Умножение в уме многозначных чисел – ? . .

Способы умножения многозначных чисел | Социальная сеть работников образования

li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-7}#doc4548110 .lst-kix_list_2-6>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-6}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-8.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-8 0}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-0{list-style-type:none}#doc4548110 .lst-kix_list_2-8>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_2-0,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-1,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-2,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-3,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-4,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-5,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-6,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-7,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-8,decimal) ". "}#doc4548110 .lst-kix_list_1-1>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-1,decimal) ". "}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-0.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-0 0}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-1{list-style-type:none}#doc4548110 .lst-kix_list_1-1>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-1}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-2{list-style-type:none}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-3{list-style-type:none}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-4{list-style-type:none}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-5{list-style-type:none}#doc4548110 .lst-kix_list_2-0>
li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_2-0,decimal) ". "}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-2.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-2 0}#doc4548110 .lst-kix_list_1-2>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-2,decimal) ". "}#doc4548110 .lst-kix_list_2-8>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-8}#doc4548110 .lst-kix_list_1-5>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-5,decimal) ". "}#doc4548110 .lst-kix_list_2-3>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-3}#doc4548110 .lst-kix_list_1-8>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-8}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-7.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-7 0}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-7{list-style-type:none}#doc4548110 .lst-kix_list_2-3>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_2-0,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-1,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-2,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-3,decimal) ". "}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-6{list-style-type:none}#doc4548110 .lst-kix_list_2-4>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_2-0,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-1,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-2,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-3,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-4,decimal) ". "}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-8{list-style-type:none}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-5.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-5 0}#doc4548110 .lst-kix_list_1-4>
li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-4,decimal) ". "}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-4.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-4 0}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-1.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-1 0}#doc4548110 .lst-kix_list_2-1>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-1}#doc4548110 .lst-kix_list_2-0>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-0}#doc4548110 .lst-kix_list_1-5>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-5}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-3.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-3 0}#doc4548110 .lst-kix_list_2-5>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_2-0,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-1,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-2,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-3,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-4,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-5,decimal) ". "}#doc4548110 .lst-kix_list_1-0>li:before{content:"\0027a2 "}#doc4548110 .lst-kix_list_2-4>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-4}#doc4548110 .lst-kix_list_2-7>
li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_2-0,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-1,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-2,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-3,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-4,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-5,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-6,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-7,decimal) ". "}#doc4548110 .lst-kix_list_1-8>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-8,decimal) ". "}#doc4548110 .lst-kix_list_1-6>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-6}#doc4548110 .lst-kix_list_2-5>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-5}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-6.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-6 0}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-2.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-2 0}#doc4548110 .lst-kix_list_1-3>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-3,decimal) ". "}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-7.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-7 0}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-1.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-1 0}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-3.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-3 0}#doc4548110 .lst-kix_list_1-3>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-3}#doc4548110 .lst-kix_list_2-7>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-7}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-6.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-6 0}#doc4548110 .lst-kix_list_1-2>
li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-2}#doc4548110 ol.lst-kix_list_2-5.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_2-5 0}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-7{list-style-type:none}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-8{list-style-type:none}#doc4548110 .lst-kix_list_1-6>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-6,decimal) ". "}#doc4548110 .lst-kix_list_2-6>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_2-0,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-1,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-2,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-3,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-4,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-5,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-6,decimal) ". "}#doc4548110 .lst-kix_list_1-4>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-4}#doc4548110 ul.lst-kix_list_1-0{list-style-type:none}#doc4548110 .lst-kix_list_2-2>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_2-0,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-1,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-2,decimal) ". "}#doc4548110 .lst-kix_list_1-7>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-7,decimal) ". "}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-8.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-8 0}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-4.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-4 0}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-2{list-style-type:none}#doc4548110 .lst-kix_list_2-1>
li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_2-0,decimal) "." counter(lst-ctn-kix_list_2-1,decimal) ". "}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-1{list-style-type:none}#doc4548110 .lst-kix_list_2-2>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_2-2}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-6{list-style-type:none}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-5{list-style-type:none}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-4{list-style-type:none}#doc4548110 ol.lst-kix_list_1-3{list-style-type:none}#doc4548110 ol{margin:0;padding:0}#doc4548110 .c27{vertical-align:middle;width:5.2pt;border-style:solid;border-color:#000000;border-width:0pt;padding:0pt 5.8pt 0pt 5.8pt}#doc4548110 .c1{vertical-align:top;width:490.4pt;border-style:solid;border-color:#000000;border-width:0pt;padding:0pt 5.8pt 0pt 5.8pt}#doc4548110 .c19{vertical-align:baseline;font-size:11pt;font-style:normal;font-family:"Arial";text-decoration:none;font-weight:normal}#doc4548110 .c51{vertical-align:middle;width:474.8pt;border-style:solid;border-color:#000000;border-width:0pt}#doc4548110 .c8{list-style-position:inside;line-height:1.5;text-indent:35.4pt;margin-left:18pt}#doc4548110 .c3{text-indent:35.4pt;height:12pt;text-align:justify;direction:ltr}#doc4548110 .c6{line-height:1.5;padding-top:0pt;padding-bottom:0pt}#doc4548110 .c26{padding-top:0pt;margin-left:14.2pt;padding-bottom:6pt}#doc4548110 .c36{margin-right:auto;border-collapse:collapse}#doc4548110 .c40{max-width:467.7pt;padding:56.7pt 42.5pt 56.7pt 85pt}#doc4548110 .c10{text-indent:35.4pt;text-align:justify}#doc4548110 .c44{text-indent:-7.1pt;margin-left:42.6pt}#doc4548110 .c32{color:inherit;text-decoration:inherit}#doc4548110 .c31{line-height:1.125;text-indent:36pt}#doc4548110 .c11{line-height:1.1500000000000001;height:12pt}#doc4548110 .c24{margin:0;padding:0}#doc4548110 .c2{font-weight:bold}#doc4548110 .c42{margin-right:-2.7pt}#doc4548110 .c18{color:#000000}#doc4548110 .c49{text-align:right}#doc4548110 .c5{color:#0d0d0d}#doc4548110 .c13{font-style:italic}#doc4548110 .c30{text-decoration:underline}#doc4548110 .c39{margin-left:18pt}#doc4548110 .c48{text-indent:-21.3pt}#doc4548110 .c16{line-height:1.5}#doc4548110 .c17{text-align:justify}#doc4548110 .c0{font-size:14pt}#doc4548110 .c15{height:0pt}#doc4548110 .c23{margin-left:-35.4pt}#doc4548110 .c34{line-height:1.125}#doc4548110 .c41{line-height:1.1500000000000001}#doc4548110 .c46{height:21pt}#doc4548110 .c14{vertical-align:super}#doc4548110 .c28{text-indent:35.4pt}#doc4548110 .c45{font-size:10pt}#doc4548110 .c9{height:24pt}#doc4548110 .c7{height:18pt}#doc4548110 .c29{font-size:13pt}#doc4548110 .c21{height:12pt}#doc4548110 .c35{margin-left:36pt}#doc4548110 .c25{margin-left:226.8pt}#doc4548110 .c37{font-weight:normal}#doc4548110 .c38{font-size:36pt}#doc4548110 .c50{color:#0000ff}#doc4548110 .c4{direction:ltr}#doc4548110 .c22{line-height:1.625}#doc4548110 .c33{background-color:#ffffff}#doc4548110 .c43{font-family:"Arial"}#doc4548110 .c20{text-align:center}#doc4548110 .c12{font-family:"Times New Roman"}#doc4548110 .c47{text-indent:18pt}#doc4548110 .title{padding-top:24pt;line-height:1.0;text-align:left;color:#000000;font-size:36pt;font-family:"Times New Roman";font-weight:bold;padding-bottom:6pt}#doc4548110 .subtitle{padding-top:18pt;line-height:1.0;text-align:left;color:#666666;font-style:italic;font-size:24pt;font-family:"Georgia";padding-bottom:4pt}#doc4548110 li{color:#000000;font-size:12pt;font-family:"Times New Roman"}#doc4548110 p{color:#000000;font-size:12pt;margin:0;font-family:"Times New Roman"}#doc4548110 h2{padding-top:24pt;line-height:1.0;text-align:left;color:#000000;font-size:24pt;font-family:"Times New Roman";font-weight:bold;padding-bottom:6pt}#doc4548110 h3{padding-top:18pt;line-height:1.0;text-align:left;color:#000000;font-size:18pt;font-family:"Times New Roman";font-weight:bold;padding-bottom:4pt}#doc4548110 h4{padding-top:12pt;line-height:1.0;text-align:left;color:#000000;font-size:13pt;font-family:"Arial";font-weight:bold;padding-bottom:3pt}#doc4548110 h5{padding-top:12pt;line-height:1.0;text-align:left;color:#000000;font-size:12pt;font-family:"Times New Roman";font-weight:bold;padding-bottom:2pt}#doc4548110 h5{padding-top:11pt;line-height:1.0;text-align:left;color:#000000;font-size:11pt;font-family:"Times New Roman";font-weight:bold;padding-bottom:2pt}#doc4548110 h6{padding-top:10pt;line-height:1.0;text-align:left;color:#000000;font-size:10pt;font-family:"Times New Roman";font-weight:bold;padding-bottom:2pt}#doc4548110 ]]>

Содержание

Введение

      Способы умножения многозначных чисел

                     

1.1.«Ревность, или решётчатое умножение»……………………………..4

1.2.«Русский крестьянский способ»………………………………………5

1.3. «Китайский способ умножения»……………………………………...6

      Исследовательская часть.

2.1. Возведение в квадрат любого двузначного числа…………………...6

2.2. Квадрат числа, близкого к «круглому»………………………………7                                          

2.4.  Новый способ возведения в квадрат чисел от 40 до 60………………7

2.5. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5…………………8

2.6 Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 1…………………8

2.7. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 6…………………8

2.8. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 9…………………8

2.9. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 4…………………8

        Заключение.

        Список литературы.

Введение                          «Счет и вычисления – 

                                                                                           основы порядка в голове». 

                                                                Иоганн Генрих Песталоцци (1746 - 1827) 

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели.

Актуальность: Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Счет в уме является  самым древним и  простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений? Оказалось, что можно умножать не только так, как предлагают нам в учебниках математики, но и по-другому. Используя интернет-ресурсы, я узнал много необычных способов умножений. Ведь способность быстро производить  вычисления вызывает откровенное удивление.

Цель исследования :

  • Найти как можно больше  необычных способов вычислений.
  • Научиться их применять.
  • Выбрать для себя самые интересные, чем те, которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.

Задачи исследования:

1. Познакомиться со старинными способами умножения, такими как: «Ревность, или решётчатое умножение», «Маленький замок», «Русский крестьянский способ», «Линейный способ».

2. Исследовать приемы устного возведения чисел в квадрат и применять их на практике.

 Немного истории.

  Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину  пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века  мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

   Особенно трудны  в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного  практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы  один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия. За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения.  Кроме таблицы умножения, все они громоздкие, сложные и трудно запоминаются.  Считалось, что для овладения искусством быстрого умножения нужно особое природное дарование. Простым людям, не обладающим особым математическим даром, это искусство было недоступно.

        И все эти приемы умножения - «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

  Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые  способы умножения.

1.1.  «Ревность, или решётчатое умножение»

         

Итальянский математик 15 века Лука Пачоли  приводит 8 способов умножения. На мой взгляд, самые интересные из них – «ревность или решетчатое умножение» и  «маленький замок».

Умножим 347 на 29.

Рисуем прямоугольник, делим его на квадраты, квадраты делим по диагонали. Получается картинка, похожая на решетчатые ставни венецианских домов. От этого и произошло название метода.

Вверху таблицы  запишем число 347, а справа сверху вниз – 29

В каждый квадрат впишем произведение цифр, расположенных в одной строке и одном столбце  с  этим квадратом. Десятки располагаются в верхнем треугольнике, а единицы – в нижнем. Цифры складываются  вдоль каждой диагонали.  Результаты записываются  слева и  справа от таблицы.

Ответ – 10063.

Неудобства этого способа заключаются в трудоёмкости построения прямоугольной таблицы, а сам процесс умножения интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

1.2. «Русский крестьянский способ»

             В России  среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.

Напишем одно число слева,  а другое справа на одной строке Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик.  Если  при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1.

Затем вычеркиваем  те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце.

Ответ – 1972026.

1.3.Китайский способ умножения.

А теперь представим метод умножения, бурно обсуждаемый в Интернете, который называют китайским.  При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют  количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

На листе бумаги поочередно рисуем линии, количество которых определяется из данного примера.

Сначала 32: 3 красные линии и чуть ниже - 2 синие. Затем 21: перпендикулярно уже нарисованным, рисуем сначала 2 зеленые, затем - 1 малиновую. ВАЖНО: линии первого числа рисуются в направлении из верхнего левого угла в нижний правый, второго числа - из нижнего левого, в верхний правый. Затем считаем количество точек пересечения в каждой из трех областей (на рисунке области обозначены в виде окружностей). Итак, в первой области ( область сотен) - 6 точек, во второй (область десятков) - 7 точек, в третьей (область единиц) - 2 точки. Следовательно, ответ: 672.

2.Исследовательская часть

Приёмы быстрого счета развивают память. Это касается не только математики, но и других предметов, которые изучаются в школе.

 

Также хочется добавить в работу способы устного возведения чисел в квадрат без использования калькулятора и, что является необходимым при решении задач ГИА и ЕГЭ, а так же является хорошей тренировкой ума.

      А теперь перейдем к некоторым интересным и мне понравившимся способам устного возведения чисел в квадрат, применяемых на уроках алгебры и геометрии.

                                                                                                                                                                             

2.1. Возведение в квадрат любого двузначного числа.

Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25, то легко найти и квадрат любого двузначного числа, превышающего 25.

Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю.

Рассмотрим пример:

372=12*100+132=1200+169=1369

(М–25)*100+ (50-M) 2=100M-2500+2500–100M+M2=M2 .

2.2.Квадрат числа, близкого к «круглому».

Вычисление квадратов в разобранных примерах основано на формуле 

                а² = (а + в) (а – в) + в²,

 в которой удачный подбор числа в сильно облегчает выкладки: во-первых, один из сомножителей должен оказаться «круглым» числом (желательно, чтобы ненулевой его цифрой была только первая), во-вторых, само число в должно легко возводиться в квадрат, т. е. должно быть небольшим. Эти условия реализуются как раз на числах а, близких к «круглым».

 192² = 200*184 + 8² = 36864, / (192+8)(192-8)+ 8²/

 412² = 400*424 + 12² = 169744, /(412-12)(412+12)+ 12²/

2.3.  Возведение в квадрат чисел от 40 до50.

Чтобы возвести в квадрат число пятого десятка (41,42,43,44,45,46,47,48,49),
надо к числу единиц прибавить 15, затем к полученной сумме приписать квадрат дополнения числа единиц до 10 (если этот квадрат - однозначное число, то перед ним приписывается число о)

                                Например:

43*43=(3+15)*100+7*7=1849
48*48=(8+15)*100+2*2=2304

2.4.  Возведение в квадрат чисел от 50 до60.

Чтобы возвести в квадрат число шестого десятка (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
надо к числу единиц прибавить 25 и к этой сумме приписать квадрат числа единиц.
Например:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249

2.5.  Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5.

Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25.

15*15 = 10*20+ 25=225            или   (1*2 и приписываем справа 25)

35*35 =30*40 +25= 1225                (3*4 и приписываем справа 25)

65*65 = 60*70+25=4225                (6*7 и приписываем справа 25)

 2.6. Квадрат числа, оканчивающегося на 1.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно заменить эту единицу на 0, возвести новое число в квадрат и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 1 на 0.

Пример № 6. 712 = ?

71→70→702=4900→4900+70+71=5041=712.

2.7. Квадрат числа, оканчивающегося на 6.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить  цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат (описанным ранее способом) и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.

Пример №7. 562 =?

56→55→552=3025(56=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 562.

2.8.Квадрат числа, оканчивающегося на 9.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно заменить эту цифру 9 на 0 (получим следующее натуральное число), возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 9 на 0.

Пример №8. 592 =?

59 → 60→602=3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 592.

2.9.Квадрат числа, оканчивающегося на 4.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить  цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.

Пример № 9. 842=?

84→85→852=7225(89=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =842.

        

2.10.При возведении в квадрат часто бывает удобно воспользоваться формулой (аb)2=а2+b22аb.

Пример № 10.

412 = (40+1)2=1600+1+80=1681.

Заключение

При выполнении исследовательской работы мне понадобились не только те знания, которые имеются у меня, но и необходимая работа с дополнительной литературой.

1. В ходе моей работы я нашел и освоил различные способы умножения многозначных чисел и могу констатировать следующее - большинство способов умножения многозначных чисел основаны на знании таблицы умножения

- способ «решетчатое умножение» ничуть не хуже, чем общепринятый. Он даже проще, поскольку в клетки таблицы заносятся числа прямо из таблицы умножения без одновременного сложения, присутствующего в стандартном методе;

           -«русский крестьянский» способ умножения гораздо проще рассмотренных ранее способов. Но он также очень громоздкий.

           Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался способ «решетчатого умножения или ревность». Я показал его своим одноклассникам, и он  им  тоже очень понравился.

          Самым простым мне показался китайский способ умножения, который использовали китайцы, так как он не требует знаний таблицы умножения.                   Научившись считать всеми представленными способами, я пришел  к выводу: что самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе, может быть они для нас более привычны.

         2. Я узнал некоторые приемы устного счета, которые помогут  мне  в жизни. Мне было очень интересно работать над проектом. Я изучил новые для меня способы умножения, рассмотрел различные приемы возведения чисел в квадрат. Многие вычисления связаны с формулами сокращенного умножения, которые я изучил на уроках алгебры. Используя  упрощенные приёмы устных вычислений, я теперь могу производить наиболее трудоёмкие  арифметические действия  без применения калькулятора и компьютера. Заинтересовался не только я, но и мои родители. Я показал приемы устного умножения своим друзьям и одноклассникам. Знание упрощенных приемов устных вычислений особенно важно в тех случаях, когда не имеешь в своем распоряжении таблиц или калькулятора. У меня появилось желание продолжить эту работу и узнать ещё приемы устного счёта. Я думаю, что моя работа не пройдет для меня зря, все полученные знания я смогу использовать при сдаче ГИА и ЕГЭ.

Список литературы

1. Глейзер, Г. И.  История  математики  в  школе. – М.: Просвещение, 1964. – 376 с.

2. Перельман Я. И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел. – М.: Издательство 1994. – С. 142-144.

3. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика /Глав. ред. Аксенова М. Д. – М.: Аванта+, 2003. – С. 130-131.

     4. Катлер, Э. Система быстрого счета по Трахтенбергу.  Мак–Шейн. 1967.

5. http://marketerka.livejournal.com/9154.html

          6. http://math-school.narod.ru/history_of_mathematics

Научно – практическая конференция учащихся

«В науку шаг за шагом».

Необычные способы умножения.

                                                        Выполнен учеником

                                                        7 «А» класса

                                                        МБОУ «СОШ № 2»

                                                        Агафуровым Максимом.

                                                        Руководитель –

                                                        учитель математики

                                                        Лукьянова Ольга Алексеевна.

Донской, 2013 г.

nsportal.ru

как научиться считать в уме

Как бы стыдно мне не было, но к своим 30 годам я поняла, что очень плохо считаю в уме элементарные числа и трачу на это много времени. Этот недостаток я решила исправить и нашла на просторах интернета инструменты, которые помогли мне научиться считать в уме.

В арифметике существуют ключевые закономерности, которые необходимо  довести до автоматизма.

Вычитание 7,8,9 Чтобы вычесть 9 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 1. Чтобы вычесть из любого числа 8, нужно вычесть из него 10 и прибавить 2. Чтобы вычесть 7 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 3. Если обычно вы считаете по другому, то для лучшего результата вам нужно привыкнуть к этому новому способу.

Умножение на 9. Быстро умножить любое число на 9 можно следующим образом: сначала умножьте это число на 10 (просто добавьте 0 в конце), а затем вычтите из результата само число. Например 89*9=890-89=801. Эту операцию необходимо довести до автоматизма.

Умножение на 2. Для устного счета очень важно уметь быстро умножать любое число на 2. Для умножения на 2 не круглых чисел попробуйте округлить их до ближайших более удобных. Так 139*2 проще считать, если сначала умножить 140*2 (140*2=280). а потом вычесть 1*2=2 (именно 1 нужно прибавить к 139, чтобы получить 140) Итого: 140*2-1*2=278

Деление на 2. Для устного счета также важно уметь быстро делить любое число на 2. Несмотря на то, что многим умножение и деление на 2 дается достаточно просто, в сложных  случаях также пытайтесь округлять числа. Например, чтобы разделить 198 на 2, нужно сначала разделить 200 (это 198+2) на 2 и отнять 1 (1 мы получили, разделив прибавленные 2 на 2) Итого: 198/2=200/2-2/2=100-1=99.

Деление и умножение на 4 и 8. Деление (или умножение) на 4 и 8 являются двукратным или трехкратным делением (или умножением ) на 2. Производить эти операции удобно последовательно. Например, 46*4=46*2*2=922*2=184

Умножение на 5. Умножать на 5 очень просто. Умножение на 5 и деление на 2 - это практически одно и то же. Так 88*5=440, а 88/2=44, поэтому всегда умножайте число на 5, поделив число на 2 и умножив его на 10.

Умножение на однозначные числа. Чтобы быстро считать в уме, полезно уметь умножать двузначные и трехзначные числа на однозначные. Для этого нужно умножать дву- или трехзначное чило поразрядно. Например, умножим 83*7. Для этого сначала умножим 8 на 7 (и допишем 0, так как 8  - разряд десятков) и прибавим к этому числу произведение 3 и 7. Таким образом, 83*7=80*7+3*7=560+21=581. Возьмем более сложный пример 236*3. Итак, умножаем сложное число на 3 поразрядно: 200*3+30*3+6*3=600+90+18=708.

Определение диапазонов. Чтобы не запутаться в алгоритмах и по ошибке выдать совсем неверный ответ, важно уметь строить примерный диапазон ответов. Так умножение однозначных чисел друг на друга, может дать результат не более 90 (9*9=81), двузначных - не более 10 000 (99*99 =9801), Трехзначных не более - 1 000 000 (999*999=998001)

Деление 1000 на 2,4,8,16.И наконец, полезно знать деление чисел, кратных 10 на числа, кратные двум: 100=2*500=4*250=8*125=16*62,5

Источник: 4brian.ru

Ну и наконец тренажер для мозгов, флеш игра для отработки счета в уме.

Статью прочитали: 27

Поделиться в социальных сетях

evgeniyafirsova.ru

ЯПОНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ — Умножение чисел без калькулятора | Не ври

5. Русский способ умножения. Многие ученики не знают даже таблицы умножения! Этот прием умножения использовался русскими крестьянами примерно 2-4 века назад, а разработан был еще в глубокой древности.

В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность. Народный способ легко выходит из этого затруднения. Для умножения, например, 793 на 92 напишем одно число как множимое и под ним другое как множитель. Затем они складывали цифры в колонках и получали результат. Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Китайско-Японская система умножения

Так, например, таблица умножения для нас — то, без чего не обойтись никак, краеугольный камень в изучении математики. По сути, они — всего лишь визуализация самого процесса умножения, важная для менталитета жителей Востока. Кроме того, метод полосок зачастую в японских школах применяется лишь как подспорье для малышей.

С этим способом умножения меня познакомил сын, предоставив в моё распоряжение несколько листочков из блокнота с готовыми решениями в виде замысловатых рисунков. На первых порах рисовательный способ умножения показался мне несколько вычурным, но при этом интригующим и удивительно гармоничным. Некоторые способы быстрого устного умножения мы уже с Вами разобрали, теперь давайте подробнее разберемся, как быстро умножать числа в уме, используя различные вспомогательные способы.

38 * 56 = (30 + 8 ) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 Еще проще будет делать устное умножение двухзначных чисел в три действия. Данный способ не самый быстрый и эффективный, потому стоит изучить еще и другие способы устного умножения. После этого Вы легко сможете умножать двухзначные числа в три действия. Очень интересный способ перемножения двухзначных чисел следующий.

На самом деле, большая наглядность позволяет использовать этот способ гораздо эффективнее, чем умножение в столбик. Например, в Японии ученики первого класса могут перемножать трёхзначные числа, не зная таблицу умножения.

Тем более что вышеупомянутый метод слишком трудоёмкий при умножении чисел вроде 89 и 98, потому что придётся рисовать 34 полоски и считать все пересечения. Математика — наука, которая постоянно присутствует в нашей жизни. С самого детства ты знакомишься с таблицей умножения и не расстаешься с ней уже до старости.

Китайский??? Рисовательный способ умножения

Умножать двухзначные и трехзначные числа можно с легкостью, не используя при этом калькулятор! Способ, который ты увидишь на видео, придумали японцы. Вот уж кто славится своей находчивостью… Этот метод поможет даже тем, кто совсем не знает таблицу умножения. Подумать только — достаточно просто нарисовать соответствующее число прямых линий, и всё готово. Посмотри, как это делается, и сломай шаблон о привычном умножении навсегда!

Я в восторге от этого видео. Покажи своему ребенку, как умножать по японскому методу, — это точно ему пригодится и заинтересует его умножать без калькулятора. Цель: ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений. Гипотеза: Надо ли знать таблицу умножения? Актуальность: В последнее время ребята всё с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к математике.

Вы не сможете выполнить умножения многозначных чисел — хотя бы даже двузначных — если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения. Сам Магницкий, автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существуют способы перемножать числа и без знания таблицы умножения. В школе изучают таблицу умножения, а затем учат детей умножать числа в столбик.

Невероятный способ умножения трехзначных чисел. И почему этому не учат в школе?!

Даже общепризнанные в мире арабские цифры китайцы и японцы записывают иероглифами. Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Счёт и вычисления – основа порядка в голове”. В современной жизни каждому человеку часто приходится выполнять огромное количество расчётов и вычислений. 3) Пересечения в нижнем правом крае (12) – третье число ответа.

Этот один из самых универсальных способов устного умножения чисел, развивающий пространственное воображение и память. Вероятно, когда дети позже выучат таблицу умножения, то смогут умножать более простым и быстрым способом, в столбик. 2. Умножение методом Ферроля. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.

Похожие материалы:

velnosty.ru