Теория дифференциальные уравнения – АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ – это… Что такое АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ?

Дифференциальное уравнение — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

График некоторых частных интегралов дифференциального уравнения

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, в которое входят производные функции, и может входить сама функция, независимая переменная и параметры. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или могут отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,  f′(x)=f(f(x)){\displaystyle \ f'(x)=f(f(x))} не является дифференциальным уравнением[1].

В отличие от алгебраических уравнений, в результате решения которых ищется число (несколько чисел), при решении дифференциальных уравнений ищется функция (семейство функций).

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения.

Соврем

ru.wikipedia.org

Дифференциальные уравнения, формулы и примеры

Понятие дифференциального уравнения

Например.

Толчком к развитию теории дифференциальных уравнений послужили различного рода механические задачи, в которых находились координаты тел, их скорости и ускорения. Названные величины зависели от времени при различных воздействиях.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, которое было предложено немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716) и английским физиком, математиком, механиком и астрономом сэром Исааком Ньютоном (1642-1727). Термин «дифференциальное уравнение» предложил Готфрид Лейбниц в 1676 г.

18 век стал вправе переломным для развития теории дифференциальных уравнений. Появилось огромное количество работ, среди которых особо выделялись труды швейцарского, немецкого и российского математика и механика Леонардо Эйлера (1707-1783) и французского математика, астронома и механика Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813). В их работах получила свое развитие теория малых колебаний, которая основывалась на теории линейных систем дифференциальных уравнений. Методы теории возмущения были разработаны французским математиком, механиком, физиком и астрономом Пьером-Симоном, маркизом де Лапласом (1749-1827), Ж. Лагранжем и немецким математиком, механиком, физиком, астрономом и геодезистом Иоганном Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855).

Французский математик Жозеф Лиувиль (1809-1882) установил неразрешимость ряда дифференциальных уравнений в элементарных функциях и квадратурах. «Качественная теория дифференциальных уравнений» (или теория динамических систем), предложенная французским математиком, механиком, физиком, астрономом и философом Жюлем Анри Пуанкаре (1854-1912), стала новой вехой в развитии теории дифференциальных уравнений.

От истории развития дифференциальных уравнений вернемся к ее основным определениям и понятиям.

Если неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, то такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Например. .

Порядок дифференциального уравнения

Например. Уравнение – дифференциальное уравнение третьего порядка, поскольку старший порядок производной, входящей в него, равен трем (данная производная подчеркнута).

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

   

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка – или, если оно разрешимо относительно производной, – .

Решение дифференциального уравнения

Решением или общим интегралом дифференциального уравнения называется функция , удовлетворяющая указанному уравнению.

Кривая , соответствующая решению дифференциального уравнения, называется интегральной кривой этого уравнения.

Общее и частное решение дифференциального уравнения

Общим решением дифференциального уравнения называется соотношение

   

или

   

здесь C – произвольная постоянная или константа интегрирования. Это решение обладает следующим свойством: если разрешить выражение (или ) относительно y, то в результате получим функцию , являющуюся решением рассматриваемого дифференциального уравнения.

Уравнения (2) задают семейство интегральных кривых дифференциального уравнения (1).

Частное решение дифференциального уравнения – это решение, полученное из общего решения вида (2) при некотором значении произвольной постоянной C.

Например. Для дифференциального уравнения функция является общим решением, а при получаем частное решение .

Произвольную постоянную C можно определить из начальных условий – это такие условия, при которых ищется решение дифференциального уравнения, чтобы оно (решение) принимало значение при некотором заданном значении независимой переменной , то есть выполняется равенство

   

Если задано дифференциальное уравнение (1) с начальными условиями (3), то такая задача называется задачей Коши

.

Например. .

ru.solverbook.com

1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

  • при условии если .

  • После сокращения получаем:

  • Интегрируем это выражение:, гдеС – произвольная постоянная. Это выражение является общим решением уравнения.

  • Пример: найти общее и частное решения уравнения при.

  • Решение: Разделим переменные. Для этого, умножим обе части уравнения наи разделим на,и получим уравнение с разделёнными переменными:

  • , проинтегрируем это уравнение, используя основные формулы интегрирования: ,или. Потенцируя последнее равенство, получаем- общее решение.

  • Из условия, что при и, найдём значение С:, откуда С=2. Частное решение будет иметь вид.

  • 3. Дифференциальные уравнения второго порядка

  • studfiles.net

    Дифференциальные уравнения - ИСТОРИЯ

    Дифференциальные уравнения - раздел математики, изучающий теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обыкновенные дифференциальные) или нескольких аргументов (дифференциальные уравнения в частных производных). Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов.

    Теория дифференциальных уравнений - раздел математики, занимающийся изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Их результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко - в физике.

    Проще говоря, дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция.При этом, в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в различных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.

    Различают обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных. Более сложными являются интегро-дифференциальные уравнения.

    Сначала дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции от времени.

    Дифференциальное уравнение называется интегрируемых в квадратурах, если задачу нахождения всех развязок связей можно свести к вычислению конечного числа интегралов от известных функций и простых алгебраических операций.
    История

                           Леонард Эйлер                                          Жозеф-Луи Лагранж
                                                                                 

    Дифференциальные уравнения изобретены Ньютоном (1642-1727). Ньютон считал это свое изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно свободно передать так: «законы природы выражаются дифференциальными уравнениями».

    Основным аналитическим достижением Ньютона было разложение всевозможных функций в степенные ряды (смысл второй, длинной анаграммы Ньютона в том, что для решения любого уравнения нужно подставить в уравнение ряд и приравнять члены одинакового степени). Особое значение имела здесь открытая им формула бинома Ньютона (разумеется, не только с целыми показателями, для которых формулу знал, например, Виет (1540-1603), но и, что особенно важно, с дробными и отрицательными показателями). Ньютон разложил в «ряды Тейлора» все основные элементарные функции Это, вместе с составленной им таблице первобытных (которая перешла в почти неизменном виде в современные учебники анализа ), позволяло ему, по его словам, сравнивать площади любых фигур «за половину четверти часа».

    Ньютон указывал, что коэффициенты его рядов пропорциональны последовательным производным функции, но не останавливался на этом подробно, поскольку он справедливо считал, что все вычисления в анализе удобнее проводить не с помощью кратных дифференцировок, а путем вычисления первых членов ряда. Для Ньютона связь между коэффициентами ряда и производными был скорее средством вычисления производных, чем средством составления ряда. Одним из важнейших достижений Ньютона является его теория солнечной системы, изложенная в «Математических принципах натуральной философии» («Principia») без помощи математического анализа. Обычно считают, что Ньютон открыл с помощью своего анализа закон всемирного тяготения. На самом деле Ньютону (1680) принадлежит лишь доказательство эллиптичности орбит в поле притяжения по закону обратных квадратов: сам этот закон был указан Ньютону Гуком (1635-1703) и, пожалуй, угадывался еще несколькими учеными.

    Пьер-Симон Лаплас
          

                                                               Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707-1783)  и Лагранжа(1736-1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно -   теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае). Характеристическое уравнение линейного оператора долго называли секулярным, поскольку именно из такого уравнения определяются секулярные (возрастные, т.е. медленные по сравнению с годовым движением) возмущения планетных орбит согласно теории малых колебаний Лагранжа. Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777-1855) развивают также методы теории возмущений.

    Жозеф Лиувилль
         

                                                       Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль                        (1809-1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратурах. Позже Софус Ли (1842-1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришел к необходимости детально исследовать группы дифеоморфизмив (получившие впоследствии имя групп Ли ) - так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами ( алгебры Ли еще раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781-1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851)).

    Анри Пуанкаре
                  

                                                  Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854-1912),     созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных  переменных привела к основанию современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь ее чаще называют, теория динамических систем, сейчас развивается наиболее активно и имеет наиболее важные применения теории дифференциальных уравнений в естествознании.

    diffur.ucoz.ru

    КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ - это... Что такое КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ?

    - математическая дисциплина, изучающая свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений без нахождения самих решений.

    Основы К. т. д. у. были заложены в конце 19 в. А. Пуанкаре (см. [1], [2]) и А. М. Ляпуновым (см. [3], [4]). А. Пуанкаре широко пользовался геомотрич. методами, рассматривая решения систем дифференциальных уравнений как кривые в соответствующем пространстве. На основе этого рассмотрения он создал общую теорию поведения решений дифференциальных уравнений (д. у.) 2-го порядка, разрешил ряд фундаментальных проблем о зависимости решений от параметров (см. ниже). А. М. Ляпунов изучал поведение решений в окрестности состояния равновесия. Он создал современную теорию устойчивости движения (см. Устойчивости теория).

    Геометрическое направление А. Пуанкаре было развито в 20-х гг. 20 в. Дж. Биркгофом, открывшим многие важные факты качественной теории многомерных систем д. у. (см. [5], [6]).

    Линейные системы. Рассматривается система д. у.

    где Р(х)- квадратная матрица порядка п. Предполагается, что Р(х)ограничена (в случае неограниченности имеется лишь небольшое число весьма специальных исследований). В К. т. д. у. изучается асимптотич. поведение решений системы (1) при

    Характеристическим показателем решения у(х)наз. величина

    характеризующая рост решения в сравнении с экспоненциальной функцией. Каждое ненулевое решение системы (1) имеет конечный характеристич. показатель. Характеристич. показатели ненулевых решений наз. также характеристическими показателями системы. Линейная система не может иметь более чем празличных характеристич. показателей. Характерпстич. показатели системы не меняются при линейной замене переменных:

    в к-рой матрица U(x)ограничена вместе и и -1.

    Такие преобразования наз. преобразованиями Ляпунова.

    В случае, когда матрица Р(х)постоянна, характеристич. показатели системы (1) суть действительные части собственных значений матрицы Р.

    Линейная система наз. приводимой, если существует преобразование Ляпунова (2), приводящее эту систему к виду (1), но с постоянной матрицей Р(см. [7], [8]).

    В случае, когда матрица Р(х)имеет период w, фундаментальная матрица Ф (х)(т. е. матрица, составленная из линейно независимых решений) представляется по теореме Флоке (см. [9]) в следующем виде:

    где О(х)есть w-периодическая, а А- постоянная матрицы. При этом, если Р(х)- вещественная матрица, не всегда можно Аи Q(х)выбрать вещественными, однако в представлении (3) их можно выбрать таковыми при условии, что Q(x)имеет период 2w. Из формулы (3) следует, что система (1) с периодич. матрицей Р(х)приводима (теорема Ляпунова). Формула (3) показывает, что для вычисления характеристич. показателей требуется знать лишь Ф(w), т. е. надо вычислить празличных решений на промежутке О<х<w. Линейные системы с периодич. коэффициентами изучены весьма подробно (см. [8], а также Линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами).

    Линейная система обладает свойством устойчивости асимптотич. поведения решений по отношению к малым возмущениям самой системы. Важной характеристикой линейной системы с этой точки зрения является правильность в смысле Ляпунова (см. [3]).

    А. М. Ляпунов доказал (это составляет сущность его первого метода в теории устойчивости), что правильная система устойчива по отношению к аналитическим нелинейным возмущениям.

    Одной из интересных задач качественной теории линейных д. у. является проблема колеблемости решений таких уравнений (см. Колеблющееся решение), т. е. проблема распределения нулей решений. Напр., если р(х)>a>0 при всех х, то всякое решение уравнения

    имеет бесконечно много нулей на промежутке 0<x<, причем нули двух линейно независимих решений чередуются (см. [10]).

    Нелинейные системы. Рассматриваются общие системы нелинейных д. у. в нормальной форме:

    Наиболее детально изучены автономные системы:

    Пространство векторов удля системы (5) наз. фазовым. Система (4) приводится к автономному виду (5) с помощью увеличения порядка на единицу. Автономная система вида (5), в случае если все ее решения продолжимы на всю ось определяет дина мическую систему.

    Пусть у=у( х, y0) - решение системы (5) с начальными данными х=0, у=у 0. Кривая фазового пространства у=у( х, у 0),наз. траекторией, а ее части, соответствующие - полутраекториями. Особую роль играют траектории, вырождающиеся в точку: у( х, у 0)0;это происходит, если Y(y0) = 0. Такие точки наз. состояниями равновесия. Другой важный тип траекторий - траектории периодич. решений, представляющие собой замкнутые кривые в фазовом пространстве. Замкнутую траекторию наз. предельным циклом, если к ней стремится хотя бы одна траектория, отличная от нее.

    Важная задача качественной теории нелинейных систем - изучение асимптотич. поведения всех решений при Для автономных систем вида (5) эта задача сводится к изучению структуры предельных множеств всех полутраекторий и способов приближения траекторий к этим множествам. Предельное множество всякой полутраектории замкнуто и инвариантно (множество фазового пространства нач. инвариантным, если оно состоит из целых траекторий). Если полутраектория ограничена, то ее предельное множество связно.

    В случае, когда n=2, т. е. когда фазовое пространство представляет собой плоскость, А. Пуанкаре (см. [1]) и И, Бендиксон (I. Bendixon, см. [11]) дали исчерпывающее описание возможного расположения траекторий. В предположении, что уравнение Y(у) = 0 имеет лишь конечное число решений в ограниченной части плоскости, они доказали, что предельное множество любой ограниченной полутраектории может быть одного из трех следующих типов: 1) одно состояние равновесия, 2) одна замкнутая траектория, 3) конечное число состояний равновесия и траектории, стремящиеся к этим состояниям равновесия при А. Пуанкаре

    [1] и А. Данжуа [12] рассмотрели случай уравнения 1-го порядка вида (4) с правой частью, периодичной по обоим аргументам уи х. Такие уравнения удобно рассматривать на торе (см. Дифференциальные уравнения на торе). Расположение решений в этом случае существенно зависит от числа вращения, определяемого формулой

    Если m рационально, то существуют периодические решения; если mиррационально, то периодич. решений нет. При этом, если функция У достаточно гладкая, то все решения суть квазнпериодич. функции с двумя частотами.

    В случае n>2 такого четкого описания возможного поведения траекторий дать не удается. Однако имеется много сведений, касающихся предельного поведения решений многомерных автономных систем. Имеет место следующий результат Дж. Биркгофа. Пусть замкнутое, ограниченное, инвариантное множество фазового пространства наз. минимальны м, если оно не содержит истинного подмножества с теми же свойствами. Всякое минимальное множество представляет собой замыкание рекуррентной траектории. Таким образом, в предельном множестве всякой ограниченной полутраектории содержится рекуррентная траектория.

    В том важном частном случае, когда система имеет инвариантную меру, исследование общих закономерностей поведения решений проведено весьма детально (см. [5], [22]).

    Особый интерес для приложений представляют грубые системы, т. е. системы, устойчивые по отношению к малым в смысле С 1 возмущениям правых частей, Для случая n=2 А. А. Андронов и Л. С. Понтрягия [13] сформулировали условия, необходимые и достаточные для грубости. В частности, они показали, что в ограниченной части плоскости существует лишь конечное число периодич. решений. В случае n>2 поведение грубых систем значительно сложнее. С. Смейл (S. Smalе, [14]) указал пример грубой системы, имеющей бесконечно много периодич. решений в ограниченной части фазового пространства.

    Многочисленные исследования посвящены изучению глобальных свойств конкретных систем д. у. В связи с запросами теории автоматич. управления в 50-х гг. 20 в. была развита новая отрасль К. т. д. у.- теория устойчивости движения в целом. Важную роль в теории колебаний играют диссипативные системы - системы вида (4), у к-рых все решения с ростом времени попадают в нек-рую ограниченную область. Свойства диссипативных систем изучены весьма детально. Построены сравнительно надежные методы, позволяющие устанавливать диссипативность конкретных систем (см. [15]).

    Одной из проблем К. т. д. у. является проблема существования периодич. решений. Для доказательства существования таких решений часто используют топологич. приемы, в частности различные критерии существования неподвижпой точки. Многие теоремы такого рода были доказаны применением принципа тора. При n=2 этот принцип вырождается в классический принцип кольца Пуанкаре.

    Полное качественное исследование нелинейных систем д. у. удается дать лишь в весьма частных случаях. Напр., было доказано (см. [16]), что Льенара уравнение

    при весьма естественных предположениях имеет единственное периодич. решение, а все остальные его решения стремятся к этому периодическому.

    Относительно уравнения Ван дер Поля с возмущением

    при больших значениях параметра кбыли установлены в числе других следующие интересные факты (см. [17]). При специальном выборе параметра bуравнение имеет два асимптотически устойчивых решения с периодами (2т+1)2p/l и (2п-1)2p/l, где п- натуральное достаточно большое число, "большинство" остальных решений стремится к этим двум. Имеется, кроме того, счетное множество неустойчивых периодич. решений и континуум рекуррентных непериодических.

    Локальная теория. Качественное исследование нелинейной системы д. у. (4) значительно упрощается, если его требуется провести не во всем пространстве у, х, а лишь в окрестности заданного решения. В этом случае простой заменой переменных проблема сводится к изучению следующей системы д. у.:

    где вектор-функция У в определенном смысле мала в сравнении с у. Исследование поведения решений системы (6) в окрестности состояния равновесия у=0 и составляет предмет локальной К. т. д. у.

    Важное место в этой теории занимает проблема устойчивости нулевого решения системы (6). Нулевое решение наз. устойчивым, если решение y=у( х, y0) непрерывно по y0 при y0=0 равномерно относительно

    В локальной К. т. д. у. наиболее полно исследован случай постоянной матрицы Р(х). К этому случаю сводится проблема исследования окрестности состояния равновесия и периодич. решения автономной системы.

    Описание поведения решений системы (6) в окрестности у-0 сравнительно просто, если матрица Рпостоянная и все ее собственные значения имеют ненулевые действительные части. В этом случае дело сводится к следующему фундаментальному результату Ляпунова - Перрона (см. [1], [18]). Пусть ксобственных значений постоянной матрицы Римеют отрицательные действительные части, а остальные п-ксобственных значений имеют положительные действительные части. Тогда в пространстве усуществуют два многообразия Ми Nразмерности ки п-k, соответственно, такие, что если , то у( х, у 0) 0 при а если то при х все остальные решения покидают окрестность начала координат как при возрастании, так и при убывании х. Случаи, когда матрица Римеет собственные числа с нулевыми действительными частями, наз. критическими.

    А. М. Ляпунов дал исчерпывающее описание поведения решений системы (6) в окрестности начала координат в случаях, когда постоянная матрица Римеет одно нулевое или два чисто мнимых собственных числа, все остальные собственные числа имеют отрицательные действительные части, а вектор-функция У не зависит от x и аналитична (см. [3]). Основополагающие результаты в локальной качественной теории автономных систем 2-го порядка принадлежат А. Пуанкаре [1], А. М. Ляпунову [3, 4], И. Бендиксону [11] и М. Фроммеру (М. Frommer, [19]).

    Пусть рассматривается система уравнений

    где Р т и Qm- формы, степени m, а функции Y и Zмалы в сравнении с величиной (y2+z2)m/2. Пусть состояние равновесия, расположенное в начале координат, изолировано. В этом случае для системы (7) либо существует решение, стремящееся к началу, либо в любой окрестности начала существует замкнутая траектория. Во втором случае либо все траектории, лежащие в окрестности начала, замкнуты (расположение типа центр), либо в любой окрестности начала существуют как замкнутые, так и незамкнутые траектории (расположение типа центрофокус). Показано, что в случае аналитических У и Zцентрофокус невозможен (см. [20]). Далее, если траектория стремится к началу координат, то либо она имеет в начале определенную касательную, либо вдоль нее полярный угол не ограничен. В последнем случае - расположение типа фокус. Касательными к траекториям, стремящимся к началу, могут быть лишь прямые, на к-рых аннулируется величина Qmy- Р mz. Такие прямые наз. исключительными направлениями. Для достаточно гладких У и Z разработаны алгоритмы, позволяющие выяснить наличие и количество траекторий, входящих в начало вдоль данного исключительного направления. Это позволяет в случаях, когда существуют траектории, входящие в начало с определенной касательной, полностью описать поведение траекторий в окрестности начала.

    Если исключительные направления отсутствуют или все они "проходятся" решениями (т. е. не существует решений, входящих в начало с определенной касательной), то возникает центра и фокуса проблема.

    Зависимость поведения решений от параметров системы. Одной из центральных проблем К. т. д. у. является проблема поведения решений системы, близкой к данной, при условии, что свойства этой последней известны. Рассматривается система

    где m - параметр. Пусть порождающая система, т. е. система (8) при m= 0, обладает нек-рым свойством. Ставится вопрос, обладает ли тем же свойством система (8) при малых, но отличных от нуля, m. Классическим примером такой задачи является задача Пуанкаре (см. [2]) о существовании периодических решений. Пусть векторы Y и R имеют период со по х, а порождающая система обладает w-периодическим решением. В этом случае проблема сводится. к рассмотрению квазилинейной системы

    где А- постоянная матрица. Оказывается, что если собственные числа Аотличны от 2pki/w, где k- целое число, то система (9) имеет при достаточно малых m единственное w-периодич. решение j(x, m), непрерывное по m, и j(x, 0) = 0. В случае, когда матрица Аимеет собственные числа вида 2pki/w, вопрос о существовании и количестве периодич. решений существенно зависит от вида возмущения R( у, х,m). При решении проблемы существования периодич. решений в этом случае весьма полезным оказывается метод усреднения (см. Крылова- Боголюбова метод усреднения).

    Аналогичные вопросы ставятся и для других типов решений: ограниченных, рекуррентных, почти периодических и т. д. Напр., если вектор Rравномерно почти периодичен по х, а все собственные числа матрицы 4 имеют непулевые действительные части, то система (9) при достаточно малом m имеет единственное почти периодич. решение (см. [21] ).

    Малого параметра методом исследуются также вопросы существования у системы (8) интегральных множеств с определенными свойствами. Н. Н. Боголюбов (см. [21] ) рассмотрел с этой точки зрения следующую важную для приложений систему:

    где j есть k-мерный, хесть n-мерный векторы, а- постоянный k-мерный вектор, А- постоянная матрица, все собственные числа к-рой имеют ненулевые вещественные части. Векторы R и Ф имеют период 2p по компонентам вектора ср. При m=0 система (10) имеет интегральную поверхность х=0. Н. Н. Боголюбов доказал, что при достаточно малом m система (10) имеет интегральную поверхность:

    где функция f имеет период 2p по компонентам j и f(t,j, 0) = 0. При этом, если векторы Ф и Rявляются w-периодичными по t, то вектор f также w-периодичен по t. Если все собственные числа матрицы Аимеют отрицательные действительные части, то интегральная поверхность x=f асимптотически устойчива. Отсюда, в частности, вытекает, что если в системе (8) вектор У не зависит от x и при m==0 эта система имеет асимптотически устойчивое по первому приближению периодич. решение, то при достаточно малых m. система (8) имеет в пространстве у, х двумерное, цилиндрическое асимптотически устойчивое интегральное многообразие.

    Лит.:[1] Пуанкаре А.. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М., 1947; [2] Роinсаre H., Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, t. 1 - 3, P., 1892 - 99; [3] Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, М.- Л., 1950; [4] его же, "Матем. сб.", 1893, т. "17, в. 2, с. 253-333; [5] Биркгоф Д. Д., Динамические системы, пер. с англ., М., 1941; [6) Вirkhoff G. D., "Acta Math.", 1922, v. 43, p. 1-119; [7] Epyгин Н. П., Приводимые системы, Л.- М., 1946; [8] его же, Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами, Минск, 1963; [9] Floquet M. G., "Ann. set. Ecole norm. super.", 1883, ser. 2, t. 12, p. 47-89; [10] Sturm J. С h., "J. math, pures et appl.", 1836, p. 106-86; [11] Бендиксон И., "Успехи матем. наук", 1941, в. 9, с. 191-211; [12] Dеnjоу A., "J. math., pures et appl.", 1932, ser. 9, t. 11, № 3, p. 333-75; [13] Андронов А. А., Понтрягин Л. С, "Докл. АН СССР", 1937, т. 14, № 5, с. 247 - 50; [14] Смейл С, "Успехи матем. наук", 1970, т. 25, в. 1, с. 11.3-85; [15] Плис с В. А., Нелокальные проблемы теории колебаний, М.- Л., 1964; [16] Levinson N., SmithO. К., "Duke Math. J.", 1942, v. 9, 345 2, p. 382-403; [17] Littlewood J. E.."Acta math.", 1937, v. 97, Ks3 - 4, p. 267-308; [18] Perron O., "Math. Z.", 1928, Bd 29, S. 129-60; [19] Фроммер М., "Успехи матем. наук", 1941, в. 9, с. 212-53; [20] Dulас Н., "Bull. Soc. math. France", 1923, t. 51; [21] БoголюбовН. Н.,0 некоторых статистических методах в математической физике, К., 1945; [22] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, М., 1949; [23] Андронов А. А. и др., Качественная теория динамических систем второго порядка, М., 1966; [24] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [25] Лефшец С, Геометрическая теория дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1961.

    В. А. Плисc.

    Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

    dic.academic.ru

    Теория дифференциальных уравнений Википедия

    График некоторых частных интегралов дифференциального уравнения

    Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, в которое входят производные функции, и может входить сама функция, независимая переменная и параметры. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или могут отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,  f′(x)=f(f(x)){\displaystyle \ f'(x)=f(f(x))} не является дифференциальным уравнением[1].

    В отличие от алгебраических уравнений, в результате решения которых ищется число (несколько чисел), при решении дифференциальных уравнений ищется функция (семейство функций).

    Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения.

    Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволило некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

    Терминология и классификация[ | ]

    Порядок дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него.

    Если дифференциальное уравнение является многочленом относительно старшей производной, то степень этого многочлена называется степенью дифференциального уравнения. Так, например, уравнение (y″)4+y′+y6+x7=0{\displaystyle (y'')^{4}+y'+y^{6}+x^{7}=0} является уравнением второго порядка, четвёртой степени[2].

    Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется

    ru-wiki.ru

    Теория дифференциальных уравнений

    Тео́рия дифференциа́льных уравне́ний — раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Её результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко — в физике.

    Неформально говоря, дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные производные от нее. Различают обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП).

    Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

    Обыкновенные дифференциальные уравнения

    Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида F(t,x,x',x'',...,x(n)) = 0, где x = x(t) — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени t, штрих означает дифференцирование по t. Число n называется порядком дифференциального уравнения.

    Дифференциальные уравнения в частных производных

    Дифференциальное уравнение в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные.

    Ссылки

    Русскоязычные ресурсы по дифференциальным уравнениям в Открытом Каталоге.

    Литература

    Учебники

    • В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.
    • А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
    • А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.

    Справочники

    • Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.
    • В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.
    • Э. Камке. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966.
    • В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
    • А. Д. Полянин. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001.
    • А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. М.: Физматлит, 2002 .
    • Н.М. Матвеев "Методы интегрирования обыкновенных диффиренциальных уравнений", "Лань", 2003

    mediaknowledge.ru