Диф уравнения для чайников: Математическое Бюро. Страница 404

Содержание

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово "обыкновенные".

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Уравнение (1) - четвёртого порядка, уравнение (2) - третьего порядка, уравнения (3) и (4) - второго порядка, уравнение (5) - первого порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) - производной второго порядка и функции; в уравнении (4) - независимой переменной; в уравнении (5) - функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть первообразная для , т. е.

.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

,

,

.

В результате мы получили общее решение -

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной

C, а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .

Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

.

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

.

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть , тогда .

Требуется взять dx и теперь - внимание - делаем это по правилам дифференцирования сложной функции, так как x и есть сложная функция ("яблоко" - извлечение квадратного корня или, что то же самое - возведение в степень "одна вторая", а "фарш" - самое выражение под корнем):

Находим интеграл:

Возвращаясь к переменной x, получаем:

.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления, что производная может быть записана также в виде . В результате уравнение приобретает вид

,

то есть, в нём в некотором виде появился x.

Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции выткают следующие пропорции:

,

то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду

,

после чего интегрируем обе части уравнения:

.

Оба интеграла - табличные, находим их:

и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:

.

Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.

Всё по теме "Дифференциальные уравнения"

Поделиться с друзьями

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение называется линейным, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения.

Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка таков:

,

где и - непрерывные функции от x.

Как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка?

Интегрирование такого уравнения можно свести к интегрированию двух двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Великие математики доказали, что нужную функцию, то есть решение уравнения, можно представить в виде произведения двух неизвестных функций

u(x) и v(x). Пусть y = uv, тогда по правилу дифференцирования произведения функций

и линейное дифференциальное уравнения первого порядка примет вид

или

.  (*)

Выберем функцию v(x) так, чтобы в этом уравнении выражение в скобках обратилось в нуль:

,

то есть в качестве функции v берётся одно из частных решений этого уравнения с разделяющимися переменными, отличное от нуля. Разделяя в уравнении переменные и выполняя затем его почленное интегрирование, найдём функцию v. Так как функция v - решение уравнения, то её подстановка в уравнение даёт

.

Таким образом, для нахождения функции u получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдём функцию

u как общее решение этого уравнения.

Теперь можем найти решение исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Оно равно произведению функций u и v, т. е. y = uv. u и v уже нашли.

Пример 1. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Как было показано в алгоритме, y = uv. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:

и, интегрируя находим u:

Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Как видим, всё решение выполняется точным следованием алгоритму, приведённому в начале статьи. Меняются лишь виды функций в уравнениях. Степени, корни, экспоненты и т.д. Это чтобы алгоритм отпечатался в памяти и был готов к разным случаям, которые только могут быть на контрольной и экзамене. А кому стало скучно, наберитесь терпения: впереди ещё примеры с интегрированием по частям!

Важное замечание. При решении заданий не обойтись без преобразований выражений. Для этого требуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 2. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

.

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:

и, интегрируя находим u:

Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

В следующем примере - обещанная экспонента.

Пример 3. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находимu:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Любители острых ощущений дождались примера с интегрированием по частям. Таков следующий пример.

Пример 4. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. В этом случае сначала нужно добиться, чтобы производная "игрека" ни на что не умножалась. Для этого поделим уравнение почленно на "икс" и получим

.

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируем по частям.

В интеграле , .

Тогда .

Интегрируем и находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

И уж совсем странной статья о дифференциальных уравнениях была бы без примера с тригонометрическими функциями.

Пример 5. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

В последних двух примерах требуется найти частное решение уравнения.

Пример 6. Найти частное решение линейного дифференциальное уравнение первого порядка

при условии .

Решение. Чтобы производная "игрека" ни на что не умножалась, разделим уравнение почленно на и получим

или

.

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:

Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

.

Пример 7. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

при условии .

Перенесём функцию "игрека" в левую часть и получим

.

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:

.

Первый интеграл равен , второй находим интегрированием по частям.

В нём , .

Тогда , .

Находим второй интеграл:

.

В результате получаем функцию u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:

Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

.

Выводы. Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка достаточно однозначен. Трудности чаще всего возникают при интегрировании и это означает, что следует повторить этот обширный раздел математического анализа. Кроме того, что особенно видно из примеров ближе к концу статьи, очень важно владеть приёмами действий со степенями и дробями, а это школьные темы, и если они подзабыты, то их тоже следует повторить. Совсем простых "демо"-примеров ждать на контрольной и на экзамене не стоит.

Всё по теме "Дифференциальные уравнения"

Поделиться с друзьями

Дифференциальные уравнения

Одной из дисциплин, входящих в курс Высшей математики, является курс дифференциальных уравнений, решение которых у студентов традиционно вызывают трудности. В данной статье постараюсь показать примеры решения некоторых видов таких уравнений.

Итак, дифференциальным уравнением (иногда, студенты называют их любя – “дифуры”) называют уравнение, которое содержит неизвестные функции, их аргументы и производные от неизвестных функций по этим аргументам (или дифференциалы неизвестных функций). 

Подавляющее большинство задач в прикладных науках, если формулируют их на языке математики, приводят именно к различным дифференциальным уравнениям. Мы рассматриваем лишь обычные дифференциальные уравнения, одной из характерных особенностей которых есть то, что неизвестные функции в этих уравнениях зависят лишь от одной переменной.

Общий вид обычного дифференциального уравнения n - го порядка такой: F(x, y, y',…, y(n-1), y(n)) = 0, где x - независимая переменная, y - неизвестная функция переменной x, а y, y',…,y(n) - производные неизвестной функции по переменной x.

Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, которая входит в это уравнение.

Решением дифференциального уравнения называют функцию y = φ(x), которая при подстановке в уравнение на место неизвестной функции превращает это уравнение в тождество. Решение дифференциального уравнения, заданное неявным соотношением, Ф(x,y) = 0 называют интегралом этого уравнения.

В этой статье будем употреблять термин проинтегрировать дифференциальное уравнение, которое означает найти все его решения. 

§1. Дифференциальное уравнение I-го порядка 

Общий вид дифференциального уравнения I-го порядка выглядит следующим образом:

F(x, y, y') = 0 (1.1)

Если соотношение (1.1) решить относительно производной, как вариант дифференциала, то получим уравнение такого вида:

y' = f(x, y) (1.2)

Такое уравнение называют дифференциальным уравнением, решенным относительно производной. Дифференциальное уравнение I-го порядка имеет, вообще говоря, не одно, а бесконечное множество число решений. Чтобы из этого множества решений выделить определенное решение, задают значение неизвестной функции y = y0  при некотором значении аргумента x = x0.

Условие, что при x = x0 функция упринимает заранее заданное значение y0, называют начальным условием. Мы это условие запишем в виде 

y|x=x0 = y0или y(x0) = y(1.3)

Проблему нахождения решения дифференциального y' = f(x,y) уравнения, которое удовлетворяет начальному условию y(x0) = y0, называют задачей Коши.

Теорема 1.1. Если в уравнении y' = f(x,y)  функция f(x,y)  и ее частная производная f'y(x,y)  непрерывны в некоторой области G плоскости Oxy, которая содержит точку (x0,y0), то существует и при этом единственное решение y=φ(x) такого уравнения, которое удовлетворяет условию y(x0) = y0.

Введем теперь еще несколько основных определений.

Определение 1.1. Общим решением (в дальнейшем, для краткости ОР) дифференциального уравнения I-го порядка называется функция

y = φ(x, C) (1.4)

которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет таким условиям:

1) она удовлетворяет уравнению при любом конкретном значении постоянной С;

2) каким бы не было начальное условие y(x0) = y0, всегда можно найти такое значение С = С0, так что функция y= φ(x, C0) будет удовлетворять этому начальному условию.

Замечание. При построении общего решения "дифура" очень часто приходят к соотношению вида

Ф(x, y, c) = 0 (1.5)

не решаемому относительно y.

Равенство Ф(x, y, c) = 0, которое неявно задает общее решение (в дальнейшем, для краткости ОР), называют общим интегралом (в дальнейшем, для краткости ОИ) дифференциального уравнения.

Определение 1.2. Частным решением дифференциального уравнения I-го порядка называется функцияy= φ(x, C0), которую получаем из его общего решения y= φ(x, C) при определенном значении C = C0.

Соотношение Ф(x, y, C0) = 0называют частным интегралом дифференциального уравнения I-го порядка. 

§2. Дифференциальные уравнения I-го порядка с разделяющимися переменными

Определение 2.1. Дифференциальное уравнение I-го порядка вида

φ(y)dy = f(x)dx (2.1)

называется уравнением с переменными, которые можно разделить.

Непосредственно (дифференцированием) устанавливается, что ОИ уравнения (2.1) является соотношение

∫ φ(y)dy = ∫ f(x)dx (2.2)

где - C=const.

Пример 2.1. Решить “дифур” 2y2dy = 3xdx.

Решение. Найдем неопределенные интегралы от правой и, конечно же, левой части

Легко увидеть, что это решение, при желании, можно записать в явной форме , но обычно его оставляют в той форме, в которой получили, кое-что упростив получим 4y3 = 9x2 + C.

Пример 2.2. Решить “дифур”  

Решение. Найдем неопределенные интегралы от правой и, конечно же, левой части

Поскольку C=const, то зачастую в такой форме решения для удобства записи, вместо C пишут ln |C|, а дальше выражение потенцируют

ln|y - 1| = ln|x| + ln C

ln|y - 1| = ln|Cx|

y – 1 = Cx

y = Cx + 1. 

Определение 2.2. Дифференциальное уравнение I-го порядка называется уравнением с переменными, которые можно разделить, если его правая часть является произведением двух функций, одна из которых зависит лишь от аргумента х, а вторая от неизвестной функции у:

 

Здесь мы считаем, что функция φ(x) определена и непрерывна для всех ϵ (a,b) а функция ѱ(y) определена и непрерывна и не равна нулю для всех ϵ (c,d).

Если переписать уравнение (2.2) в виде  , то левая часть зависит только от переменной у, а правая часть зависит только от переменной х, то есть переменные отделены. Тогда общий интеграл запишется в виде

,

где С=const.

Пример 2.3. Решить “дифур”

Решение. Перед нами уравнение с переменными, которые можно разделить,. Запишем производную в виде соотношения дифференциалов: y' = dy/dx, умножим обе части уравнения на dx  и разделим на lny. В результате проделанной замены и “перемещения” переменных получим уравнение, в котором разделены переменные

После вычисления интегралов, имеем

y= eCx  ОР искомого уравнения.

Пример 2.4. Эффективность рекламы.

Пусть фирма продает продукцию B, про которую на момент времени tиз числа возможных клиентов знает лишь xклиентов. Далее, для увеличения продажи продукции, были сделаны рекламные объявления на радио и телевидении. Далее информация о товаре распространяется между клиентами через общение. После рекламы скорость изменения числа клиентов, которые знают о продукции B, пропорциональная не только числу клиентов, которые знают о товаре, но и числу клиентов, которые еще не знают.

Если допустить, что счет времени начинается после рекламных объявлений, когда о продукции узнало N/ɣ  человек, то получаем дифференциальное уравнением с переменными, которые можно разделить

При таких начальных условиях: x = N/ɣ , если t = 0. Здесь k- положительной коэффициент пропорциональности.

Интегрируя уравнение, имеем:

В экономической литературе это выражение называют уравнением логистической кривой.

С учетом начальных условий, получим

Замечание. Уравнение с переменными, которые можно разделить, можно также задать в симметричной относительно и y дифференциальной форме

M(x) · N(y)dx+ P(x) · Q(y)dy=0 (2.4)

где функции M(x), P(x), N(y), Q(y) непрерывны соответственно в интервалах x ϵ (a,b), y ϵ (c,d).

Для нахождения решений необходимо разделить правую, (желательно, конечно) и левую части на произведение: N(y) · P(x).

и интегрируют полученное так соотношение

Если для x ϵ (a,b), y ϵ (c,d) функции P(x) и N(y) отличающиеся от нуля, то соотношение (2.6) является ОИ уравнения (2.4).

Пример 2.5. Решить “дифур” x(1 + y2)dx– y(1 + x2)dy = 0

Решение. Поступим также, как и в серии предыдущих примеров (разделим обе части уравнения на (1 + y2) · (1 + x2)

Интегрируя каждое из слагаемых (для этого не обязательно один из них переносить в правую часть), приравниваем сумму первообразных постоянной, которую обозначаем через ½ ln C, имеем:

Пример 2.6. Решить “дифур” y' + 2x2y' + 2xy– 2x = 0.

Решения. Представим производные в виде соотношения dy/dxи далее все члены уравнения домножим на dx:

Сгруппируем члены с разными дифференциалами и вынесем за скобки дифференциалы.

(1 + 2x2)dx +2x(y– 1)dx = 0

В результате деления на (1 + 2x2) (y– 1). Получим:

Интегрируем каждое из слагаемых:

Сумму первообразных приравниваем постоянной:

тогда

– ОИ уравнения.

В следующей своей статье я расскажу Вам об Однородных дифференциальных уравнениях I-го порядка и о Линейных дифференциальных уравнениях I-го порядка, уравнении Бернулли.

Если у Вас есть желание более детально изучить данный материал, научиться решать задания по данным разделам, записывайтесь на мои занятия на сайте. Буду рад Вам помочь. Онлайн репетитор Андрей Зварыч.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Дифференциальные уравнения Учебное пособие для чайников Шпаргалка - манекены 2021

Стивен Хольцнер

Как только вы выяснили тип дифференциального уравнения, с которым имеете дело, вы можете перейти к решению проблемы с помощью метода неопределенных коэффициентов или мощности серия способ. Если у вас будет упрямое уравнение, попробуйте использовать решения преобразования Лапласа, чтобы помочь.

Как сказать одно дифференциальное уравнение из другого

Прежде чем вы сможете решить дифференциальное уравнение, вам нужно знать, что это такое. Существует несколько различных типов уравнений, в том числе линейных, отделимых, точных, однородных и неоднородных.

Линейные дифференциальные уравнения касаются исключительно производных до первой мощности (забудьте о производных, поднятых до любой высшей мощности).

Сила, о которой идет речь здесь, - это сила, к которой производная относится, а не порядок производной. Вот довольно типичное линейное дифференциальное уравнение:

Разделимые дифференциальные уравнения могут быть записаны так, что все члены в x и все члены в y появляются на противоположных сторонах уравнения, как вы можете видеть в этом примере:

, который также можно записать как

Точные дифференциальные уравнения - это те, где вы можете найти функцию, чьи частные производные соответствуют членам дифференциального уравнения. Вот пример:

Однородные дифференциальные уравнения содержат только производные от y и термины с участием y . Как вы можете видеть в этом уравнении, они также установлены в 0:

Неоднородные дифференциальные уравнения такие же, как однородные дифференциальные уравнения, но за одним исключением: они могут иметь только члены с x и / или константы с правой стороны. Приведем пример неоднородного дифференциального уравнения:

Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения:

где c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) является общим решением соответствующего однородного дифференциального уравнения

и y > p ( x ) является частным решением неоднородного уравнения. Два эффективных способа решения дифференциальных уравнений

Вы можете решить дифференциальное уравнение несколькими способами. Двумя наиболее эффективными методами, которые вы можете использовать, являются метод неопределенных коэффициентов и метод степенных рядов.

Метод неопределенных коэффициентов является полезным способом решения дифференциальных уравнений. Чтобы применить этот метод, просто подключите решение, которое использует неизвестные постоянные коэффициенты в дифференциальном уравнении, а затем решите для этих коэффициентов с помощью заданных начальных условий.

Ряды мощности - еще один инструмент в вашем инструментарии для решения дифференциальных уравнений. Вы можете заменить ряд степеней, такой как следующий, на дифференциальное уравнение:

Затем вам нужно найти отношение повторения, которое дает вам коэффициент

a n . Решение дифференциальных уравнений с использованием решений преобразования Лапласа

Преобразования Лапласа - это тип интегрального преобразования, который отлично подходит для того, чтобы сделать неуправляемые дифференциальные уравнения более управляемыми. Просто возьмем преобразование Лапласа рассматриваемого дифференциального уравнения, решим это уравнение алгебраически и попытаемся найти обратное преобразование. Вот преобразование Лапласа функции

f ( t ): Проверьте эту удобную таблицу преобразований Лапласа для общих функций, когда вы не хотите тратить время на вычисление преобразование Лапласа по своему усмотрению.

Дифференциальные уравнения: виды, методы решения

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2-го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y'=dxdy, если y является функцией аргумента x.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y'=f(x)

Начнем с примеров таких уравнений.

Пример 1

y'=0, y'=x+ex-1, y'=2xx2-73

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f(x)·y'=g(x) является метод деления обеих частей на f(x). Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y'=g(x)f(x). Оно является эквивалентом исходного уравнения при f(x) ≠ 0.

Пример 2

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

ex·y'=2x+1, (x+2)·y'=1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х, при которых функции f(x) и g(x)одновременно обращаются в 0. В качестве дополнительного решения в уравнениях f(x)·y'=g(x) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х.

Пример 3

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x·y'=sin x, (x2-x)·y'=ln(2x2-1)

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y'=f2(y)·g2(x)

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у, разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫f(y)dy=∫f(x)dx

Пример 4

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y23dy=sin xdx, eydy=(x+sin 2x)dx

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f2(y) ⋅ g1(x). Так мы придем к уравнению f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx. Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f2(y) ≠ 0 и g1(x) ≠ 0. Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

Пример 5

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: dydx=y·(x2+ex), (y2+arccos y)·sin x·y'=cos xy.

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = ax+by. Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y'=f(ax+by), a,b∈R.

Пример 6

Подставив z = 2x+3y в уравнение y'=1e2x+3y получаем dzdx=3+2ezez.

Заменив z=xy или z=yx в выражениях y'=fxy или y'=fyx, мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример 7

Если произвести замену z=yx в исходном уравнении y'=yx·lnyx+1, получаем x·dzdx=z·ln z.

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Пример 8

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y'=y2-x22xy. Нам необходимо привести его к виду y'=fxy или y'=fyx. Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x2 или y2.

Пример 9

Нам дано уравнение y'=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R.

Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y'=fxy или y'=fyx, нам необходимо ввести новые переменные u=x-x1v=y-y1, где (x1;y1) является решением системы уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0

Введение новых переменных u=x-1v=y-2 в исходное уравнение y'=5x-y-33x+2y-7 позволяет нам получить уравнение вида dvdu=5u-v3u+2v.

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u. Также примем, что z=uv. Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u·dzdu=5-4z-2z23+2z.

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y'+P(x)·y=Q(x)

Приведем примеры таких уравнений.

Пример 10

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка относятся:

y'-2xy1+x2=1+x2;y'-xy=-(1+x)e-x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y(x) = u(x)v(x). Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y'+P(x)y=Q(x)ya

Приведем примеры подобных уравнений.

Пример 11

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y'+xy=(1+x)e-xy23;y'+yx2+1=arctgxx2+1·y2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z=y1-a, которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y(x) = u(x)v(x).

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Уравнения в полных дифференциалах P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Если для любых значений x и y выполняется ∂P(x,y)∂y=∂Q(x,y)∂x, то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y)=0, то есть, dU(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y)=0 по ее полному дифференциалу.

Пример 12

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения (x2-y2)dx-2xydy=0 представляет собой полный дифференциал функции x33-xy2+C=0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  y''+py'+qy=0, p,q∈R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k2+pk+q=0. Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q:

  • действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k1≠k2, k1, k2∈R;
  • действительные и совпадающие k1=k2=k, k∈R;
  • комплексно сопряженные k1=α+i·β, k2=α-i·β.

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

  • y=C1ek1x+C2ek2x;
  • y=C1ekx+C2xekx;
  • y=ea·x·(C1cos βx+C2sin βx).
Пример 13

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y''+3y'=0. Найдем корни характеристического уравнения k2+3k=0. Это действительные и различные k1 =-3 и k2=0. Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y=C1ek1x+C2ek2x⇔y=C1e-3x+C2e0x⇔y=C1e-3x+C2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y''+py'+qy=f(x), p,q∈R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y0, которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y''+py'+qy=0, и частного решения y~ исходного уравнения. Получаем: y=y0+y~.

Способ нахождения y0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y~ мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

Пример 14

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y''-2y'=(x2+1)ex;y''+36y=24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y''+p(x)·y'+q(x)·y=0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y''+p(x)·y'+q(x)·y=f(x)

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке [a; b] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y''+p(x)·y'+q(x)·y=0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y1 и y2 этого уравнения, то есть, y=C1y1+C2y2.

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1) 1, x, x2, ..., xn2) ek1x, ek2x, ..., eknx3) ek1x, x·ek1x, ..., xn1·ek1x,ek2x, x·ek2x, ..., xn2·ek2x,...ekpx, x·ekpx, ..., xnp·ekpx4) 1, chx, shx

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Пример 15

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение xy''-xy'+y=0.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y''+p(x)·y'+q(x)·y=f(x) мы можем найти в виде суммы y=y0+y~, где y0 - общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y0 можно описанным выше способом. Определить y~ нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Пример 16

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение xy''-xy'+y=x2+1.

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y(k)=p(x) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F(x, y(k), y(k+1), ..., y(n))=0, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка.

В этом случае y(k+1)=p'(x), y(k+2)=p''(x), ..., y(n)=p(n-k)(x), и исходное дифференциальное уравнение сведется к F1(x, p, p', ..., p(n-k))=0. После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене y(k)=p(x) и определить неизвестную функцию y.

Пример 17

Дифференциальное уравнение y'''xln(x)=y'' после замены y''=p(x) станет уравнением с разделяющимися переменными y''=p(x), и его порядок с третьего понизится до первого.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F(y, y', y'', ..., y(n))=0, порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену dydx=p(y), где p(y(x)) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

d2ydx2=dpdydydx=dpdyp(y)d3ydx3=ddpdyp(y)dx=d2pdy2dydxp(y)+dpdydpdydydx==d2pdy2p2(y)+dpdy2p(y)
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Пример 18

Рассмотрим решение уравнения 4y3y''=y4-1. Путем замены dydx=p(y) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4y3pdpdy=y4-1.

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=0 и y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=f(x)

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

  • находим корни характеристического уравнения kn+fn-1·kn-1+...+f1·k+f0=0;
  • записываем общее решение ЛОДУ y0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y=y0+y~, где y~ - частное решение неоднородного дифференциального уравнения. 

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y~ целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Пример 19

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y(4)+y(3)-5y''+y'-6y=xcosx+sinx соответствует линейное однородное ДУ y(4)+y(3)-5y''+y'-6y=0.

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f1(x)·y'+f0(x)·y=0 и y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f1(x)·y'+f0(x)·y=f(x)

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y=y0+y~, где y0 - общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y1, y2, ..., yn, каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f1(x)·y'+f0(x)·y=0 в тождество. Частные решения y1, y2, ..., yn обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций.{2}+2xy)\;dx+xy\;dy=0$$

Решение:


ТАУ для чайников - Стр 3

© К.Ю. Поляков, 2008

Полная модель объекта в пространстве состояний содержит еще одно уравнение – уравнение выхода, которое показывает, как формируется выход объекта y(t) :

x&(t) = A x(t) + B u(t)

(15)

y(t) = C x(t) + D u(t)

Эта модель называется моделью вход-состояние-выход. Выходная координата для двигателя постоянного тока – это угол поворота вала:

= [1 0] x(t) ,

так что C = [1 0] и D = 0 . Если же в качестве выхода принять угловую скорость, то C = [0 1].

С помощью модели (15), изменяя матрицы C и D , можно принять за выход любую линейную комбинацию переменных состояния и входа. Во многих практических задачах выход – это одна или несколько переменных состояния, которые мы можем измерить.

Поскольку момент инерции J , сопротивление якоря R и коэффициенты k1 и k2 не зави-

сят от времени, матрицы A , B , C и D в модели (15) – постоянные. Такие объекты называются стационарными, в отличие от нестационарных объектов, параметры которых изменяются во времени.

Запись моделей в единой форме (15) позволяет отвлечься от смысла переменных состояния и исследовать системы разной природы стандартными методами, которые хорошо разработаны и реализованы в современных компьютерных программах.

Покажем, как уравнения вида (15) могут быть решены и чем удобна именно такая форма записи. Предположим, что мы знаем начальные условия, то есть вектор состояния x(0) при

t = 0 . Вспомним, что знание x(0) и входа u(t) при всех t > 0 дает возможность однозначно оп-

ределить дальнейшее поведение этого объекта.

Первое уравнение в (15) позволяет найти производную, то есть, скорость изменения вектора состояния x(t) в любой момент времени. Будем считать, что при 0 ≤ t ≤ ∆t , где ∆t – ма-

лый интервал времени, эта производная не меняется. Тогда значение вектора состояния при t = ∆t приближенно определяется формулой

x(∆t) ≈ x(0) + x&(0) ∆t = x(0) +[A x(0) + B u(0)] ∆t ,

то есть, его можно легко вычислить. Зная x(∆t) и сигнал управления u(∆t) , находим выход

системы в тот же момент

y(∆t) ≈ C x(∆t) + D u(∆t) .

Эту методику можно применять и дальше, в конце второго интервала получаем x(2 ∆t) ≈ x(∆t) + x&(∆t) ∆t = x(∆t) +[A x(∆t) + B u(∆t)] ∆t ,

y(2 ∆t) ≈ C x(2 ∆t) + D u(2 ∆t) .

Таким образом, можно (приближенно) рассчитать выход системы при всех t > 0 . Конечно, точность будет тем выше, чем меньше ∆t , однако объем вычислений при этом также увеличится. Этот метод приближенного решения дифференциальных уравнения называется методом Эйлера. Так как мы не делали никаких предположений о постоянных матрицах A , B , C и D , его (как и другие, более совершенные методы) можно использовать без изменений для решения любых уравнений вида (15).

3.3. Переходная функция

Один из методов построения моделей «вход-выход» – определение реакции объекта на некоторый стандартный сигнал. Один из простейших сигналов – так называемый «единичный скачок» («единичный ступенчатый сигнал»), то есть мгновенное изменение входного сигнала с 0 до 1 в момент t = 0 . Формально этот сигнал определяется так:

0, t < 0

1(t) = ≥1, t 0

Хольцнер, Стивен: 9780470178140: Amazon.com: Книги

Прокладывайте себе путь через обычные и особые точки

Разберитесь в дифференциальных уравнениях с помощью практических советов и примеров

Доставляют ли вам страдания дифференциальные уравнения? Не волнуйтесь! Это дружелюбное руководство объясняет этот пугающий предмет на простом английском языке, шаг за шагом знакомя вас со всеми ключевыми понятиями - от линейных и разделимых дифференциальных уравнений первого порядка до уравнений более высокого порядка, степенных рядов и преобразований Лапласа.Вы найдете множество примеров, чтобы улучшить свои навыки решения проблем, а также множество полезных определений и объяснений, которые помогут справиться даже с самыми сложными дифференциальными уравнениями.

Узнайте, как:

  • Классифицировать дифференциальные уравнения

  • Решить с помощью интегрирующих коэффициентов

  • Работа с коэффициентами

  • Используйте удобные теоремы

  • Развлекайтесь с

  • Применяйте дифференциальные уравнения в реальной жизни

Прокладывайте себе путь через обычные и особые точки

Разберитесь в дифференциальных уравнениях с помощью практических советов и примеров

Доставляют ли вам страдания дифференциальные уравнения? Не волнуйтесь! Это дружелюбное руководство объясняет этот пугающий предмет на простом английском языке, шаг за шагом проводя вас через все ключевые концепции - от линейных и разделимых дифференциальных уравнений первого порядка до уравнений более высокого порядка, степенных рядов и преобразований Лапласа.Вы найдете множество примеров, чтобы улучшить свои навыки решения проблем, а также множество полезных определений и объяснений, которые помогут справиться даже с самыми сложными дифференциальными уравнениями.

Узнайте, как:

  • Классифицировать дифференциальные уравнения

  • Решить с помощью интегрирующих коэффициентов

  • Работа с коэффициентами

  • Используйте удобные теоремы

  • Развлекайтесь с

  • Применяйте дифференциальные уравнения в реальной жизни

Об авторе

Стивен Хольцнер - отмеченный наградами автор книг по естествознанию, математике и техническим наукам.Он прошел обучение по дифференциальным уравнениям в Массачусетском технологическом институте и в Корнельском университете, где получил степень доктора философии. Он работал преподавателем в Массачусетском технологическом институте и Корнельском университете и написал такие бестселлеры, как Physics For Dummies и Physics Workbook For Dummies.

Дифференциальные уравнения для чайников Хольцнера, Стивена (электронная книга)

Эта игра будет выпущена.
Этой книги больше нет в продаже.
Эта электронная книга недоступна в вашей стране.

Интересный и простой способ понять и решить сложные уравнения

Многие фундаментальные законы физики, химии, биологии и экономики можно сформулировать в виде дифференциальных уравнений. Это руководство на простом английском языке исследует множество применений этого математического инструмента и показывает, как дифференциальные уравнения могут помочь нам понять мир вокруг нас. Дифференциальные уравнения для чайников - идеальный помощник для изучения курса дифференциальных уравнений в колледже и идеальный дополнительный ресурс для других классов математического анализа, а также естественных и инженерных дисциплин. Он предлагает пошаговые методы, практические советы, многочисленные упражнения и ясные, краткие примеры, которые помогут читателям улучшить свои навыки решения дифференциальных уравнений и повысить свои результаты тестов.


  • ;
  • ISBN:
  • Выпуск:
  • Название:
  • Ряд:
  • Автор:
  • Выходные данные:
  • Язык:

Читать онлайн

Если вы используете ПК или Mac, вы можете читать эту электронную книгу в Интернете в веб-браузере, ничего не загружая и не устанавливая программного обеспечения.

Скачать форматы файлов

Для этой электронной книги доступны следующие типы файлов:

Эта электронная книга доступна на:

После того, как вы купили эту электронную книгу, вы можете загрузить либо версию в формате PDF, либо ePub, либо и то, и другое.

DRM Бесплатно

Издатель предоставил эту книгу в формате DRM Free с цифровыми водяными знаками.

Необходимое программное обеспечение

Вы можете читать эту электронную книгу на любом устройстве, которое поддерживает формат EPUB без DRM или PDF без DRM.

Управление цифровыми правами (DRM)

Издатель предоставил эту книгу в зашифрованном виде, что означает, что вам необходимо установить бесплатное программное обеспечение, чтобы разблокировать и прочитать ее.

Требуемое программное обеспечение

Чтобы читать эту электронную книгу на мобильном устройстве (телефоне или планшете), вам необходимо установить одно из следующих бесплатных приложений:

Чтобы загрузить и прочитать эту электронную книгу на ПК или Mac :

  • Adobe Digital Editions (Это бесплатное приложение, специально разработанное для электронных книг.Это не то же самое, что Adobe Reader, который, вероятно, уже установлен на вашем компьютере.)
Ограничения на печать и копирование

Издатель установил ограничения на то, какую часть этой электронной книги вы можете распечатать или скопировать. Смотрите подробности.

  • {{format_drm_information.format_name}} без ограничений {{format_drm_information.format_name}} {{format_drm_information.page_percent}}% страниц каждый день {{format_drm_information.interval}} дн. {{format_drm_information.format_name}} выкл.
Читать вслух
  • {{read_aloud_information.format_name}} на {{read_aloud_information.format_name}} выкл.

Дифференциальные уравнения для чайников. Fáðu matvöruna heim að dyrum.