Произведем замену

y= u· v.

Дифференцируем это выражение по x:

Заменим в уравнении y’  и y выражениями через u и v, получим

Сгруппируем члены, содержащие функцию u, и вынесем эту функцию за скобки. Получим:

Найдем теперь такую функцию u, чтобы

При этом условии функция u(x) должна удовлетворять уравнению

Решим уравнение (1), разделив переменные:

По определению логарифма

Подставив найденное значение в уравнение ,получим следующий результат:

Это “дифур” с переменными, которые можно разделить,. Проинтегрировав его, получим следующее

ОР уравнения получим в виде

Пример 4.2. К линейному уравнению заменой z = y^1-α

y’ + P(x) · y = Q(x) · y^α, α≠ 0, α≠ 1 (4.7), которое называется уравнением Бернулли.

Пример 4.3. Решить “дифур” со следующим начальным условием.

Имеем уравнение Бернулли. Разделив наш “дифур” на √y, получим

Сделаем замену  

Получим линейное уравнение

Из предыдущего следует

Тогда, искомое ОР “дифура” имеет такой вид

Перейдем к поиску частного решения, удовлетворяющего начальному условию y(0)= 4, отсюда

Тогда частное решение первоначального “дифура” имеет такой вид

Уважаемые студенты, записывайтесь на мои занятия и я помогу Вам разобраться с “Дифурами” раз и навсегда!
Онлайн репетитор Андрей Зварыч.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Некоторые виды дифференциальных уравнений первого порядка

1.  Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Общий вид уравнений . (8.10)

С учетом равенства (8.11)

Уравнение (8.10) может быть записано в виде .

Разделим обе части на произведение функций ( при условии ) и после сокращения получим: . Так как переменные разделены, проинтегрируем уравнение почленно: . После нахождения интегралов получаем общий интеграл исходного ДУ. Предполагая, что , мы могли потерять решения. Следовательно, необходимо подстановкой в исходное уравнение сделать проверку. В том случае, когда данные функции удовлетворяют уравнению, их рассматривают как частные решения заданного ДУ.

2. 

Общий вид уравнений , (8.12)

где и – однородные функции аргументов и одной и той же степени однородности , то есть имеют место равенства

и . (8.13)

Метод решения уравнения (8.12) – деление на переменную в степени однородности: . Далее уравнение преобразуются с помощью следующей замены:

; или . (8.14)

Однородное уравнение (8.12) принимает вид: –

уравнение с разделяющимися переменными. Следовательно, дальнейшее решение – по пункту 1.

Пример 8.2. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Поделим уравнение на , получим . После замены (8.14) заданное по условию уравнение принимает вид или , . В результате интегрирования получим , , . После обратной замены , – искомый общий интеграл

3. ДУ 1-го порядка, приводящиеся к однородным или с разделяющимися переменными

Общий вид уравнений ,

где – числа.

При уравнение является однородным. Рассмотрим два случая при и не равных нулю одновременно.

1) Определитель . Вводят новые переменные и , положив , , где – решение системы уравнений .

В результате данной подстановки уравнение (8.15) становится однородным.

2) Определитель . Это означает пропорциональность коэффициентов или , . Уравнение (8.15) принимает вид: . С помощью замены , оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными вида .

4. Линейные ДУ 1-го порядка

Общий вид уравнений , (8.16)

где и – заданные функции (могут быть постоянными).

Уравнение (8.16) может быть решено двумя способами.

1) Метод Бернулли состоит в том, что решение ищется в виде произведения двух неизвестных функций или коротко .

Одна из функций произвольная, но не равная нулю. Тогда . Подставив выражения и в (8.16), после чего оно принимает вид:

или . (8.17)

Функцию подберем так, чтобы выражение в скобках обратилось в ноль. Для этого решим уравнение с разделяющимися переменными или . Отсюда в результате интегрирования получим:

. Так функция выбиралась произвольно, то можно положить , тогда или . Подставив найденную

в (8.17), приходим к еще одному уравнению с разделяющимися переменными или . Интегрируя его, получим функцию . Общее решение исходного ДУ (8.16) принимает вид . (8.18)

Пример 8.3. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Решение будем искать в виде , тогда . Исходное уравнение принимает вид или . Для отыскания функции решаем уравнение или . Отсюда , . Для нахождения функции имеем уравнение или . Проинтегрировав его, получим , . Таким образом, общее решение заданного ДУ имеет вид:

или

2) Метод Лагранжа иначе называют методом вариации произвольной постоянной. Рассмотрим сначала соответствующее линейное однородное ДУ 1-го порядка, то есть исходное уравнение без правой части . Разделив переменные и проинтегрировав, в найденном решении полагают постоянную функцией . После этого функцию дифференцируют и вместе с подставляют в исходное уравнение. При этом получают уравнение относительно неизвестной функции , отыскав которую, подставляют ее в – общее решение заданного линейного неоднородного уравнения (с правой частью).

5. Уравнения Бернулли

Общий вид уравнений . (8.17)

При , после чего (8.17) принимает вид . С помощью замены исходное уравнение становится линейным относительно функции : . Заметим, что , (8.19)

где левая часть есть полный дифференциал некоторой функции , то есть .

В этом случае ДУ (8.19) можно записать в виде , а его общий интеграл будет .

Условие, по которому можно судить, что выражение является полным дифференциалом, можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 8.2. Для того чтобы выражение , где функции и и их частные производные и непрерывны в некоторой области D плоскости , было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия (8.20)

Таким образом, согласно определению полного дифференциала (6.6) должны выполняться равенства:

и . (8.21)

Формула (8.21) представляет собой теорему Шварца, согласно которой смешенные производные второго порядка функции равны между собой.

Зафиксируем переменную и проинтегрируем первое уравнение из (8.21) по , получим:

. (8.22)

Здесь мы применили метод вариации произвольной постоянной, так как предположили, что константа и приравняв производную к функции , мы получим уравнение для нахождения неизвестной . Подставив такую, что .

Пример 8.4. Решить уравнение

Решение. Здесь функция и .

Проверим условие (8.20): . Следовательно, левая часть заданного уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции . Для ее отыскания проинтегрируем функцию по переменной , считая :

.

Пусть , тогда .Продифференцируем данную функцию по , получим или . Отсюда или , .

Найденное подставляем в функцию , получаем решение заданного ДУ:

Если условие (8.20) не выполняется, то ДУ (8.19) не является уравнением в полных дифференциалах.

Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением его на некоторую функцию , называемую интегрирующим множителем.

Чтобы уравнение было уравнение в полных дифференциалах, должно выполняться условие

. (8.23)

Выполнив дифференцирование и приведя подобные слагаемые, получим:

. Для нахождения надо проинтегрировать полученное ДУ в частных производных. Решение этой задачи не простое. Нахождение интегрирующего множителя может быть упрощено, если допустить существование как функции только одного аргумента либо только .

6.2. Пусть . Тогда уравнение (8.23) принимает вид: , или . Отсюда

. (8.24)

При этом подынтегральное выражение должно зависеть только от .

6.3. Пусть . Тогда аналогично можно получить

, (8.25)

где подынтегральное выражение должно зависеть только от y.

Пример 8.5. Решить уравнение

Решение. Здесь , то есть . Проверим существование интегрирующего множителя. По формуле (8.24) составляем подынтегральное выражение:

, оно зависит только от переменной .

Следовательно, уравнение имеет интегрирующий множитель . В нашем случае он имеет вид . Умножая заданное по условию уравнение на , получаем:

,

то есть уравнение в полных дифференциалах. Решив его аналогично пункту 6.1, найдем, что общий интеграл заданного уравнение имеет вид

7. ДУ, неразрешенные относительно производной

Рассмотрим дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно

производной. К ним, в частности относятся уравнения Лагранжа и Клеро, которые вместе образуют достаточно большой класс ДУ, решаемых методом введения параметра .

7.1. Уравнение Лагранжа

Общий вид уравнений , (8.26)

где и – известные функции от . После введения параметра уравнение (8.26) принимает вид

. (8.27)

Дифференцируя его по , получим:

или , то есть

. (8.28)

Уравнение (8.28) есть линейное уравнение относительно неизвестной функции . Решив его, найдем:

. (8.29)

Исключая параметр из уравнений (8.27) и (8.29), получаем общий интеграл уравнения (8.26) в виде .

Замечание. При переходе к уравнению (8.28) мы делили на . При этом могли быть потеряны решения, для которых или . Это означает, что является корнем уравнения (смотри уравнение (8.28)). Тогда решение для уравнения (8.26) является особым

7.2. Уравнение Клеро представляет собой частный случай уравнения Лагранжа при , следовательно, его общий вид . (8.30)

Вводим параметр , после чего уравнение (8.30) записывается

. (8.31)

Дифференцируя данное уравнение по переменной , имеем:

или . Отсюда если , то согласно (8.31), уравнение (8.30) имеет общее решение . (8.32)

Если , то получаем частное решение уравнения в параметрической форме: . (8.33)

Это – особое решение уравнения Клеро, так как оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

Пример 8.6. Решить уравнение Клеро .

Решение. Согласно формуле (8.32) общее решение имеет вид . Особое решение уравнения получим по (8.33) в виде . Отсюда

следует:, то есть

Вопросы для самопроверки.

1.  Какие основные виды ДУ первого порядка нам известны?

2.  Какие ДУ называются однородными первого порядка? Какого вида уравнения к ним приводятся?

3.  Какой вид имеют линейные ДУ первого порядка? Как к ним привести уравнения Бернулли?

4.  Изложите суть двух способов решения линейных ДУ: метода Бернулли и метода Лагранжа.

5.  При каком условии ДУ первого порядка является уравнением в полных дифференциалах? В чем суть решения?

6.  Что такое интегрирующий множитель? В каких случаях он применяется?

7.  Какие ДУ решаются методом введения параметра? В чем суть их решения?

po-teme.com.ua

10 Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка » СтудИзба

Лекция 10. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

.

В этом уравнении переменные «можно разделить», т.е. функции от x и dx собрать в правую часть, а функции от y и dy – в левую часть. Затем интегрируем полученное соотношение и получаем соотношение вида .

.

Пример. . Заметим, что – решение, это так называемое тривиальное решение. Только, проанализировав, является ли   решением или нет, мы имеем право, разделив обе части на , двигаться дальше. Иначе тривиальное решение будет потеряно.

.

Здесь нельзя потерять модуль, иначе потеряем решения при .

.

Обозначим  и раскроем модуль:

.

Заменим и разрешим С быть равной нулю, т.к. тривиальное решение есть. Окончательно,

, где С – произвольная действительная постоянная.

Обычно все эти «подводные камни» опускают (достаточно сказать о них один раз) и сразу выписывают решение  уравнения  .

Пример. Найти кривую, проходящую через точку , если угловой коэффициент касательной к кривой в три раза больше углового коэффициента  радиус-вектора в точке касания.

– решение, . Подставляя начальные условия, получим .

Пример. Формула Циолковского.

Ракета вместе с топливом, массой , движется  прямолинейно, без учета гравитации. Скорость истечения топлива , в начальный момент времени  ракета неподвижна и имеет вместе с топливом массу M. Вывести формулы для скорости ракеты .

Выделим элемент массы dm. По закону сохранения количества движения

Подставляя , получим . Отсюда

 – формула Циолковского.

Однородное уравнение.

Правая часть однородного уравнения зависит от отношения :

.

Это позволяет заменить отношение новой переменной  или .

.

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Если , то исходное уравнение уже является уравнением с разделяющимися переменными.

Пример. . , ,  

Обобщенно-однородное уравнение.

Обобщенно-однородное уравнение имеет вид

.

Возможны два случая

1)      Рекомендуется замена ,

, получили однородное уравнение.

2)

Здесь вводят новую функцию  старой переменной x.

, где определяются из пропорциональности строк определителя. Получено уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. , случай1).

,      ,    

Получили однородное уравнение.

Пример. , случай 2).

.

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Линейное уравнение.

Существует два метода решения линейного уравнения: метод вариации произвольной постоянной и метод подстановки.

Метод вариации произвольной постоянной будет встречаться нам часто: при решении неоднородных линейных уравнений высшего порядка, при решении неоднородных систем линейных уравнений. Его надо знать твердо.

При решении методом вариации произвольной постоянной сначала решают однородное уравнение (с нулевой правой частью)

Это – уравнение с разделяющимися переменными.

.

Затем  варьируют произвольную постоянную, полагая .

.

Подставляем в неоднородное уравнение:

.

При вариации произвольной постоянной здесь обязательно должны сократиться два члена, в этом идея метода.

, где С – произвольная  постоянная.

.

Видно, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Это справедливо не только для линейных уравнений первого порядка, но и для линейных уравнений высших порядков, и для линейных систем. Там подобное утверждение называется теоремой о структуре общего решения неоднородного уравнения или системы.

Замечание. Решая уравнение методом вариации, обязательно приводите его к виду   (если при стоит коэффициент, то делить на него обязательно), иначе метод вариации даст ошибку.

При решении методом подстановки  полагают

. Мы видели выше, что решение действительно является произведением двух функций от x. Этот факт здесь и используется.

 . Подставляем в уравнение:

.

Теперь решают либо уравнение  , определяя отсюда

, либо уравнение , определяя отсюда

. Здесь при интегрировании не надо добавлять константу, она появится позже, при отыскании второй функции.  В первом случае, остается найти v из .

Теперь =, как и выше.

Во втором случае остается найти u из , .

Теперь =, как и выше.

Пример. .

Решение методом вариации. Приводим уравнение, деля на коэффициент при : 

 .

Решаем однородное уравнение  .

Варьируем произвольную постоянную .

Подставляем в неоднородное уравнение

.

Решение методом подстановки.

.

Уравнение Бернулли.

Если n = 1, то это – уравнение с разделяющимися переменными, если n = 0, то это – линейное уравнение.

Заметим, что при n > 0  – решение уравнения.

Решать уравнение Бернулли можно тремя способами

1) сведение к линейному уравнению заменой

Разделим обе части уравнения на ,

Получили линейное уравнение относительно  .

Этот метод применяется редко, так как уравнение Бернулли можно решать теми же методами, что и линейное уравнение, не приводя его предварительно к линейному.

2) Решение методом вариации произвольной постоянной.

Решение проводится аналогично линейному уравнению.

Решим сначала однородное уравнение, полагая правую часть уравнения нулевой.

.

Затем ищем решение уравнения в виде , варьируя произвольную постоянную ,

вычисляем  и подставляем в исходное уравнение .

.

Вновь, как и в линейном уравнении, два слагаемых сокращаются, получаем уравнение с разделяющимися переменными.

Определяя отсюда функцию , подставляем ее в .

3)Решение методом подстановки.

Полагаем , подставляем  в исходное уравнение

.

Точно так же, как при решении линейного уравнения, решаем, например, уравнение  . Подставляем полученную функцию, решаем «оставшееся» уравнение с разделяющимися переменными .

Заметим, что оно получилось точно таким же, как в методе вариации. Поэтому вторая функция в методе подстановки и есть та самая варьируемая постоянная. Затем записываем решение .

Видим, что метод вариации и метод подстановки, фактически, один и тот же метод. Просто в методе подстановки с самого начала используется то, что решение представляется в виде произведения двух функций независимой переменной.

Пример.

Решим это уравнение Бернулли методом вариации произвольной постоянной.

,

,

Уравнение в полных дифференциалах.

Любое дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно старшей производной, можно записать в виде

 .

Если выполнено соотношение , то уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Причину такого названия понять легко. Пусть – функция двух переменных, дифференцируемая и имеющая непрерывные вторые частные производные по своим переменным. Тогда  .

Если обозначить , то исходное уравнение можно записать в виде полного дифференциала

 , а соотношение  как раз и означает равенство смешанных производных  .

Поэтому решить уравнение в полных дифференциалах – означает найти функцию   (она называется потенциалом). Так как  на решениях дифференциального  уравнения, то  потенциал будет первым интегралом исходного дифференциального уравнения:

Для решения уравнения в полных дифференциалах можно использовать два способа.

1)      ,

+.

Здесь интегрирование ведется «частным образом»: только по переменной x, считая y константой или только по y, считая x константой.

Сравнивая оба выражения для , находим функции  и константы.

Если какой-либо из интегралов, например,   не берется или его вычислить сложно, то можно найти +.

Затем, дифференцируя  частным образом по x, надо сравнить  с  и определить функции  и константы.

2)   Потенциал можно определять по формуле (она будет выведена из независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования позже, в 3 семестре)

..

Пример. .

Решим уравнение первым способом.

Так как , то это – уравнение в полных дифференциалах.

,

.

Сравнивая оба равенства, видим, что , поэтому . Соотношение   – это первый интеграл заданного дифференциального уравнения.

Решим уравнение вторым способом.

. Здесь принято .

Интегрирующий множитель.

Можно поставить вопрос, нельзя ли любое дифференциальное уравнение первого порядка свести к уравнению в полных дифференциалах?

Оказывается, что существует такой интегрирующий множитель , умножая на который обе части любого дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям теоремы Коши, можно привести это уравнение к уравнению в полных дифференциалах.

Однако неясно, как в общем случае найти этот интегрирующий множитель. Ясно только, что он должен удовлетворять уравнению

 .

Оказывается, если  (является функций только одной переменной x), то . Если (является функций только одной переменной y), то .

Пример. .

Покажите, что здесь выполняется первое условие и .

Найдите потенциал, покажите, что он равен .

studizba.com

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Общий вид линейного д.у.1: непрерывные функции или постоянные. Если, то уравнениерешается как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Рассмотрим уравнения:

1) Это уравнение является линейным по определению

,но лучше рассматривать его как уравнение с разделяющимися переменными:

2) Это уравнение не является линейным, т. к. функцияy в уравнении имеет не первую степень, а выше

3)

Уравнение является линейным по определению. Но проще рассматривать его как однородное д.у.1: где– однородная функция нулевого измерения.

4) Запишем уравнение в виде. Это линейное д.у.1.

Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

Общее решение ищется в виде гденекоторые функции.

Покажем на примере, что любую функцию можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых выбирается произвольно, а вторая зависит от этого выбора.

Пусть . Можнопредставить в виде различных пар множителей:

где первый множитель выбирается произвольно.

Указанная подстановка приводит линейное д.у.1 к решению двух д.у. с разделяющимися переменными. Покажем это в общем виде. В линейное уравнениеподставимПолучим

или

. (4)

Выберем функцию u   такой, чтобы

(5)

Уравнение (5) – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, найдем функцию без

учета произвольной постоянной. Подставим найденную функцию в уравнение (4) и получимдифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (3). Его общее решение позволит получить второй множитель

Тогда общее решение линейного д. у. 1.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решаем подстановкой

(6)

подставим в (6).

Общее решение:

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения

Подстановка: .

(7)

Подставим найденную функцию u в уравнение (7):

Таким образом, общее решение данного уравнения будет иметь вид

или

Найдем частное решение дифференциального решения, удовлетворяющее начальному условию

Следовательно, искомое частное решение такое:

Уравнения, приводящиеся к линейным (уравнения Бернулли)

Уравнение вида называется уравнением Бернулли. Здесь n – действительное число, причем при n = 0 получим линейное уравнение; при получим уравнение с разделяющимися переменными. Приуравнение Бернулли приводится к линейному, поэтому решается подстановкой

Пример. Найти общее решение уравнения

Разделив левую и правую части уравнения на х, представим его в виде

. Можно утверждать, что это уравнение имеет общий вид

т. е. является уравнением Бернулли. Решаем его подстановкой

где – вспомогательные функции.

Подставим в исходное уравнение:

(8)

Для получения общего интеграла найдем

или

.

Замечание. Неопределенный интеграл найден с применением

формулы интегрирования по частям:

Производим подстановку

;.

Тогда

studfiles.net

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут содержаться дифференциалы.

Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными. Будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией таков:

F(х, у, у’, у”, …, у⁽ⁿ⁾)=0.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.

Функция у=(х) называется решением дифференциального уравнения, если последнее обращается в тождество после подстановки у=(х).

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данного дифференциального уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс нахождения всех решений — интегрированием дифференциального уравнения.

Вообще интегралом данного дифференциального уравнения называют всякое уравнение, не содержащее производных, из которого данное дифференциальное уравнение вытекает как следствие.

Уравнение вида F(x, y, y‘)=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у’ — её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение можно разрешить относительно у’, то оно принимает вид: y‘=f(x, y) и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Дифференциальное уравнение удобно записать в виде: , являющемся част­ным случаем более общего уравнения (в симметрической форме):P(x,y)dx+Q(x, y)dy =0, где Р(x, y) и Q (x, y) — известные функции.

Уравнение в симметричной форме удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т.е. каждую из них можно рассматривать как функцию от другой.

Решением дифференциального уравнения первого прядка называется функция у=(х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения и является основной в теории дифференциальных уравнений.

Теорема (теорема Коши). Если функция f(x, у) и ее частная производная f‘_y(x, у) определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя точка (х₀; у₀) области G, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение уравнения y‘=f(x, у), удовлетворяющее условиям: у=у_о при х=х₀.

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее неизвестно, имеет ли данное уравнение решение.

Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку (x₀; у₀) области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области G уравнение имеет бесконечное число различных решений.

Условия, в силу которых функция у=(х) принимает заданное значение у₀ в заданной точке х₀, называют начальными условиями решения.

Отыскание решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, — одна из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши.

С геометрической точки зрения решить задачу Коши — значит из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку (х₀; у₀) плоскости Оху.

Точки плоскости, через которые либо проходит более одной интегральной кривой, либо не проходит ни одной интегральной кривой, называются особыми точками данного уравнения.

Общим решением уравнения в некоторой области G плоскости Оху называется функция у=(х, С), зависящая от х и произвольной постоянной С, если она является решением уравнения при любом значении постоянной С, и если при любых начальных условиях таких, что (х₀; у₀)G, существует единственное значение постоянной С=С₀ такое, что функция у=(х, С₀) удовлетворяет данным начальным условиям  (х₀, С)=С₀.

Частным решением уравнения в области G называется функция у=(х, С₀), которая получается из общего решения у=(х, С) при определенном значении постоянной С=С₀.

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной С, а частное решение — одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку (х₀; у₀).

Иногда начальные условия называют условиями Коши, а частным решением называют решение какой-нибудь задачи Коши.

Геометрический смысл уравнения. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка y‘=f(x, у) и пусть функция у=(х) – его решение. График решения представляет собой непрерывную интегральную кривую, через каждую точку которой можно провести касательную. Из уравнения следует, что угловой коэффициент у’ касательной к интегральной кривой в каждой ее точке (х; у) равен значению в этой точке правой части уравнения f(x, у). Таким образом, уравнение y‘=f(x, у) устанавливает зависимость между координатами точки (х; у) и угловым коэффициентом у’ касательной к графику интегральной кривой в той же точке. Зная х и у, можно указать направление касательной к этой интегральной кривой в точке (х; у). Сопоставим каждой точке (х; у) интегральной кривой направленный отрезок, угловой коэффициент которого равен f(х, у). Получим так называемое поле направлений данного уравнения, раскрывающее геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Итак, с геометрической точки зрения уравнение y‘=f(x, у) определяет на плоскости Оху поле направлений, а решение этого уравнения — интегральная кривая, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.

Построив на плоскости поле направлений данного дифферен­циального уравнения, можно приближенно построить интегральные кривые.

studfiles.net

Дифференциальные уравнения первого порядка

Нормальная и дифференциальная формы записи ДУ первого порядка

Дифференциальное уравнение вида (1) называется уравнением, записанным в нормальной форме, если оно разрешено относительно производной:

или

Дифференциальной формой уравнение (1) называется следующее его представление:

Интегральной кривой дифференциального уравнения называется график решения дифференциального уравнения, то есть функции .

В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечно много решений (в зависимости от значения произвольной постоянной C). Для выделения единственного решения, необходимо задать начальные (так называемые дополнительные) условия.

Задача отыскания решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (1), которое удовлетворяет начальному условию , называется задачей Коши.

Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (1).

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные однородные и неоднородные ДУ первого порядка

Функции и , входящие в уравнение, являются непрерывными на некотором интервале , на котором ищется решение рассматриваемого уравнения.

Решение неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка

1. Метод Бернулли. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (1) ищется в виде

Отсюда

После подстановки в уравнение (1), будем иметь:

Функции и подбираются таким образом, чтобы выражение , стоящее в скобках второго слагаемого, равнялось нулю. То есть уравнение (3) распадается на два уравнения:

Первое из уравнений системы является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными:

Второе уравнение системы принимает вид:

Отсюда

А тогда

2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Данный метод заключается в следующем:

1) Вначале ищется общее решение однородного дифференциального уравнения (2):

2) Далее C считается не константой, а некоторой функцией от переменной x:

Находим производную и в заданное неоднородное дифференциальное уравнение подставляем полученное выражение для и . Из полученного уравнения находим функцию .

3) В общее решение (4) однородного уравнения вместо C подставляем найденное выражение .

ru.solverbook.com