Уравнение максвелла и их физический смысл – 5. Уравнения максвелла. Система уравнений максвелла в интегральной и дифференциальной форме и физический смысл входящих в нее уравнений

Содержание

Уравнения Максвелла и их физический смысл

Система уравнений Максвелла включает в себя четыре основных уравнения

, (3.1)

, (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

Эта система дополняется тремя материальными уравнениями,определяющими связь между физическими величинами, входящими в уравнения Максвелла:

(3.5)

Вспомним физический смысл этих математических фраз.

В первом уравнении (3.1) утверждается, что электростатическое поле может быть создано только электрическими зарядами.В этом уравнении

— вектор электрического смещения, ρ — объемная плотность электрического заряда.

Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности.

Как свидетельствует эксперимент, поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность всегда равен нулю (3.2)

Сопоставление уравнений (3.2) и (3.1) позволяет сделать вывод о том, что магнитные заряды в природе отсутствуют.

Огромный интерес и важность представляют уравнения (3.3) и (3.4). Здесь рассматриваются циркуляции векторов напряженности электрического () и магнитного () полей по замкнутому контуру.

В уравнении (3.3) утверждается, что переменное магнитное поле () является источником вихревого электрического поля (

).Это не что иное, как математическая запись явления электромагнитной индукции Фарадея.

В уравнении (3.4) устанавливается связь магнитного поля и переменного электрического. Согласно этому уравнению магнитное поле может быть создано не только током проводимости (), но и переменным электрическим полем.

В этих уравнениях:

— вектор электрического смещения,

H— напряженность магнитного поля,

E— напряженность электрического поля,

j— плотность тока проводимости,

μ — магнитная проницаемость среды,

ε —диэлектрическая проницаемость среды.

    1. Электромагнитные волны. Свойства электромагнитных волн

В прошлом семестре, завершая рассмотрение системы уравнений классической электродинамики Максвелла, мы установили, что совместное решение двух последних уравнений (о циркуляции векторов

и) приводит к дифференциальному волновому уравнению.

Так мы получили волновое уравнение «Y» волны:

. (3.6)

Электрическая компонента y – волны распространяется в положительном направлении оси X с фазовой скоростью

(3.7)

Аналогичное уравнение описывает изменение в пространстве и во времени магнитного поля y – волны:

. (3.8)

Анализируя полученные результаты, можно сформулировать ряд свойств, присущих электромагнитным волнам.

1. Плоская «y» - волна является линейно поляризованной поперечной волной. Векторы напряженности электрического (

), магнитного () поля и фазовой скорости волны () взаимно перпендикулярны и образуют «правовинтовую» систему (рис.3.1).

Рис.3.1

2. В каждой точке пространства компонента волны Hzпропорциональна напряженности электрического поляEy:

Здесь знаку «+» соответствует волна, распространяющаяся в положительном направлении оси X. Знак «-» — в отрицательном.

3. Электромагнитная волна движется вдоль оси X с фазовой скоростью

Здесь .

При распространении электромагнитной волны в вакууме (ε = 1, μ = 1) фазовая скорость

Здесь электрическая постоянная ε0= 8.85 · 10-12

магнитная постоянная μ0 = 4π · 10-7

.

.

Совпадение скорости электромагнитной волны в вакууме со скоростью света стало первым доказательством электромагнитной природы света.

В вакууме упрощается связь напряженности магнитного и электрического полей в волне.

.

При распространении электромагнитной волны в диэлектрической среде (μ = 1) и .

studfiles.net

1.4.Основные уравнения Максвелла и их физический смысл

1.4.1.Закон полного тока

Закон полного тока в интегральной форме устанавливает связь между электрическим током и напряженностью магнитного поля и формулируется следующим образом.

Циркуляция напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру равна полному току сквозь поверхность, ограниченную этим контуром:

.

Полный ток равен алгебраической сумме токов проводимости, смещения и переноса:

.

В соответствии с вышесказанным плотность полного тока в произвольной среде описывается следующим соотношением:

,

а полный ток характеризуется выражением

.

С учетом этого обобщенный закон полного тока примет вид:

.

Левую часть уравнения преобразуем по теореме Стокса:

.

Отсюда имеем дифференциальную форму закона полного тока:

,

где .

Физическое содержание закона полного тока - магнитное поле порождается не только движущими зарядами (ток проводимости и ток переноса), но и изменяющимся электрическим полем (плотность тока в вакууме):

.

Возьмем операцию div от левой и правой части выражения закона полного тока:

.

Из математики известно, что divrot  0. Отсюда получаем уравнение непрерывности линий вектора плотности тока:

.

Подставив в это уравнение выражение плотности тока, получим закон сохранения заряда в дифференциальной форме:

.

Полученное уравнение показывает, что в переменном электромагнитном поле токи и заряды связаны и не могут задаваться независимо друг от друга.

1.4.2. Закон электромагнитной индукции

Закон электромагнитной индукции, или закон Фарадея, формулируется следующим образом.

Электродвижущая сила, возникающая в контуре при изменении магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром, равна скорости изменения потока, взятой со знаком "минус", т.е.

, (1.1)

где электродвижущая сила определяется как

, (1.2)

магнитный поток записывается в виде

. (1.3)

Закон электромагнитной индукции определяет связь электрического поля с изменяющимся во времени магнитным полем.

С учетом (1.1), (1.2) и (1.3) закон можно представить в форме

. (1.4)

Левая часть уравнения (4) преобразуем по теореме Стокса: .

Отсюда имеем дифференциальную форму закона электромагнитной индукции

.

Физическое содержание закона электромагнитной индукции: любое изменение магнитного поля во времени вызывает возникновение в той же точке пространства связанного с ним поля электрического.

Из совместного анализа 1-го и 2-го уравнений Максвелла следует вывод, переменное электрическое и переменное магнитное поля должны рассматри­ваться как два связанных проявления единого электромагнитного процесса.

Электромагнитным полем называется сово­купность взаимносвязанных и обуславливающих друг друга электрического и магнитного полей.

1.4.3. Принцип непрерывности магнитной индукции

В интегральной форме.

Поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхностьравен нулю:

, (1.5)

где для однородных изотропных сред

;

–напряженность магнитного поля; – абсолютная магнитная проницаемость среды;– относительная магнитная проницаемость среды;– магнитная постонная.

Перейдем к дифференциальной форме записи уравнения (1.5), используя теорему Остроградского–Гаусса:

.

Отсюда имем принцип непрерывности магнитной индукции в дифференциальной форме:

.

Физическое содержание принципа заключается в том, что не существует магнитных зарядов.

studfiles.net

Ток смещения. Уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах и их физический смысл.

Система уравнений Максвелла есть полная система уравнений классической электродинамики, которая описывает все электромагнитные явления как в вакууме, так и в произвольной материальной среде. Эти уравнения были сформулированы в 60-ые годы XIX в. Дж. К. Максвеллом на основе обобщения опытных данных и развития идеи М. Фарадея о существовании электромагнитного поля, посредством которого осуществляется взаимодействие заряженных частиц. Современная математическая форма записи системы уравнений Максвелла создана Г. Герцем и О. Хевисайдом.

с которой электромагнитное поле действует на точечный электрический заряд  q, движущийся со скоростью v.

Исходя из симметрии физических процессов в природе, можно предположить, что переменное во времени электрическое поле порождает магнитное поле. К этому же выводу пришел Дж. К. Максвелл, применяя теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля для анализа протекания квазистационарного тока через конденсатор. Пусть квазистационарный ток I(t) протекает через конденсатор ёмкостью C   (рис.). Запишем теорему о циркуляции вектора , используя контур L, который охватывает проводник с током I(t), и две поверхности S1 и S2, опирающиеся на контур, как показано на рисунке,   

        

      Ток проводимости не пересекает поверхность S2 (между обкладками конденсатора нет тока проводимости), поэтому при выборе поверхности S2 циркуляция вектора   должна равняться нулю. Поскольку циркуляция вектора  по контуру L не должна зависеть от выбора поверхности, опирающейся на этот контур, то для устранения возникающего противоречия необходимо каким-то образом изменить выражение в правой части теоремы о циркуляции вектора  . Выход был найден Максвеллом, который ввел понятие тока смещения с вектором плотности .                                                                              Согласно Максвеллу ток смещения необходимо учитывать в теореме о циркуляции вектора   наряду с обычным током проводимости, создаваемым движущимися электрическими зарядами. Обобщенная с учетом тока смещения теорема о циркуляции вектора   записывается следующим образом                  Здесь при наблюдении с конца единичного вектора нормали n к поверхности S, опирающейся на контур L, обход контура должен совершаться против хода часовой стрелки. Согласно последней формуле переменное во времени электрическое смещение является таким же источником магнитного поля, что и ток проводимости.

Дополнив  основные факты из области   электромагнетизма установлением магнитных действий токов смещения, Максвелл написал систему фундаментальных уравнений электродинамики в интегральной форме:

и дифференциальной форме:

Закон сохранения заряда не вошел в число фундаментальных, т.к. является следствием уравнений 2 и 3.

Для описания электромагнитных явлений в среде к четырем уравнениям необходимо добавить материальные уравнения, определяющие отклик среды на действие электромагнитного поля. В области относительно слабых полей для большинства изотропных сред справедливы следующие материальные уравнения
Здесь  и  - относительная диэлектрическая проницаемость и относительная магнитная проницаемость среды соответственно,   - электропроводность среды и  - сторонняя сила, действующая на свободные заряды среды, q – величина свободного заряда. Если имеется поверхность раздела двух сред, на которой скачком меняются электрические и магнитные характеристики этих сред, то из системы уравнений Максвелла следуют граничные условия, которые выражают непрерывность тангенциальных компонент векторов  и  ,                                                            а также нормальных компонент векторов   и   ,                                                             при переходе через границу раздела двух сред. Граничные условия получаются в отсутствие на поверхности раздела двух сред поверхностных зарядов и токов проводимости. Уравнения Максвелла показывают, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо магнитные поля, меняющиеся во времени. Магнитные же поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения не симметричны относительно электрического и магнитного полей, т.к. в отличие от электрических зарядов пока не обнаружено магнитных зарядов - магнитных монополей, хотя такие теории есть.

физический смысл уравнений Максвелла:

В первом уравнении (.1) утверждается, что электростатическое поле может быть создано только электрическими зарядами. В этом уравнении — вектор электрического смещения, ρ — объемная плотность электрического заряда.

Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности.

Как свидетельствует эксперимент, поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность всегда равен нулю (.2)

Сопоставление уравнений (.2) и (.1) позволяет сделать вывод о том, что магнитные заряды в природе отсутствуют.

Огромный интерес и важность представляют уравнения (.3) и (.4). Здесь рассматриваются циркуляции векторов напряженности электрического () и магнитного () полей по замкнутому контуру. В уравнении (.3) утверждается, что переменное магнитное поле () является источником вихревого электрического поля (). Это не что иное, как математическая запись явления электромагнитной индукции Фарадея.
В уравнении (.4) устанавливается связь магнитного поля и переменного электрического. Согласно этому уравнению магнитное поле может быть создано не только током проводимости (), но и переменным электрическим полем .
Справочно:

mini-fizik.blogspot.com

5. Уравнения максвелла. Система уравнений максвелла в интегральной и дифференциальной форме и физический смысл входящих в нее уравнений

5.1.Теория максвелла – теория единого электромагнитного поля

Теория Максвелла - это последовательная теория единого электромагнитного поля, которое создается произвольной системой электрических зарядов и токов. В теории Максвелла решается основная задача электродинамики: по заданному распределению зарядов и токов вычисляются характеристики создаваемых ими электрического и магнитного полей. Теория Максвелла – это обобщение важнейших законов, описывающих электрические и магнитные явления: теоремы Гаусса, закона полного тока, закона электромагнитной индукции.

Эта теория не рассматривает внутренний механизм явлений, происходящих в среде и вызывающих появление электрических и магнитных полей. Среда описывается с помощью трех величин, задающих ее электрические и магнитные свойства: относительной диэлектрической проницаемости , относительной магнитной проницаемостии удельной электрической проводимости.

Рассматриваются макроскопические поля, которые создаются макроскопическими зарядами и токами, сосредоточенными в объемах, много больших объемов атомов и молекул. Расстояния от источников полей до рассматриваемых точек пространства много больше линейных размеров атомов и молекул. Поэтому макроскопические поля изменяются заметно лишь на расстояниях, много больших размеров атомов.

Макроскопические заряды и токи являются совокупностями микроскопических зарядов и токов, которые создают свои электрические и магнитные микрополя. Эти микрополя непрерывно меняются с течением времени в каждой точке пространства. Макроскопические поля – это усредненные микрополя.

Теория Максвелла – теория близкодействия, согласно которой электрические и магнитные взаимодействия осуществляются посредством электромагнитного поля и распространяются с конечной скоростью, равной скорости света в данной среде.

5.2. Первое уравнение максвелла

Первое уравнение Максвелла в интегральной форме – это обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея:

. (5.1)

Этот закон справедлив не только для проводящего контура, но и для любого замкнутого контура, выбранного в переменном магнитном поле. Таким образом, переменное магнитное поле создает в любой точке пространства вихревое индуцированное электрическое поле независимо от того, находится в этой точке проводник, или нет.

Действительно, рассмотрим электромагнитную индукцию в контуре. Пусть контур, в котором индуцируется ток, неподвижен, а изменения магнитного потока обусловлены изменениями магнитного поля. Возникновение индукционного тока свидетельствует о том, что изменение магнитного поля вызывает появление в контуре сторонних сил, которые действуют на носители тока. Эти сторонние силы не могут быть тепловыми, химическими и т.п., они не могут также быть магнитными, так как магнитные силы не совершают работу. Таким образом, индукционный ток может быть обусловлен только возникающим в проводе электрическим полем. Обозначим напряженность этого поля . Электродвижущая сила равна циркуляции векторапо данному контуру:

.

Известно, что (здесь используется частная производная т. к.является функцией не только времени, но и координат) . Магнитный поток, поэтому

.

Контур L и поверхность S неподвижны, поэтому операции дифференцирования по времени и интегрирования по поверхности можно поменять местами:

.

Это выражение преобразуем по теореме Стокса:

,

тогда

(5.2)

- ротор поля в каждой точке пространства равен взятой с обратным знаком производной по времени от вектора. Это первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

Таким образом, изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле. Это поле существенно отличается от поля электростатического, создаваемого неподвижными зарядами. Электростатическое поле потенциально, его линии напряженности начинаются и заканчиваются на зарядах, ротор вектора, в любой точке поля равен нулю. Ротор же поляотличен от нуля, т.е. это поле является вихревым, непотенциальным. Линии напряженностизамкнуты.

Итак, электрическое поле может быть как потенциальным, так и вихревым. В общем случае электрическое поле равно векторной сумме полей:

,

причем .

Таким образом, существует взаимосвязь электрического и магнитного полей, поэтому раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл. Действительно, электрическое поле создается системой неподвижных зарядов. Однако, если заряды неподвижны относительно некоторой инерциальной системы отсчета, то относительно других инерциальных систем отсчета эти заряды движутся, и, следовательно, порождают не только электрическое, но и магнитное поле. Неподвижный провод с постоянным током создает в каждой точке пространства постоянное магнитное поле. Однако относительно других инерциальных систем этот провод находится в движении. Поэтому создаваемое им магнитное поле в любой точке с координатами (х,у,z) будет меняться, и , следовательно, порождать вихревое электрическое поле. Поле, которое относительно одной системы отсчета оказывается чисто магнитным, относительно других систем отсчета будет представлять совокупность электрического и магнитного полей, образующих единое электромагнитное поле.

studfiles.net

Ток смещения. Система уравнений Максвелла, физический смысл отдельных уравнений. Граничные условия. Материальные уравнения.

Эксперименты Эрстеда, Ампера, Фарадея установили тесную взаимосвязь электрических и магнитных явлений в виде отдельных законов. Но если эти явления так тесно связаны, то должна существовать полная система уравнений электромагнитного поля, которая однозначно определяет все уже как изученные, так и неизученные его свойства и проявления.

Джеймс Кларк Максвелл обобщил эмпирические законы электричества и магнетизма, сформулировал определенные гипотезы и на этом основании преложил полную систему уравнений электромагнитного поля.

Первая гипотеза Максвелла уже обсуждалась при рассмотрении закона электромагнитной индукции. Максвелл предположил, что при всяком изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, которое, при наличии свободных зарядов, вызывает их направленное движение – индукционный ток.

Закон электромагнитной индукции – это одно из уравнений теории Максвелла: или.

Это уравнение показывает, что произвольное электрическое поле, в отличие от электростатического, – не потенциально. Циркуляция вектора напряженности по замкнутому контуру не равна нулю. В общем случае, когда электрическое поле создается и зарядами и переменным магнитным полем, часть линий напряженности будет начинаться и кончатся на зарядах, а другая часть линий будет замкнута. В отсутствии зарядов все линии поля будут замкнуты.

Вторая гипотеза Максвелла была выдвинута для объяснения процесса протекания квазистационарного тока в цепи с конденсатором.

Если в конденсаторе, заполненном диэлектриком, пойдет ток проводимости, - направленное движение электронов, то это приведет к разрушению диэлектрика – пробою. При постоянном токе, в ветвях цепи, содержащих конденсатор, ток протекает только при замыкании и размыкании цепи. При переменном токе сопротивление конденсатора тем меньше, чем больше частота тока.

Кроме того, для переменного тока не выполняется теорема о циркуляции вектора напряженности в интегральном виде , поскольку справа стоит ток через любую поверхность, ограниченную контуром. Если ток постоянный, то две произвольные поверхностиS1 и S2 , ограниченные одним контуром L, пронизывает один и тот же суммарный ток (рис. 182).

РИС.182 РИС.183 РИС.184 РИС.185

В случае переменного тока, в цепи с конденсатором, ток через произвольную поверхность S2 равен нулю.

Кроме того, в дифференциальной форме эта теорема также справедлива только для стационарного тока, при котором

.

Так как внутри конденсатора тока проводимости нет, но между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора существует переменное электрическое поле, то Максвелл назвал это переменное электрическое поле – «ток смещения». Максвелл выдвинул гипотезу, что переменное электрическое поле, как и ток проводимости, создает магнитное поле.

Эта гипотеза позднее была подтверждена экспериментально.

Получим формулу для тока смещения, используя следующие соотношения: ,,,.

Объемная плотность тока смещения равна: .

Понятие тока смещения позволило Максвеллу ввести еще одно уравнение: .

Физический смысл этого уравнения в том, что магнитное поле порождается не только токами проводимости, но и переменным электрическим полем. Максвелл, таким образом, выдвинул гипотезу о существовании фундаментального явления природы – порождении магнитного поля переменным электрическим.

На рис.184(а) показано направление тока смещения при зарядке конденсатора, а на рис.184(б) – при разрядке. Следовательно, ток смещения всегда направлен также, как и ток проводимости, но, не эквивалентен ему.

Поскольку: , то.

В вакууме нет ни свободных, ни связанных зарядов и магнитное поле порождается только вихревым электрическим полем.

В диэлектриках выражение - плотность тока поляризации соответствует смещению зарядов в неполярных молекулах или разворачиванию диполей. Эти токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости.

В проводниках токи смещения также присутствуют, но они значительно меньше токов проводимости и ими пренебрегают.

Граничные условия для векторов электромагнитного поля

В электромагнитном поле вектора именяются в фазе. Закон изменения – гармонический, т.е. зависимость во времени и пространстве характеризуется косинусом.

Если есть две среды и, то векторпадающей волны может быть произвольно ориентирован относительно поверхности раздела. Принято рассматривать раздельно нормальную и тангенциальные составляющие в 1-й и во 2-й средах.

1). Нормальная составляющая.

, (т.к. интеграл по боковой поверхности стремится к нулю при). Т.о., из последнего уравнения:

,

т.е. нормальная составляющая вектора непрерывна,

,

,

а нормальная составляющая вектора испытывает разрыв.

Для составляющей электрического поля используем III уравнение Максвелла: . Рассматривая нейтральную границу раздела (т.е.), получаем данный интеграли аналогично

, и

.

2). Тангенциальные составляющие векторов.

Рассмотрим замкнутый контур. Пусть , причем. Тогда

,

откуда получаем (т.к. второй интеграл ):

.

, .

Аналогично, рассматривая тангенциальную составляющую электрического поля, получим:

,

.

studfiles.net

5. Уравнения максвелла. Система уравнений максвелла в интегральной и дифференциальной форме и физический смысл входящих в нее уравнений

5.1.Теория максвелла – теория единого электромагнитного поля

Теория Максвелла - это последовательная теория единого электромагнитного поля, которое создается произвольной системой электрических зарядов и токов. В теории Максвелла решается основная задача электродинамики: по заданному распределению зарядов и токов вычисляются характеристики создаваемых ими электрического и магнитного полей. Теория Максвелла – это обобщение важнейших законов, описывающих электрические и магнитные явления: теоремы Гаусса, закона полного тока, закона электромагнитной индукции.

Эта теория не рассматривает внутренний механизм явлений, происходящих в среде и вызывающих появление электрических и магнитных полей. Среда описывается с помощью трех величин, задающих ее электрические и магнитные свойства: относительной диэлектрической проницаемости , относительной магнитной проницаемостии удельной электрической проводимости.

Рассматриваются макроскопические поля, которые создаются макроскопическими зарядами и токами, сосредоточенными в объемах, много больших объемов атомов и молекул. Расстояния от источников полей до рассматриваемых точек пространства много больше линейных размеров атомов и молекул. Поэтому макроскопические поля изменяются заметно лишь на расстояниях, много больших размеров атомов.

Макроскопические заряды и токи являются совокупностями микроскопических зарядов и токов, которые создают свои электрические и магнитные микрополя. Эти микрополя непрерывно меняются с течением времени в каждой точке пространства. Макроскопические поля – это усредненные микрополя.

Теория Максвелла – теория близкодействия, согласно которой электрические и магнитные взаимодействия осуществляются посредством электромагнитного поля и распространяются с конечной скоростью, равной скорости света в данной среде.

5.2. Первое уравнение максвелла

Первое уравнение Максвелла в интегральной форме – это обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея:

. (5.1)

Этот закон справедлив не только для проводящего контура, но и для любого замкнутого контура, выбранного в переменном магнитном поле. Таким образом, переменное магнитное поле создает в любой точке пространства вихревое индуцированное электрическое поле независимо от того, находится в этой точке проводник, или нет.

Действительно, рассмотрим электромагнитную индукцию в контуре. Пусть контур, в котором индуцируется ток, неподвижен, а изменения магнитного потока обусловлены изменениями магнитного поля. Возникновение индукционного тока свидетельствует о том, что изменение магнитного поля вызывает появление в контуре сторонних сил, которые действуют на носители тока. Эти сторонние силы не могут быть тепловыми, химическими и т.п., они не могут также быть магнитными, так как магнитные силы не совершают работу. Таким образом, индукционный ток может быть обусловлен только возникающим в проводе электрическим полем. Обозначим напряженность этого поля . Электродвижущая сила равна циркуляции векторапо данному контуру:

.

Известно, что (здесь используется частная производная т. к.является функцией не только времени, но и координат). Магнитный поток, поэтому

.

Контур L и поверхность S неподвижны, поэтому операции дифференцирования по времени и интегрирования по поверхности можно поменять местами:

.

Это выражение преобразуем по теореме Стокса:

,

тогда

(5.2)

- ротор поля в каждой точке пространства равен взятой с обратным знаком производной по времени от вектора. Это первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

Таким образом, изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле. Это поле существенно отличается от поля электростатического, создаваемого неподвижными зарядами. Электростатическое поле потенциально, его линии напряженности начинаются и заканчиваются на зарядах, ротор вектора, в любой точке поля равен нулю. Ротор же поляотличен от нуля, т.е. это поле является вихревым, непотенциальным. Линии напряженностизамкнуты.

Итак, электрическое поле может быть как потенциальным, так и вихревым. В общем случае электрическое поле равно векторной сумме полей:

,

причем .

Таким образом, существует взаимосвязь электрического и магнитного полей, поэтому раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл. Действительно, электрическое поле создается системой неподвижных зарядов. Однако, если заряды неподвижны относительно некоторой инерциальной системы отсчета, то относительно других инерциальных систем отсчета эти заряды движутся, и, следовательно, порождают не только электрическое, но и магнитное поле. Неподвижный провод с постоянным током создает в каждой точке пространства постоянное магнитное поле. Однако относительно других инерциальных систем этот провод находится в движении. Поэтому создаваемое им магнитное поле в любой точке с координатами (х,у,z) будет меняться, и , следовательно, порождать вихревое электрическое поле. Поле, которое относительно одной системы отсчета оказывается чисто магнитным, относительно других систем отсчета будет представлять совокупность электрического и магнитного полей, образующих единое электромагнитное поле.

studfiles.net

Единая теория электрических и магнитных явлений. Система уравнений Максвелла

      Итак, переменное магнитное поле вызывает появление вихревого электрического поля. Переменное электрическое поле вызывает появление магнитного поля. Взаимно порождаясь, они могут существовать независимо от источников заряда или токов, которые первоначально создали одно из них. В сумме это есть электромагнитное поле (ЭМП). Превращение одного поля в другое и распространение в пространстве есть способ существования ЭМП. Конкретные проявления ЭМП – радиоволны, свет, гамма-лучи и т.д.

      В 1860 г. знаменитый английский физик Джеймс Клерк Максвелл создал единую теорию электрических и магнитных явлений, в которой он использовал понятие ток смещения, дал определение ЭМП и предсказал существование в свободном пространстве электромагнитного излучения, которое распространяется со скоростью света.

      Теорию ЭМП Максвелл сформулировал в виде системы нескольких уравнений. В учении об электромагнетизме эти уравнения Максвелла играют такую же роль, как уравнения (или законы) Ньютона в механике.

      1) Мы знаем теорему о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля:

,

но:   ; т.е. , тогда

  ,  (7.3.1)  

      Это уравнение является обобщением закона Био–Савара–Лапласа и показывает, что циркуляция вектора  по произвольному замкнутому контуру L равна сумме токов проводимости и токов смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур. Или другими словами, показывает связь между полным током и порождаемым им магнитным полем.

      В дифференциальной форме это уравнение Максвелла выглядит так:

       где 

      2) Рассматривая явление электромагнитной индукции, мы сделали вывод, что ЭДС индукции . Перейдем от вихревого электрического поля к магнитному:

  ,  (7.3.2)  

      Это уравнение описывает явление электромагнитной индукции (закон Фарадея) и устанавливает количественную связь между электрическими и магнитными полями: переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле. В этом физический смысл уравнения.

      В дифференциальной форме это уравнение выглядит так:

      Различие в знаках этого уравнения Максвелла соответствует закону сохранения энергии и правилу Ленца. Если бы знаки при  и  были одинаковы, то бесконечно малое увеличение одного из полей вызвало бы неограниченное увеличение обоих полей, а бесконечно малое уменьшение одного из полей, приводило бы к полному исчезновению обоих полей. То есть различие в знаках является необходимым условием существования устойчивого ЭМП.

      3) Ещё два уравнения выражают теорему Остроградского–Гаусса для электрического и магнитного полей (статических полей)

  ,  (7.3.3)  

      Поток вектора электрического смещения  через замкнутую поверхность S равен сумме зарядов внутри этой поверхности. Это уравнение показывает также, что силовые линии вектора  и  начинаются и заканчиваются на зарядах.

      В дифференциальной форме

       где 


      4) И для магнитного поля

  ,  (7.3.4)  

      Это уравнение выражает то свойство магнитного поля, что линии вектора магнитной индукции  всегда замкнуты и что магнитных зарядов нет.

      В дифференциальной форме

  ,  (7.3.5)  

      5, 6, 7) Наконец надо помнить, что величины, входящие в эти четыре уравнения не независимы, и между ними существует связь:

  ,  (7.3.6)  
  ,  (7.3.7)  
  ,  (7.3.8)  

       здесь σ – удельная проводимость,  – плотность сторонних токов.

      Эти уравнения называются уравнениями состояния или материальными уравнениями. Вид этих уравнений определяется электрическими и магнитными свойствами среды. В общем случае уравнения состояния очень сложны и нелинейны.

      Уравнения (7.3.1 – 7.3.8) составляют полную систему уравнений Максвелла. Они являются наиболее общими для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Уравнения Максвелла – инвариантны относительно преобразований Лоренца. Физический смысл уравнений Максвелла в дифференциальной и интегральной формах полностью эквивалентен.

Таким образом, полная система уравнений Максвелла в дифференциальной и интегральной формах имеет вид:

;                                       

– обобщенный закон Био–Савара–Лапласа;

;                           – закон Фарадея;

           ;                                – теорема Гаусса;                                       – отсутствие магнитных зарядов;

,         ,           

       Аудио-видео демонстрации по теме или смежным темам:  1. Солнечная корона.   2. Солнечная плазма.  

ens.tpu.ru