Теоремы по физике – Категория:Физические теоремы — Википедия

Содержание

13.8. Примеры применения теоремы Гаусса

1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда в любой точке сферы будет одинакова.

  1. Заключим нашу сферическую поверхность в симметричную поверхность S с радиусом r>R. Поток вектора напряженности через поверхность S будет равен

    По теореме Гаусса

    Следовательно

    (13.8)

    Сравнивая это соотношение с формулой для напряженности поля точечного заряда, можно прийти к выводу, что напряженность поля вне заряженной сферы такова, как если бы весь заряд сферы был сосредоточен в ее центре.

  2. Для точек, находящихся на поверхности заряженной сферы радиуса R, по аналогии с вышеприведенным уравнением, можно написать

    (13.9)
  3. Проведем через точку В, находящуюся внутри заряженной сферической поверхности, сферу S радиусом г<R. Внутри сферы S зарядов нет, т.к. все они расположены на внешней сферической поверхности, т.е. Следовательно, по теореме Гаусса, и напряженность электростатического поля внутри полой равномерно заряженной сферы будет равна нулю. Зависимость напряженности поля заряженной сферы от расстояния r приведена на рис. 13.8.

2. Электростатическое поле шара.

Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью .

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда , расположенного в центре шара. Тогда вне шара

(13.10)

а на его поверхности (r=R)

(13.11)

В точке В, лежащей внутри шара на расстояний r от его центра (r>R), поле определяется лишь зарядом , заключенным внутри сферы радиусом r. Поток вектора напряженности через эту сферу равен

с другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса

Из сопоставления последних выражений следует

(13.12)

где- диэлектрическая проницаемость внутри шара. Зависимость напряженности поля, создаваемого заряженной сферой, от расстояния до центра шара приведена на (рис.13.10)

3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью .

Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса Поток вектора напряженности через эту поверхность

По теореме Гаусса

Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:

(13.13)

4. Напряженность поля, создаваемого, бесконечной равномерно заряженной плоскостью.

Пусть плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен σ. Из законов симметрии следует, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то поля по обе стороны плоскости должны быть одинаковы. Ограничим часть заряженной плоскости воображаемым цилиндрическим ящиком, таким образом, чтобы ящик рассекался пополам и его образующие были перпендикулярны, а два основания, имеющие площадь S каждое, параллельны заряженной плоскости (рис 1.10).

Суммарный поток вектора; напряженности равен вектору , умноженному на площадь S первого основания, плюс поток вектора через противоположное основание. Поток напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. линии напряженности их не пересекают. Таким образом, С другой стороны по теореме Гаусса

Следовательно

но тогда напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости будет равна

(13.14)

В это выражение не входят координаты, следовательно электростатическое поле будет однородным, а напряженность его в любой точке поля одинакова.

5. Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными разноименно с одинаковыми плотностями.

Как видно из рисунка 13.13, напряженность поля между двумя бесконечными параллельными плоскостями, имеющими поверхностные плотности зарядов и , равны сумме напряженностей полей, создаваемых пластинами, т.е.

Таким образом,

(13.15)

Вне пластины векторы от каждой из них направлены в противоположные стороны и взаимно уничтожаются. Поэтому напряженность поля в пространстве, окружающем пластины, будет равна нулю Е=0.

physics-lectures.ru

5 самых забавных теорий и идей в физике

Лауреат Нобелевской премии Эрнест Резерфорд однажды сказал: «Вся наука является или физикой, или коллекционированием марок», — правда, по иронии судьбы Резерфорд получил премию по химии, а не по физике. Физики, возможно, не самые скромные люди, но вот что у них действительно хорошо получается, так это придумывать названия для своих идей. Предлагаем вам прочитать несколько теорий физики с наиболее звучными названиями.

1. Оствальдовское созревание

Представьте себе поверхность, на которой есть конденсат, — скажем, закрытую бутылку с водой. Во-первых, конденсат — это большое количество крошечных капелек воды, но если вы оставите эту бутылку воды на некоторое время, не подвергая никаким воздействиям, то заметите, что капельки на поверхности будут становиться со временем всё крупнее и крупнее. Физики называют это явление оствальдовским созреванием.

Основная причина явления в том, что крупные капли более «энергетически выгодны», чем маленькие. Дело в том, что частицы на поверхности капель менее стабильны, чем в середине, а у маленьких капель большая часть молекул приходится как раз на поверхность. Для того чтобы стать более стабильными, самые маленькие капли сливаются, образуя большие. Так что если вы оставите бутылку с водой надолго, то увидите, как эти крошечные капельки «вырастут».

Даже если у вас нет времени, чтобы пронаблюдать оствальдовское созревание на примере бутылки с водой, тот же эффект можно увидеть, оставив надолго в холодильнике мороженое: оно в итоге превратится в хрустящую ледяную глыбу — кристаллики мороженого объединятся.

2. Вихревая дорожка Кармана

В механике жидкостей физики смотрят на поток жидкости через пространство и паттерны. Одна из наиболее красивых подобных моделей — последовательность водоворотов и завихрений вроде тех, которые оставляет за собой движущаяся лодка. Когда лодка перемещается по воде, она «делит» воду на две части. А когда вода позади лодки снова сливается, при этом создаются чередующиеся завихрения, известные как вихревая дорожка Кармана.

Это явление можно проиллюстрировать и другими примерами. Высокие здания, дымоходы и перископы подводных лодок, например, вынуждены иметь дело с ветром. Поскольку ветер дует прямо на них, его сила может заставить эти объекты сильно вибрировать, поэтому антенны и перископы снабжены перьями, чтобы уменьшить возникающие ветряные вихри.

Воздействию вихревых дорожек подвергаются не только относительно крупные объекты. Насекомые, когда бьют крыльями, тоже создают крошечные вихри в воздухе. Но вместо того, чтобы сопротивляться им, насекомые используют свои крылья так, чтобы создаваемые вихри позволяли им держаться в воздухе.

3. Тахионный антителефон

Хотите отправить сообщения в прошлое? Нет проблем! Просто воспользуйтесь своим тахионным антителефоном. Идея отправки сообщений обратно во времени появилась в физике ещё в 1907-м году, когда Альберт Эйнштейн высказал теорию о том, что если превысить скорость света, то можно передать сообщение в прошлое. Правда, Эйнштейн не называл это тахионным антителефоном — название придумал Грегори Бенфорд в 1970-м году. Этот парадокс Бенфорд описал так:

«Предположим, Алиса и Боб заключили соглашение: Алиса отправит Бобу сообщение в 3:00, если и только если она не получит от него сообщения в 1:00. После получения сообщения от Алисы в 2:00 Боб немедленно отправляет Алисе сообщение в прошлое, чтобы она получила его в 1:00. Но второй обмен сообщениями будет иметь место, если и только если первый обмен не состоится».

Для работы тахионному антителефону требуется нечто под названием тахионные частицы, которых не существует даже в теории, не говоря уже о практике.

4. Теорема о причёсывании ежа

Вы никогда не пробовали причесать ежа? Или, скажем, кокос? Любой физик скажет вам, что у вас ничего не выйдет. На самом деле речь здесь идёт о топологии.

Если у вас есть шар, покрытый волосками одинаковой длины, нет никакого способа причесать их так, чтобы они равномерно плашмя легли на поверхность шара. Для примера возьмём человеческую голову с короткими волосами, подстриженными «ёжиком»: если вы попытаетесь их расчесать, то начнёте наверняка с чёлки, и в этом месте всегда будет оставаться небольшая «залысина».

Это явление используется во многих областях — от циклонов до компьютерной графики, а нанотехнологи используют теорему для создания крошечных шаров с золотистыми волосками, прилипающими друг к другу. Кстати, ветер, который в данном случае можно описать как гигантскую расчёску, будет иметь тот же эффект: на планете всегда останется одно место, где ветра не будет — именно оттуда ветер начал движение.

5. Грандиозная теорема

Речь идёт об одной теореме, которая, как следует из названия, в буквальном смысле грандиозна. Также известная как классификация простых конечных групп, грандиозная теорема была исследована сотней математиков, опубликована в сотнях журнальных статей на 15-ти тыс страницах, и в итоге было установлено, что это крупнейшее из известных математических доказательств.

Суть в том, что каждая конечная простая группа номеров принадлежит к одной из четырёх категорий: циклической, переменной, простой группе Ли или спорадической. Исследования этих четырёх групп начались все еще в 1832-м году, а закончились только в 2004-м году. Вероятно, в мире есть всего несколько математиков, понимающих доказательство полностью, и до конца непонятно, что полезного из этого можно извлечь. Ну, кроме мирового рекорда, разумеется.

Оцените статью: Поделитесь с друзьями!

www.publy.ru

13.7. Теорема Остроградского - Гаусса

Определим поток напряжённости поля электрических зарядов через некоторую замкнутую поверхность, окружающую эти заряды. Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиуса R, окружающей один заряд, находящийся в ее центре (рис. 13.6). Напряженность поля по всей сфере одинакова и равна

Силовые линии направлены по радиусам, т.е. перпендикулярны поверхности сферы , следовательно

т.к.
Тогда поток напряженности будет равен

Используя формулу напряжённости, находим

(13.6)

Окружим теперь сферу произвольной замкнутой поверхностью S’. Каждая силовая линия, пронизывающая сферу, пронижет и эту поверхность. Следовательно формула (13.6) справедлива не только для сферы, но и для любой замкнутой поверхности. Если произвольной поверхностью окружаем n зарядов, то очевидно, что поток напряженности через эту поверхность равен сумме потоков, создаваемых каждым из зарядов, т.е.

или

(13.7)

Таким образом, полный поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме свободных электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на . Это положение называется теоремой Остроградского - Гаусса. С помощью этой теоремы можно определить напряженность полей, создаваемых заряженными телами различной формы.

physics-lectures.ru

Шпаргалка - Теорема Нётер - Физика

Министерство образования Украины

Донбасский горно-металлургический институт

Кафедра Общей и прикладной физики

на тему:

Теорема Нётер

выполнил:

студент группы ПФ-99

Антропов Иван Иванович

руководитель:

доцент кафедры ОПФ

Мурга В.В.

Алчевск 2001

Содержание

Введение. 3

1. Асимптотическая аддитивность интегралов движения. Формулировка теоремы Нётер.4

2. Доказательство теоремы Нётер. 6

3. Некоторые замечания относительно теоремы Нётер. 11

Вывод. 12

Список использованной литературы


Введение

Всякое равенство вида называется интегралом движения. Для замкнутой системы с n степенями свободы всего существует независимых интегралов движения. Если считать в уравнениях движения новыми переменными, не зависящими от , то полный набор уравнений движения запишется в виде

, (1)

причем для замкнутой системы время здесь войдет только в виде явно выписанных дифференциалов. Поэтому исключая из этих уравнений dt, мы получим уравнений, не содержащих времени. Их интегрирование приведет к интегралам движения.

Среди всех интегралов движения особое значение имеют аддитивные или асимптотически аддитивные интегралы движения, для которых существует специальное название – законы сохранения. Если рассмотреть две системы, находящиеся очень далеко друг от друга, то физически очевидно, что процессы в одной системе совсем никак не должны влиять на движение другой. Поскольку, с другой стороны ничто не мешает нам рассматривать две такие системы как две части, I и II, единой общей системы, то мы приходим к условию асимптотической аддитивности, который заключается в следующем: если некоторая система ( I + II) разделяется на две подсистемы таким образом, что минимум расстояния между материальными точками разных подсистем , то ее функция Лагранжа распадается на сумму функций Лагранжа обеих подсистем:

. (2)

Законы сохранения имеют глубокое происхождение, связанное с инвариантностью описания механической системы относительно некоторой группы преобразований времени и координат. Существует теорема Нётер, утверждающая, что для системы дифференциальных уравнений, которые могут быть получены как уравнения Эйлера из некоторого вариационного принципа, из инвариантности вариационного функционала относительно однопараметрической непрерывной группы преобразований следует существование одного закона сохранения. Если группа содержит l параметров, то из инвариантности функционала будет следовать существование l законов сохранения.

Наличие входящих в требуемую теоремой Нётер группу преобразований симметрии зависит от природы физической системы. Для рассматриваемых замкнутых систем действие должно быть инвариантным относительно семипараметрической группы преобразований – зависящего от одного сдвига по времени, зависящих от трех параметров пространственных сдвигов и зависящих от трех параметров вращения пространства. В соответствии с этим у всякой замкнутой системы должны существовать 7 сохраняющихся величин, отвечающих указанным преобразованиям. Если система такова, что она допускает еще и другие преобразования симметрии, то сохраняющихся величин может оказаться больше.

Точно сформулируем и докажем теорему Нётер.

Рассмотрим некоторую систему, описываемую функцией Лагранжа

. (3)

Форма уравнений Лагранжа-Эйлера, получаемых из вариационного принципа с такой функцией Лагранжа, инвариантна относительно преобразований вида , а также и относительно более общих преобразований

(4)

включающих замену независимой переменной. Однако конкретный вид для нового выражения для действия, как функционала новых координат, зависящих от нового времени, может претерпеть при таком изменении любые изменения.

Теорема Нётер интересуется только тем случаем, когда таких изменений не происходит.

Итак, будем считать, что мы ввели совокупность зависящих от (для простоты) одного параметра l преобразований обобщенных координат и времени.

Используя (4), получим:

(5)

Пусть преобразования такие, что

(6)

т.е. образующих однопараметрическую группу. Рассмотрим бесконечно малое преобразование, отвечающее параметру .

Тогда

(7)

Собственно вариации обобщенных координат, происходящие при рассматриваемом преобразовании, – это разность значений новых координат в некоторый момент нового времени и значений старых координат в соответствующий момент старого времени, т.е.

. (8)

Наряду с ними удобно ввести в рассмотрение вариации формы

(9)

зависимости координат от времени, которые отличны от нуля, даже если наше преобразование затрагивает только время, а не координаты.

Для любой функции справедливо соотношение:

.

Тогда между двумя введенными видами вариаций есть соотношение, которое можно получить следующим образом: вычтем из (8) уравнение (9), получим:

,

примем во внимание, что

,

тогда имеем:

(10)

Вариации без звездочек, относящиеся к одному значению аргумента, перестановочны с дифференцированием по времени

,

в то время, как для вариаций со звездочками это, вообще говоря, неверно.

Соответствующие два вида вариаций можно ввести и для любой динамической переменной. Например, для функции Лагранжа

(11)

причем

(12)

где включает дифференцирование как по явно входящему времени, так и по времени, входящему неявно, через координаты и скорости.

Потребуем теперь, чтобы интеграл действия не менялся бы при нашем преобразовании, – это и есть тот исключительный случай, который требуется условием теоремы, – т.е. чтобы было

, (13)

где Т' – та же область интегрирования, что и Т во втором интеграле, но выраженная через новые переменные. Тогда подставив (11) в (13), получим

(14)

Выражаем в (15) через (11) и учитывая соотношение

,

переходя к интегрированию по t вместо t', получим:

Учитывая, что

,

получим:

(15)

Но

(16)

Найдем дифференциал

,

отсюда

(17)

Подставив (17) в (16), получим:

Под знаком первой суммы стоит уравнение Лагранжа, т.е.

Тогда имеем:

(18)

Подставим полученное значение вариации функции Лагранжа в (15), имеем:

Из (10) выразим через и :

Тогда вариация действия

(19)

Мы должны потребовать равенства этой вариации нулю. В силу произвольности области интегрирования Т из равенства нулю интеграла следует равенство нулю подынтегрального выражения, т.е. мы приходим к тому, что необходимым и достаточным условием инвариантности действия относительно преобразования (7) служит удовлетворение уравнения

.

Заменим и , используя соотношения (7) и (8), имеем:

Вынесем l за скобки и разделим на нее обе части уравнения. Окончательно получим необходимое условие:

(20)

Другими словами, из инвариантности действия относительно (7) мы получили то следствие, что величина

(21)

остается постоянной во времени. Это и есть точное утверждение теоремы Нётер.

1. Величина (21) еще не является динамической величиной – кроме обобщенных координат, скоростей и времени она зависит еще и от задающих преобразований функций . (21) станет динамическим законом только тогда, когда сами задающие (7) функции будут (помимо параметров) зависеть только от .

2. Обратим внимание на разный характер двух членов в (21). Первый из них включает саму функцию Лагранжа, поэтому обязательно перепутывает все степени свободы системы и поэтому может обладать самое большое асимптотической аддитивностью (2). Напротив, второй имеет явную форму суммы по отдельным степеням свободы. Таким образом, если преобразование, относительно которого действие инвариантно, затрагивает время, то мы можем надеяться на сохранение только асимптотически аддитивной величины, если же преобразование меняет лишь координаты, то сохраняться будет точно аддитивная величина.

Таким образом, была сформулирована и доказана теорема Нётер. Существенно то, что теорема Нётер позволяет, при заданном виде функции Лагранжа, найти аддитивные интегралы движения в виде явных функций координат и скоростей, не интегрируя никаких уравнений, ведь в общем случае каждый из интегралов движения находится только интегрированием системы, число уравнений которой только на одно меньше полной системы уравнений движения.

1. Медведев Б.В. Начала теоретической физики. Механика. Теория поля. Элементы квантовой механики: Учебн. Пособие для вузов. – М.: Наука, 1977. – 496 с.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Электродинамика: Краткий курс теоретической физики. Кн. 1. – М.: Наука, 1969 – 271 с.

3. Рымкевич П.А. Курс физики [Для физ-мат фак. пед. институтов] Изд. 2-е, перераб и доп. М.: Высшая школа, 1975.

www.ronl.ru

Формулы, теоремы, учебные материалы по физике, математике и геометрии

formules.ru
Заголовок
Сниппет

Формулы, теоремы, учебные материалы по физике, математике и геометрии наверх войти / зарегистрироваться Здравый смысл это сумма предубеждений, приобретнных до восемнадцатилетнего возраста - Альберт Эйнштейн Главная Физика Математика Геометрия Справочные материалы Физика Математика Геометрия Онлайн-справочник формул Запомнить все формулы по физике или математике, теории по геометрии очень сложно. Чтобы облегчить поиски и сделать учебный или рабочий процесс не таким трудоемким, мы на протяжении 5 лет наполняем наш сайт полезной информацией. Справочная информация по физике, математике геометрии в одном месте! Для кого создан наш сайт? Для школьников В помощь тем, кто собирается сдавать ЕГЭ по указанным предметам для поступления в ВУЗ Для студентов Справочные материалы незаменимы для написания курсовых и дипломных работ Для специалистов Ресурс дает простые и быстрые ответы на возникнувшие вопросы Для вашего удобства вся информация поделена на разделы: Математические формулы Формулы по ...

Ключевые слова

формулы по физике, математические формулы, формулы по геометрии

Описание

Предлагаем обширный выбор учебных материалов, формул, теорем, определений и доказательств по физике, геометрии и математике. Вся информация доступна в режиме онлайн и абсолютно бесплатно.

Траст
Вертикаль
Тематика
  • Математика
  • Физика
  • Школьные предметы
  • Студенческая жизнь
  • Рассказы и пародии

domenolog.ru

Теорема Гаусса

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда. Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 4.3.1):

 

ΔΦ = EΔS cos α = EnΔS,

где – модуль нормальной составляющей поля  

1
Рисунок 4.3.1. К определению элементарного потока ΔΦ.

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S. Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔSi, определить элементарные потоки поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 4.3.2):

  В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль.

2
Рисунок 4.3.2. Вычисление потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S.

Теорема Гаусса утверждает: Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0.

  Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q. Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

где R – радиус сферы. Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы Следовательно,   Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R0 (рис. 4.3.3).

3
Рисунок 4.3.3. Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S, окружающую заряд.

Рассмотрим конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS0, а на поверхности S – площадку ΔS. Элементарные потоки ΔΦ0 и ΔΦ через эти площадки одинаковы. Действительно,

ΔΦ0 = E0ΔS0,   ΔΦ = EΔS cos α = EΔS ‘.

  Здесь ΔS ‘ = ΔS cos α – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса r. Так как а следовательно Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ0 через поверхность вспомогательной сферы:

Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q, то поток Φ = 0. Такой случай изображен на рис. 4.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.  Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Φi электрических полей отдельных зарядов. Если заряд qi оказался внутри поверхности S, то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю. Таким образом, теорема Гаусса доказана. Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать. Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R. Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии, электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов (рис. 4.3.4).

4
Рисунок 4.3.4. Вычисление поля однородно заряженного цилиндра. OO’ – ось симметрии.

При r ≥ R весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2πrl, так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:

где τ – заряд единицы длины цилиндра. Отсюда

  Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити. Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно построить замкнутую поверхность для случая r < R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля. Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 4.3.5).

5
Рисунок 4.3.5. Поле равномерно заряженной плоскости. σ – поверхностная плотность заряда. S – замкнутая гауссова поверхность.

В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:

где σ – поверхностная плотность заряда, то есть заряд, приходящийся на единицу площади.  Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.

fizika.ayp.ru