

неопределенный интеграл, найти интегралы, используя таблицу, основные свойства неопределенного интеграла, интегрирование сложных функций.

Найти интегралы, используя таблицу:

1. (8.1.2)

Решение. Согласно формуле 2 таблицы интегралов получаем:

  где

2. (8.1.3) 

Решение. В данном случае также имеем интеграл от степенной функции, но для того, чтобы применить формулу 2 таблицы интегралов, необходимо преобразовать подынтегральное выражение:

3. (8.1.4)

Решение. Представим радикал подынтегрального выражения в виде показателя степени:

4. (8.1.1.2)

5. (8.1.1.3)

Решение. Применив формулу 4 таблицы интегралов, получаем:

6. (8.1.5)

Решение. Применяем формулу 9:

, где

7. (8.1.6)

Решение. В данном интеграле также преобразуем подынтегральное выражение, чтобы применить формулу 11:

, где

8. (8.1.7)

Указание: для решения данного интеграла необходимо воспользоваться формулой №12 таблицы интегралов ()

Найти интегралы, используя таблицу и основные свойства неопределенного интеграла:

9. (8.1.9)

Указание: Необходимо почленно разделить числитель на знаменатель, а затем воспользоваться свойством 4 неопределенных интегралов: неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций.

10. (8.1.10)

11. (8.1.11)

12. (8.1.12)

13. (8.1.13)

14. (8.1.14)

15. (8.1.40)

16. (8.1.43)

Найти “почти” табличные интегралы.

17.(8.1.21)

18.(8.1.50)

19.(8.1.52)

Интегрирование сложных функций.

Для решения данных интегралов воспользуемся формулой интегрирования сложных функций:

20. (8.1.16)

Решение.

Как вы заметили в данном интеграле в роли функции выступает

20a.(8.1.45)

Решение.

21. (8.1.17)

Решение.

Применим частный случай формулы интегрирования сложной функции:

В нашем случае получаем:

21a.(8.1.47)

21б.(8.1.49)

21в.(8.1.20)

22. (8.1.18)

22a.(8.1.48)

23. (8.1.19)

23a.(8.1.51)

Для нахождения следующих интегралов необходимо преобразовать подынтегральное выражение.

Рассмотрим здесь несколько случаев:

I. Применение тригонометрических формул:

1.(8.1.22)

2.(8.1.23)

3.(8.1.26)

4.(8.1.53)

5.(8.1.54)

6.(8.1.55)

7.(8.1.57)

8.(8.1.59)

9.(8.1.60)

10.(8.1.65)

11.(8.1.66)

12.(8.1.73)

13.

II. Применение формул сокращенного умножения:

1.(8.1.68)

2.(8.1.69)

3.(8.1.74)

III. Дроби содержащие многочлены:

Конечно, основные приемы интегрирования рациональных дробей мы рассмотрим в отдельном разделе, но элементарные случаи я рассмотрю  здесь.

1.(8.1.24)

2.(8.1.25)

3.(8.1.56)

4.(8.1.64)

5.(8.1.70)

Решение.

Для решения данного интеграла преобразуем числитель данной дроби и почленно разделим числитель на знаменатель, предварительно сгруппировав слагаемые:

Согласно свойству интегралов: интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:

используя формулы таблицы интегралов получаем:

6.(8.1.71)

Решение.

далее используя формулу получаем:

7.(8.1.72)

ischanow.com

Нескучные интегралы / Хабр

Некоторые из вас, вероятно, видали на просторах сети эту задачку: какое число продолжает следующий ряд?

Предлагался такой очевидный правильный ответ:

Для тех, кому неочевидно, как он получен, предлагалось объяснение. Пусть (ну и 1 при x = 0, хотя неважно). Тогда каждый член ряда — это значение следующего интеграла в цепочке:

Пока всё идёт хорошо, но тут внезапно:

В принципе, этого достаточно, чтобы повеселить друзей-математиков, но мне захотелось узнать, как вообще считаются такие интегралы и почему получается такой смешной результат. Если кому-то ещё охота тряхнуть стариной и вспомнить матан с функаном, прошу читать дальше.
Начинает сказка сказываться

Для начала отдельно посмотрим на первый интеграл:

Некоторое время назад я подумал: «Эй, я ещё не совсем забыл матан! Дайте-ка я возьму этот интеграл как неопределённый, а потом подставлю пределы. Наверняка пару раз по частям, и дело в шляпе. Вот сейчас на бумажке всё решу без посторонней помощи». Хочу предостеречь вас: не повторяйте моей ошибки. Вас ждёт бессонная ночь, а потом вы заглянете в справочник и узнаете, что неопределённый интеграл не берётся в элементарных функциях. Для него даже специальную функцию ввели.

Однако с данными конкретными пределами взять интеграл можно разными способами. Мы пойдём путём, который требует минимум базовых знаний (самое суровое — то же интегрирование по частям). Для начала сделаем внезапную замену:

Вы спросите: откуда вообще это взялось и зачем нам ещё один интеграл, мало что ли? Спокойно, так надо (знакомые со свойствами преобразования Лапласа весело ухмыляются). Подставим замену в исходную формулу и поменяем порядок интегрирования:

Внутри получился почти классический интеграл по dx, которым всех пугали у нас в физматшколе. Его можно взять и как неопределённый, дважды использовав формулу интегрирования по частям. Тогда справа получится какая-то муть и ещё раз тот же самый интеграл, домноженный на что-то, и в результате можно будет решить уравнение относительно этого интеграла и получить ответ, а потом подставить пределы. Кому интересно, проделайте это сами, а я лениво запишу готовый результат:

Ну а теперь совсем всё просто: это табличный интеграл из средней школы, который равен арктангенсу. В бесконечности пи-пополам, в нуле — ноль, вот мы и получили ответ.
Интеграл, кстати, настолько хорош, что у него есть своё имя — интеграл Дирихле. По ссылке вы можете найти другие способы взять его.

Скоро сказка сказывается, а не скоро дело делается

Для следующего путешествия нам понадобятся четыре вещи: прямоугольная функция, косинусное преобразование Фурье, свёртка и теорема Парсеваля. Сперва скажу пару слов об этих замечательных штуках.

Прямоугольная функция — это у нас будет такая ступенька вокруг нуля:

Значение 1/2 в точках разрыва нужно в основном для соблюдения свойств преобразования Фурье, в целом для нашей задачи оно непринципиально.

Косинусное преобразование Фурье. Для простоты мы немного отступим от математической точности и сформулируем грубовато. Для достаточно хорошей чётной функции f(x) выполняются такие соотношения:

Функция и называется косинусным преобразованием Фурье (FCT) от f(x) (её ещё называют образом f). То есть, косинусное преобразование от косинусного преобразования даёт снова исходную функцию f(x)!

Людям, знакомым с обработкой сигналов, хорошо известно, что FCT от прямоугольной функции — это . Это легко доказать, пользуясь вышеприведёнными формулами и школьными знаниями. Так как прямоугольная функция за пределами промежутка [-a, a] равна нулю, то можно просто интегрировать cos(xt) dt по этому промежутку, тут простая замена переменной и табличный интеграл. Приведённое выше свойство говорит, что FCT от — это прямоугольная функция.

Свёртка — это ещё одна прекрасная штука, без которой не обходится обработка сигналов. Для двух функций f1(x) и f2(x) можно определить функцию-свёртку (обозначается звёздочкой) вот так:

У свёртки есть прекрасное свойство, за которое её любят: преобразование Фурье превращает её в умножение, а умножение — в свёртку. Если точнее, косинусное преобразование произведения двух хороших чётных функций есть свёртка их образов, делённая на корень из двух пи: .

Теорема Парсеваля — это очень крутое утверждение о равенстве энергии сигнала и его спектра, которое записывают по-разному в разных целях. Нам потребуется такая версия: для чётных и достаточно хороших функций .

Доселева Макар огороды копал, а нынече Макар в воеводы попал

Возьмём второй интеграл из нашей чудесной последовательности. Как многие уже догадались, мы воспользуемся теоремой Парсеваля и заменим множители на их FCT-образы:

Первая прямоугольная функция под интегралом равна единице для аргументов меньше единицы и нулю для аргументов больше единицы. Поэтому ничто нам не мешает убрать её из интеграла, откорректировав пределы интегрирования:

Под интегралом осталась ступенька высотой 3 и шириной 1/3. Такой интеграл возьмёт даже третьеклассник: надо всего лишь умножить 3 и 1/3. От интеграла остаётся единица, и мы имеем искомое пи-пополам! Таким образом мы почти честно взяли второй интеграл из ряда. Кто желает сделать это совсем честно, тому придётся разобраться, что же такое хорошесть функции, и доказать, что наши функции хорошие.

Чтобы дальше было проще, обозначим эту ступеньку под интегралом как F1(x) и нарисуем её график:

Пойдём веселиться дальше и посмотрим на интеграл с тремя множителями. Чтобы применить теорему Парсеваля, мы теперь все множители со второго будем считать одним множителем: . С образом первого множителя всё уже понятно, а образ второго множителя, выражается через свёртку:

На первый взгляд жутковато. Но можно кое-чего повыносить, кое-чего посокращать и подставить нашу F1(x). Тогда получим:

Внутренний интеграл — это просто прямоугольный фильтр, эдакий «блюр» для функции F1(x): мы просто для каждой точки усредняем все значения в окрестности плюс-минус одна пятая. Можно опять же избавиться от прямоугольной функции, подшаманив пределы интегрирования. И со внешним интегралом сделаем такую же процедуру. Вот что получится в итоге:


Слева график функции F2(x), которая на самом деле — сглаженная F1(x). Нетрудно доказать, что после сглаживания функции по нормированному ядру её интеграл не меняется. Ну, вообще-то речь об интеграле от -∞ до +∞, но для чётной функции это верно и для интеграла от нуля. В данном случае ядром была ступенька от -1/5 до +1/5, умноженная на 5/2. Площадь под ступенькой единица, значит, ядро нормировано. Тут тоже можно сравнить с блюром в фотошопе: после применения блюра картинка в целом не становится светлее или темнее. А раз так, то интеграл F2(x) в точности равен интегралу F1(x), то есть единице, поэтому и третий интеграл равен пи-пополам!

Дальше процедура во многом похожая. Четвёртый интеграл сгруппируем так: . Сначала теорему Парсеваля, для скобок свёртку, причём мы уже умеем выразить образ внутренней скобки через F2(x). Дальше всё то же самое, что в прошлый раз, и в результате получим:

Теперь мы уже имеем F3(x), которая на самом деле — сглаженная F2(x) с ядром шириной 2/7. Ядро нормировано, значит, интеграл F3(x) равен интегралу F2(x), то есть единице, и мы снова имеем пи-пополам!

Отлично, мы теперь щёлкаем эти интегралы как орехи. Но по идее, если так и дальше пойдёт, они все до бесконечности будут равны пи-пополам? Давайте смотреть дальше. Пятый интеграл:

Вроде всё то же самое. Ладно, шестой интеграл:

И здесь никаких проблем. Хорошо, берём седьмой:

Ничего нового! Ладно, а восьмой?

Стоп-стоп-стоп! Здесь нам не обойтись без команды CSI!

Функция протекла через единицу! Интеграл F7(x) всё ещё равен единице, но это если интегрировать от 0 до ∞. А мы-то интегрируем до единицы! До сих пор все функции были нулевыми при x больше единицы, но рано или поздно это должно было кончиться.

А как понять, когда наступает конец? Это очень просто. F1(x) была ненулевой при x<1/3. F2(x) сглаживала её по ±1/5, значит, была ненулевой при x<1/3+1/5. Аналогичным образом можно найти границу ненулевых значений для всех этих функций, и для F7(x) эта граница впервые превышает единицу:

Несложно даже посчитать, сколько конкретно утекло, и тем самым вычислить точное значение восьмого интеграла. Заметим, что слева от границы F1(x) — это константа 3. F2(x) — минус интеграл этой константы с коэффициентом 5/2, то есть прямая с коэффициентом 3×5/2. F3(x) в достаточной близости к границе 1/3+1/5+1/7 — это интеграл той прямой с коэффициентом 7/2, то есть что-то вроде . Продолжая аналогичные рассуждения, получим формулу для F7(x) в окрестности границы:

Собственно, обычная парабола шестой степени, сдвинутая и домноженная. Если проинтегрировать её от единицы и до границы 1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/15, то мы узнаем, сколько функции утекло за пределы единицы. Можно решить эту задачу целиком в обыкновенных дробях. Получится вот сколько:

Если эту цифру вычесть из единицы и домножить на пи-пополам, мы получим окончательное значение восьмого интеграла:

Такие интегралы называются борвейновскими интегралами в честь Давида и Джонатана Борвейнов, которые их описали. Если вы хотите строгие математические доказательства (без всяких «хороших функций») и другие свойства этих замечательных интегралов, почитайте статью авторов.

Заключение: троллинг восьмидесятого уровня

Открыв эти интегралы, Джонатан Борвейн ввёл их в программный пакет Maple и, убедившись, что Maple корректно берёт все восемь интегралов, сообщил разработчикам о «баге»: мол, восьмой интеграл тоже должен быть пи-пополам, а у вас получается чёрт-те-что. Три дня и три ночи убил Жак Каретт, один из разработчиков Maple, в поисках ошибки, пока не понял, что над ним жестоко пошутили. А ещё говорят, что математики — скучные люди!

habr.com