Диф уравнения для чайников: Математическое Бюро. Страница 404
- Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши
- Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения Учебное пособие для чайников Шпаргалка – манекены 2021
- Как сказать одно дифференциальное уравнение из другого
- Вы можете решить дифференциальное уравнение несколькими способами. Двумя наиболее эффективными методами, которые вы можете использовать, являются метод неопределенных коэффициентов и метод степенных рядов.
- Преобразования Лапласа – это тип интегрального преобразования, который отлично подходит для того, чтобы сделать неуправляемые дифференциальные уравнения более управляемыми. Просто возьмем преобразование Лапласа рассматриваемого дифференциального уравнения, решим это уравнение алгебраически и попытаемся найти обратное преобразование. Вот преобразование Лапласа функции
- Дифференциальные уравнения: виды, методы решения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y’=f(x)
- Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y’=f2(y)·g2(x)
- Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y’+P(x)·y=Q(x)
- Дифференциальное уравнение Бернулли y’+P(x)y=Q(x)ya
- Уравнения в полных дифференциалах P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
- Дифференциальные уравнения второго порядка
- Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y”+py’+qy=0, p,q∈R
- Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y”+py’+qy=f(x), p,q∈R
- Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y”+p(x)·y’+q(x)·y=0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y”+p(x)·y’+q(x)·y=f(x)
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=0 и y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=f(x)
- Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 и y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- ТАУ для чайников – Стр 3
- Хольцнер, Стивен: 9780470178140: Amazon.com: Книги
- Дифференциальные уравнения для чайников Хольцнера, Стивена (электронная книга)
- Эта игра будет выпущена.
- Этой книги больше нет в продаже.
- Эта электронная книга недоступна в вашей стране.
- Читать онлайн
- Скачать форматы файлов
- DRM Бесплатно
- Необходимое программное обеспечение
- Управление цифровыми правами (DRM)
- Требуемое программное обеспечение
- Ограничения на печать и копирование
- Читать вслух
- Дифференциальные уравнения для чайников. Fáðu matvöruna heim að dyrum.
- Дифференциальные уравнения – Введение
- Рабочая тетрадь по дифференциальным уравнениям для чайников Стивена Хольцнера, Мягкая обложка, 9780470472019
- уравнений Максвелла для чайников? | Электронный дизайн
- страница не найдена – Williams College
Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.
Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово “обыкновенные”.
Примеры дифференциальных уравнений:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(5) .
Уравнение (1) – четвёртого порядка, уравнение (2) – третьего порядка, уравнения (3) и (4) – второго порядка, уравнение (5) – первого порядка.
Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.
Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) – производной второго порядка и функции; в уравнении (4) – независимой переменной; в уравнении (5) – функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.
Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .
Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть первообразная для , т. е.
.
Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.
Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.
Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .
Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.
,
,
.
В результате мы получили общее решение –
данного дифференциального уравнения третьего порядка.
Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим
.
Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C, а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.
Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .
Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем
.
Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:
.
При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.
.
Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть , тогда .
Требуется взять dx и теперь – внимание – делаем это по правилам дифференцирования сложной функции, так как x и есть сложная функция (“яблоко” – извлечение квадратного корня или, что то же самое – возведение в степень “одна вторая”, а “фарш” – самое выражение под корнем):
Находим интеграл:
Возвращаясь к переменной x, получаем:
.
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.
Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления, что производная может быть записана также в виде . В результате уравнение приобретает вид
,
то есть, в нём в некотором виде появился x.
Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции выткают следующие пропорции:
,
то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.
Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду
,
после чего интегрируем обе части уравнения:
.
Оба интеграла – табличные, находим их:
и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:
.
Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.
Всё по теме “Дифференциальные уравнения”
Поделиться с друзьями
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение называется линейным, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения.
Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка таков:
,
где и – непрерывные функции от x.
Как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка?
Интегрирование такого уравнения можно свести к интегрированию двух двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Великие математики доказали, что нужную функцию, то есть решение уравнения, можно представить в виде произведения двух неизвестных функций u(x) и v(x). Пусть y = uv, тогда по правилу дифференцирования произведения функций
и линейное дифференциальное уравнения первого порядка примет вид
или
. (*)
Выберем функцию v(x) так, чтобы в этом уравнении выражение в скобках обратилось в нуль:
,
то есть в качестве функции v берётся одно из частных решений этого уравнения с разделяющимися переменными, отличное от нуля. Разделяя в уравнении переменные и выполняя затем его почленное интегрирование, найдём функцию v. Так как функция v – решение уравнения, то её подстановка в уравнение даёт
.
Таким образом, для нахождения функции u получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдём функцию u как общее решение этого уравнения.
Теперь можем найти решение исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Оно равно произведению функций u и v, т. е. y = uv. u и v
Пример 1. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Решение. Как было показано в алгоритме, y = uv. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:
и, интегрируя находим u:
Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Как видим, всё решение выполняется точным следованием алгоритму, приведённому в начале статьи. Меняются лишь виды функций в уравнениях. Степени, корни, экспоненты и т.д. Это чтобы алгоритм отпечатался в памяти и был готов к разным случаям, которые только могут быть на контрольной и экзамене. А кому стало скучно, наберитесь терпения: впереди ещё примеры с интегрированием по частям!
Важное замечание. При решении заданий не обойтись без преобразований выражений. Для этого требуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.
Пример 2. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
.
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:
и, интегрируя находим u:
Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
В следующем примере – обещанная экспонента.
Пример 3. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находимu:
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Любители острых ощущений дождались примера с интегрированием по частям. Таков следующий пример.
Пример 4. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Решение. В этом случае сначала нужно добиться, чтобы производная “игрека” ни на что не умножалась. Для этого поделим уравнение почленно на “икс” и получим
.
Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируем по частям.
В интеграле , .
Тогда .
Интегрируем и находим u:
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
И уж совсем странной статья о дифференциальных уравнениях была бы без примера с тригонометрическими функциями.
Пример 5. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
В последних двух примерах требуется найти частное решение уравнения.
Пример 6. Найти частное решение линейного дифференциальное уравнение первого порядка
при условии .
Решение. Чтобы производная “игрека” ни на что не умножалась, разделим уравнение почленно на и получим
или
.
Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:
Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.
Пример 7. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
при условии .
Перенесём функцию “игрека” в левую часть и получим
.
Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:
.
Первый интеграл равен , второй находим интегрированием по частям.
В нём , .
Тогда , .
Находим второй интеграл:
.
В результате получаем функцию u:
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:
Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.
Выводы. Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка достаточно однозначен. Трудности чаще всего возникают при интегрировании и это означает, что следует повторить этот обширный раздел математического анализа. Кроме того, что особенно видно из примеров ближе к концу статьи, очень важно владеть приёмами действий со степенями и дробями, а это школьные темы, и если они подзабыты, то их тоже следует повторить. Совсем простых “демо”-примеров ждать на контрольной и на экзамене не стоит.
Всё по теме “Дифференциальные уравнения”
Поделиться с друзьями
Дифференциальные уравнения
Одной из дисциплин, входящих в курс Высшей математики, является курс дифференциальных уравнений, решение которых у студентов традиционно вызывают трудности. В данной статье постараюсь показать примеры решения некоторых видов таких уравнений.
Итак, дифференциальным уравнением (иногда, студенты называют их любя – “дифуры”) называют уравнение, которое содержит неизвестные функции, их аргументы и производные от неизвестных функций по этим аргументам (или дифференциалы неизвестных функций).
Подавляющее большинство задач в прикладных науках, если формулируют их на языке математики, приводят именно к различным дифференциальным уравнениям. Мы рассматриваем лишь обычные дифференциальные уравнения, одной из характерных особенностей которых есть то, что неизвестные функции в этих уравнениях зависят лишь от одной переменной.
Общий вид обычного дифференциального уравнения n – го порядка такой: F(x, y, y’,…, y(n-1), y(n)) = 0, где x – независимая переменная, y – неизвестная функция переменной x, а y, y’,…,y(n) – производные неизвестной функции по переменной x.
Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, которая входит в это уравнение.
Решением дифференциального уравнения называют функцию y = φ(x), которая при подстановке в уравнение на место неизвестной функции превращает это уравнение в тождество. Решение дифференциального уравнения, заданное неявным соотношением, Ф(x,y) = 0 называют интегралом этого уравнения.
В этой статье будем употреблять термин проинтегрировать дифференциальное уравнение, которое означает найти все его решения.
§1. Дифференциальное уравнение I-го порядка
Общий вид дифференциального уравнения I-го порядка выглядит следующим образом:
F(x, y, y’) = 0 (1.1)
Если соотношение (1.1) решить относительно производной, как вариант дифференциала, то получим уравнение такого вида:
y’ = f(x, y) (1.2)
Такое уравнение называют дифференциальным уравнением, решенным относительно производной. Дифференциальное уравнение I-го порядка имеет, вообще говоря, не одно, а бесконечное множество число решений. Чтобы из этого множества решений выделить определенное решение, задают значение неизвестной функции y = y0 при некотором значении аргумента x = x0.
Условие, что при x = x0 функция упринимает заранее заданное значение y0, называют начальным условием. Мы это условие запишем в виде
y|x=x0 = y0или y(x0) = y0 (1.3)
Проблему нахождения решения дифференциального y’ = f(x,y) уравнения, которое удовлетворяет начальному условию y(x0) = y0, называют задачей Коши.
Теорема 1.1. Если в уравнении y’ = f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная f’y(x,y) непрерывны в некоторой области G плоскости Oxy, которая содержит точку (x0,y0), то существует и при этом единственное решение y=φ(x) такого уравнения, которое удовлетворяет условию y(x0) = y0.
Введем теперь еще несколько основных определений.
Определение 1.1. Общим решением (в дальнейшем, для краткости ОР) дифференциального уравнения I-го порядка называется функция
y = φ(x, C) (1.4)
которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет таким условиям:
1) она удовлетворяет уравнению при любом конкретном значении постоянной С;
2) каким бы не было начальное условие y(x0) = y0, всегда можно найти такое значение С = С0, так что функция y= φ(x, C0) будет удовлетворять этому начальному условию.
Замечание. При построении общего решения “дифура” очень часто приходят к соотношению вида
Ф(x, y, c) = 0 (1.5)
не решаемому относительно y.
Равенство Ф(x, y, c) = 0, которое неявно задает общее решение (в дальнейшем, для краткости ОР), называют общим интегралом (в дальнейшем, для краткости ОИ) дифференциального уравнения.
Определение 1.2. Частным решением дифференциального уравнения I-го порядка называется функцияy= φ(x, C0), которую получаем из его общего решения y= φ(x, C) при определенном значении C = C0.
Соотношение Ф(x, y, C0) = 0называют частным интегралом дифференциального уравнения I-го порядка.
§2. Дифференциальные уравнения I-го порядка с разделяющимися переменными
Определение 2.1. Дифференциальное уравнение I-го порядка вида
φ(y)dy = f(x)dx (2.1)
называется уравнением с переменными, которые можно разделить.
Непосредственно (дифференцированием) устанавливается, что ОИ уравнения (2.1) является соотношение
∫ φ(y)dy = ∫ f(x)dx (2.2)
где – C=const.
Пример 2.1. Решить “дифур” 2y2dy = 3xdx.
Решение. Найдем неопределенные интегралы от правой и, конечно же, левой части
Легко увидеть, что это решение, при желании, можно записать в явной форме , но обычно его оставляют в той форме, в которой получили, кое-что упростив получим 4y3 = 9x2 + C.
Пример 2.2. Решить “дифур”
Решение. Найдем неопределенные интегралы от правой и, конечно же, левой части
Поскольку C=const, то зачастую в такой форме решения для удобства записи, вместо C пишут ln |C|, а дальше выражение потенцируют
ln|y – 1| = ln|x| + ln C
ln|y – 1| = ln|Cx|
y – 1 = Cx
y = Cx + 1.
Определение 2.2. Дифференциальное уравнение I-го порядка называется уравнением с переменными, которые можно разделить, если его правая часть является произведением двух функций, одна из которых зависит лишь от аргумента х, а вторая от неизвестной функции у:
Здесь мы считаем, что функция φ(x) определена и непрерывна для всех x ϵ (a,b) а функция ѱ(y) определена и непрерывна и не равна нулю для всех y ϵ (c,d).
Если переписать уравнение (2.2) в виде , то левая часть зависит только от переменной у, а правая часть зависит только от переменной х, то есть переменные отделены. Тогда общий интеграл запишется в виде
,
где С=const.
Пример 2.3. Решить “дифур”
Решение. Перед нами уравнение с переменными, которые можно разделить,. Запишем производную в виде соотношения дифференциалов: y’ = dy/dx, умножим обе части уравнения на dx и разделим на y lny. В результате проделанной замены и “перемещения” переменных получим уравнение, в котором разделены переменные
После вычисления интегралов, имеем
y= eCx ОР искомого уравнения.
Пример 2.4. Эффективность рекламы.
Пусть фирма продает продукцию B, про которую на момент времени tиз числа возможных клиентов знает лишь xклиентов. Далее, для увеличения продажи продукции, были сделаны рекламные объявления на радио и телевидении. Далее информация о товаре распространяется между клиентами через общение. После рекламы скорость изменения числа клиентов, которые знают о продукции B, пропорциональная не только числу клиентов, которые знают о товаре, но и числу клиентов, которые еще не знают.
Если допустить, что счет времени начинается после рекламных объявлений, когда о продукции узнало N/ɣ человек, то получаем дифференциальное уравнением с переменными, которые можно разделить
При таких начальных условиях: x = N/ɣ , если t = 0. Здесь k– положительной коэффициент пропорциональности.
Интегрируя уравнение, имеем:
В экономической литературе это выражение называют уравнением логистической кривой.
С учетом начальных условий, получим
Замечание. Уравнение с переменными, которые можно разделить, можно также задать в симметричной относительно x и y дифференциальной форме
M(x) · N(y)dx+ P(x) · Q(y)dy=0 (2.4)
где функции M(x), P(x), N(y), Q(y) непрерывны соответственно в интервалах x ϵ (a,b), y ϵ (c,d).
Для нахождения решений необходимо разделить правую, (желательно, конечно) и левую части на произведение: N(y) · P(x).
и интегрируют полученное так соотношение
Если для x ϵ (a,b), y ϵ (c,d) функции P(x) и N(y) отличающиеся от нуля, то соотношение (2.6) является ОИ уравнения (2.4).
Пример 2.5. Решить “дифур” x(1 + y2)dx– y(1 + x2)dy = 0
Решение. Поступим также, как и в серии предыдущих примеров (разделим обе части уравнения на (1 + y2) · (1 + x2)
Интегрируя каждое из слагаемых (для этого не обязательно один из них переносить в правую часть), приравниваем сумму первообразных постоянной, которую обозначаем через ½ ln C, имеем:
Пример 2.6. Решить “дифур” y’ + 2x2y’ + 2xy– 2x = 0.
Решения. Представим производные в виде соотношения dy/dxи далее все члены уравнения домножим на dx:
Сгруппируем члены с разными дифференциалами и вынесем за скобки дифференциалы.
(1 + 2x2)dx +2x(y– 1)dx = 0
В результате деления на (1 + 2x2) (y– 1). Получим:
Интегрируем каждое из слагаемых:
Сумму первообразных приравниваем постоянной:
тогда
– ОИ уравнения.
В следующей своей статье я расскажу Вам об Однородных дифференциальных уравнениях I-го порядка и о Линейных дифференциальных уравнениях I-го порядка, уравнении Бернулли.
Если у Вас есть желание более детально изучить данный материал, научиться решать задания по данным разделам, записывайтесь на мои занятия на сайте. Буду рад Вам помочь. Онлайн репетитор Андрей Зварыч.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Дифференциальные уравнения Учебное пособие для чайников Шпаргалка – манекены 2021
Стивен Хольцнер
Как только вы выяснили тип дифференциального уравнения, с которым имеете дело, вы можете перейти к решению проблемы с помощью метода неопределенных коэффициентов или мощности серия способ. Если у вас будет упрямое уравнение, попробуйте использовать решения преобразования Лапласа, чтобы помочь.
Как сказать одно дифференциальное уравнение из другого
Прежде чем вы сможете решить дифференциальное уравнение, вам нужно знать, что это такое. Существует несколько различных типов уравнений, в том числе линейных, отделимых, точных, однородных и неоднородных.
Линейные дифференциальные уравнения касаются исключительно производных до первой мощности (забудьте о производных, поднятых до любой высшей мощности).
Сила, о которой идет речь здесь, – это сила, к которой производная относится, а не порядок производной. Вот довольно типичное линейное дифференциальное уравнение:
Разделимые дифференциальные уравнения могут быть записаны так, что все члены в x и все члены в y появляются на противоположных сторонах уравнения, как вы можете видеть в этом примере:
, который также можно записать как
Точные дифференциальные уравнения – это те, где вы можете найти функцию, чьи частные производные соответствуют членам дифференциального уравнения. Вот пример:
Однородные дифференциальные уравнения содержат только производные от y и термины с участием y . Как вы можете видеть в этом уравнении, они также установлены в 0:
Неоднородные дифференциальные уравнения такие же, как однородные дифференциальные уравнения, но за одним исключением: они могут иметь только члены с x и / или константы с правой стороны. Приведем пример неоднородного дифференциального уравнения:
Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения:
где c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) является общим решением соответствующего однородного дифференциального уравнения
и y > p ( x ) является частным решением неоднородного уравнения. Два эффективных способа решения дифференциальных уравнений
Вы можете решить дифференциальное уравнение несколькими способами. Двумя наиболее эффективными методами, которые вы можете использовать, являются метод неопределенных коэффициентов и метод степенных рядов.
Метод неопределенных коэффициентов является полезным способом решения дифференциальных уравнений. Чтобы применить этот метод, просто подключите решение, которое использует неизвестные постоянные коэффициенты в дифференциальном уравнении, а затем решите для этих коэффициентов с помощью заданных начальных условий.
Ряды мощности – еще один инструмент в вашем инструментарии для решения дифференциальных уравнений. Вы можете заменить ряд степеней, такой как следующий, на дифференциальное уравнение:
Затем вам нужно найти отношение повторения, которое дает вам коэффициент
a n . Решение дифференциальных уравнений с использованием решений преобразования Лапласа
Преобразования Лапласа – это тип интегрального преобразования, который отлично подходит для того, чтобы сделать неуправляемые дифференциальные уравнения более управляемыми. Просто возьмем преобразование Лапласа рассматриваемого дифференциального уравнения, решим это уравнение алгебраически и попытаемся найти обратное преобразование. Вот преобразование Лапласа функции
f ( t ): Проверьте эту удобную таблицу преобразований Лапласа для общих функций, когда вы не хотите тратить время на вычисление преобразование Лапласа по своему усмотрению.
Дифференциальные уравнения: виды, методы решения
Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.
В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.
Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.
Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.
Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».
Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2-го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.
Напомним, что y’=dxdy, если y является функцией аргумента x.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y’=f(x)
Начнем с примеров таких уравнений.
Пример 1y’=0, y’=x+ex-1, y’=2xx2-73
Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f(x)·y’=g(x) является метод деления обеих частей на f(x). Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y’=g(x)f(x). Оно является эквивалентом исходного уравнения при f(x) ≠ 0.
Пример 2Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:
ex·y’=2x+1, (x+2)·y’=1
Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х, при которых функции f(x) и g(x)одновременно обращаются в 0. В качестве дополнительного решения в уравнениях f(x)·y’=g(x) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х.
Пример 3Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x·y’=sin x, (x2-x)·y’=ln(2×2-1)
Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка».
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y’=f2(y)·g2(x)
Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у, разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.
Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫f(y)dy=∫f(x)dx
Пример 4К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:
y23dy=sin xdx, eydy=(x+sin 2x)dx
Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f2(y) ⋅ g1(x). Так мы придем к уравнению f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx. Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f2(y) ≠ 0 и g1(x) ≠ 0. Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.
Пример 5В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: dydx=y·(x2+ex), (y2+arccos y)·sin x·y’=cos xy.
К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = ax+by. Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y’=f(ax+by), a,b∈R.
Пример 6Подставив z = 2x+3y в уравнение y’=1e2x+3y получаем dzdx=3+2ezez.
Заменив z=xy или z=yx в выражениях y’=fxy или y’=fyx, мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.
Пример 7Если произвести замену z=yx в исходном уравнении y’=yx·lnyx+1, получаем x·dzdx=z·ln z.
В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.
Пример 8Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y’=y2-x22xy. Нам необходимо привести его к виду y’=fxy или y’=fyx. Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x2 или y2.
Пример 9Нам дано уравнение y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R.
Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y’=fxy или y’=fyx, нам необходимо ввести новые переменные u=x-x1v=y-y1, где (x1;y1) является решением системы уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0
Введение новых переменных u=x-1v=y-2 в исходное уравнение y’=5x-y-33x+2y-7 позволяет нам получить уравнение вида dvdu=5u-v3u+2v.
Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u. Также примем, что z=uv. Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u·dzdu=5-4z-2z23+2z.
Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y’+P(x)·y=Q(x)
Приведем примеры таких уравнений.
Пример 10К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка относятся:
y’-2xy1+x2=1+x2;y’-xy=-(1+x)e-x
Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y(x) = u(x)v(x). Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».
Дифференциальное уравнение Бернулли y’+P(x)y=Q(x)ya
Приведем примеры подобных уравнений.
Пример 11К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:
y’+xy=(1+x)e-xy23;y’+yx2+1=arctgxx2+1·y2
Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z=y1-a, которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y(x) = u(x)v(x).
Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать заданиеУравнения в полных дифференциалах P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
Если для любых значений x и y выполняется ∂P(x,y)∂y=∂Q(x,y)∂x, то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y)=0, то есть, dU(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y)=0 по ее полному дифференциалу.
Пример 12Выражение, расположенное в левой части записи уравнения (x2-y2)dx-2xydy=0 представляет собой полный дифференциал функции x33-xy2+C=0
Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».
Дифференциальные уравнения второго порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y”+py’+qy=0, p,q∈R
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k2+pk+q=0. Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q:
- действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k1≠k2, k1, k2∈R;
- действительные и совпадающие k1=k2=k, k∈R;
- комплексно сопряженные k1=α+i·β, k2=α-i·β.
Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:
- y=C1ek1x+C2ek2x;
- y=C1ekx+C2xekx;
- y=ea·x·(C1cos βx+C2sin βx).
Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y”+3y’=0. Найдем корни характеристического уравнения k2+3k=0. Это действительные и различные k1 =-3 и k2=0. Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:
y=C1ek1x+C2ek2x⇔y=C1e-3x+C2e0x⇔y=C1e-3x+C2
Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами».
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y”+py’+qy=f(x), p,q∈R
Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y0, которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y”+py’+qy=0, и частного решения y~ исходного уравнения. Получаем: y=y0+y~.
Способ нахождения y0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y~ мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.
Пример 14К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами относятся:
y”-2y’=(x2+1)ex;y”+36y=24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x
Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами».
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y”+p(x)·y’+q(x)·y=0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y”+p(x)·y’+q(x)·y=f(x)
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.
На некотором отрезке [a; b] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y”+p(x)·y’+q(x)·y=0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y1 и y2 этого уравнения, то есть, y=C1y1+C2y2.
Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:
1) 1, x, x2, …, xn2) ek1x, ek2x, …, eknx3) ek1x, x·ek1x, …, xn1·ek1x,ek2x, x·ek2x, …, xn2·ek2x,…ekpx, x·ekpx, …, xnp·ekpx4) 1, chx, shx
Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.
Пример 15Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение xy”-xy’+y=0.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y”+p(x)·y’+q(x)·y=f(x) мы можем найти в виде суммы y=y0+y~, где y0 – общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y0 можно описанным выше способом. Определить y~ нам поможет метод вариации произвольных постоянных.
Пример 16Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение xy”-xy’+y=x2+1.
Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Мы можем провести замену y(k)=p(x) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F(x, y(k), y(k+1), …, y(n))=0, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка.
В этом случае y(k+1)=p'(x), y(k+2)=p”(x), …, y(n)=p(n-k)(x), и исходное дифференциальное уравнение сведется к F1(x, p, p’, …, p(n-k))=0. После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене y(k)=p(x) и определить неизвестную функцию y.
Пример 17Дифференциальное уравнение y”’xln(x)=y” после замены y”=p(x) станет уравнением с разделяющимися переменными y”=p(x), и его порядок с третьего понизится до первого.
В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F(y, y’, y”, …, y(n))=0, порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену dydx=p(y), где p(y(x)) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:
d2ydx2=dpdydydx=dpdyp(y)d3ydx3=ddpdyp(y)dx=d2pdy2dydxp(y)+dpdydpdydydx==d2pdy2p2(y)+dpdy2p(y)
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.
Рассмотрим решение уравнения 4y3y”=y4-1. Путем замены dydx=p(y) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4y3pdpdy=y4-1.
Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=0 и y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=f(x)
Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:
- находим корни характеристического уравнения kn+fn-1·kn-1+…+f1·k+f0=0;
- записываем общее решение ЛОДУ y0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y=y0+y~, где y~ – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y~ целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.
Пример 19Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y(4)+y(3)-5y”+y’-6y=xcosx+sinx соответствует линейное однородное ДУ y(4)+y(3)-5y”+y’-6y=0.
Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 и y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)
Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y=y0+y~, где y0 – общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
y0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y1, y2, …, yn, каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 в тождество. Частные решения y1, y2, …, yn обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций.{2}+2xy)\;dx+xy\;dy=0$$
Решение:
ТАУ для чайников – Стр 3
© К.Ю. Поляков, 2008
Полная модель объекта в пространстве состояний содержит еще одно уравнение – уравнение выхода, которое показывает, как формируется выход объекта y(t) :
x&(t) = A x(t) + B u(t)
(15)
y(t) = C x(t) + D u(t)
Эта модель называется моделью вход-состояние-выход. Выходная координата для двигателя постоянного тока – это угол поворота вала:
= [1 0] x(t) ,
так что C = [1 0] и D = 0 . Если же в качестве выхода принять угловую скорость, то C = [0 1].
С помощью модели (15), изменяя матрицы C и D , можно принять за выход любую линейную комбинацию переменных состояния и входа. Во многих практических задачах выход – это одна или несколько переменных состояния, которые мы можем измерить.
Поскольку момент инерции J , сопротивление якоря R и коэффициенты k1 и k2 не зави-
сят от времени, матрицы A , B , C и D в модели (15) – постоянные. Такие объекты называются стационарными, в отличие от нестационарных объектов, параметры которых изменяются во времени.
Запись моделей в единой форме (15) позволяет отвлечься от смысла переменных состояния и исследовать системы разной природы стандартными методами, которые хорошо разработаны и реализованы в современных компьютерных программах.
Покажем, как уравнения вида (15) могут быть решены и чем удобна именно такая форма записи. Предположим, что мы знаем начальные условия, то есть вектор состояния x(0) при
t = 0 . Вспомним, что знание x(0) и входа u(t) при всех t > 0 дает возможность однозначно оп-
ределить дальнейшее поведение этого объекта.
Первое уравнение в (15) позволяет найти производную, то есть, скорость изменения вектора состояния x(t) в любой момент времени. Будем считать, что при 0 ≤ t ≤ ∆t , где ∆t – ма-
лый интервал времени, эта производная не меняется. Тогда значение вектора состояния при t = ∆t приближенно определяется формулой
x(∆t) ≈ x(0) + x&(0) ∆t = x(0) +[A x(0) + B u(0)] ∆t ,
то есть, его можно легко вычислить. Зная x(∆t) и сигнал управления u(∆t) , находим выход
системы в тот же момент
y(∆t) ≈ C x(∆t) + D u(∆t) .
Эту методику можно применять и дальше, в конце второго интервала получаем x(2 ∆t) ≈ x(∆t) + x&(∆t) ∆t = x(∆t) +[A x(∆t) + B u(∆t)] ∆t ,
y(2 ∆t) ≈ C x(2 ∆t) + D u(2 ∆t) .
Таким образом, можно (приближенно) рассчитать выход системы при всех t > 0 . Конечно, точность будет тем выше, чем меньше ∆t , однако объем вычислений при этом также увеличится. Этот метод приближенного решения дифференциальных уравнения называется методом Эйлера. Так как мы не делали никаких предположений о постоянных матрицах A , B , C и D , его (как и другие, более совершенные методы) можно использовать без изменений для решения любых уравнений вида (15).
3.3. Переходная функция
Один из методов построения моделей «вход-выход» – определение реакции объекта на некоторый стандартный сигнал. Один из простейших сигналов – так называемый «единичный скачок» («единичный ступенчатый сигнал»), то есть мгновенное изменение входного сигнала с 0 до 1 в момент t = 0 . Формально этот сигнал определяется так:
0, t < 0
1(t) = ≥1, t 0
Хольцнер, Стивен: 9780470178140: Amazon.com: Книги
Прокладывайте себе путь через обычные и особые точкиРазберитесь в дифференциальных уравнениях с помощью практических советов и примеров
Доставляют ли вам страдания дифференциальные уравнения? Не волнуйтесь! Это дружелюбное руководство объясняет этот пугающий предмет на простом английском языке, шаг за шагом знакомя вас со всеми ключевыми понятиями – от линейных и разделимых дифференциальных уравнений первого порядка до уравнений более высокого порядка, степенных рядов и преобразований Лапласа.Вы найдете множество примеров, чтобы улучшить свои навыки решения проблем, а также множество полезных определений и объяснений, которые помогут справиться даже с самыми сложными дифференциальными уравнениями.
Узнайте, как:
Классифицировать дифференциальные уравнения
Решить с помощью интегрирующих коэффициентов
Работа с коэффициентами
Используйте удобные теоремы
Развлекайтесь с
Применяйте дифференциальные уравнения в реальной жизни
Разберитесь в дифференциальных уравнениях с помощью практических советов и примеров
Доставляют ли вам страдания дифференциальные уравнения? Не волнуйтесь! Это дружелюбное руководство объясняет этот пугающий предмет на простом английском языке, шаг за шагом проводя вас через все ключевые концепции – от линейных и разделимых дифференциальных уравнений первого порядка до уравнений более высокого порядка, степенных рядов и преобразований Лапласа.Вы найдете множество примеров, чтобы улучшить свои навыки решения проблем, а также множество полезных определений и объяснений, которые помогут справиться даже с самыми сложными дифференциальными уравнениями.
Узнайте, как:
Классифицировать дифференциальные уравнения
Решить с помощью интегрирующих коэффициентов
Работа с коэффициентами
Используйте удобные теоремы
Развлекайтесь с
Применяйте дифференциальные уравнения в реальной жизни
Об авторе
Стивен Хольцнер – отмеченный наградами автор книг по естествознанию, математике и техническим наукам.Он прошел обучение по дифференциальным уравнениям в Массачусетском технологическом институте и в Корнельском университете, где получил степень доктора философии. Он работал преподавателем в Массачусетском технологическом институте и Корнельском университете и написал такие бестселлеры, как Physics For Dummies и Physics Workbook For Dummies.
Дифференциальные уравнения для чайников Хольцнера, Стивена (электронная книга)
Эта игра будет выпущена.
Этой книги больше нет в продаже.
Эта электронная книга недоступна в вашей стране.
Интересный и простой способ понять и решить сложные уравненияМногие фундаментальные законы физики, химии, биологии и экономики можно сформулировать в виде дифференциальных уравнений. Это руководство на простом английском языке исследует множество применений этого математического инструмента и показывает, как дифференциальные уравнения могут помочь нам понять мир вокруг нас. Дифференциальные уравнения для чайников – идеальный помощник для изучения курса дифференциальных уравнений в колледже и идеальный дополнительный ресурс для других классов математического анализа, а также естественных и инженерных дисциплин. Он предлагает пошаговые методы, практические советы, многочисленные упражнения и ясные, краткие примеры, которые помогут читателям улучшить свои навыки решения дифференциальных уравнений и повысить свои результаты тестов.
- ;
- ISBN:
- Выпуск:
- Название:
- Ряд:
- Автор:
- Выходные данные:
- Язык:
Читать онлайн
Если вы используете ПК или Mac, вы можете читать эту электронную книгу в Интернете в веб-браузере, ничего не загружая и не устанавливая программного обеспечения.
Скачать форматы файлов
Для этой электронной книги доступны следующие типы файлов:
Эта электронная книга доступна на:
После того, как вы купили эту электронную книгу, вы можете загрузить либо версию в формате PDF, либо ePub, либо и то, и другое.
DRM Бесплатно
Издатель предоставил эту книгу в формате DRM Free с цифровыми водяными знаками.
Необходимое программное обеспечение
Вы можете читать эту электронную книгу на любом устройстве, которое поддерживает формат EPUB без DRM или PDF без DRM.
Управление цифровыми правами (DRM)
Издатель предоставил эту книгу в зашифрованном виде, что означает, что вам необходимо установить бесплатное программное обеспечение, чтобы разблокировать и прочитать ее.
Требуемое программное обеспечение
Чтобы читать эту электронную книгу на мобильном устройстве (телефоне или планшете), вам необходимо установить одно из следующих бесплатных приложений:
Чтобы загрузить и прочитать эту электронную книгу на ПК или Mac :
- Adobe Digital Editions (Это бесплатное приложение, специально разработанное для электронных книг.Это не то же самое, что Adobe Reader, который, вероятно, уже установлен на вашем компьютере.)
Ограничения на печать и копирование
Издатель установил ограничения на то, какую часть этой электронной книги вы можете распечатать или скопировать. Смотрите подробности.
- {{format_drm_information.format_name}} без ограничений {{format_drm_information.format_name}} {{format_drm_information.page_percent}}% страниц каждый день {{format_drm_information.interval}} дн. {{format_drm_information.format_name}} выкл.
Читать вслух
- {{read_aloud_information.format_name}} на {{read_aloud_information.format_name}} выкл.
Дифференциальные уравнения для чайников. Fáðu matvöruna heim að dyrum.
Rafræn bók. Uppl. sendar á netfangið itt eftir kaup
Rafbók til leigu í 120 daga. Útgáfa: 1
Efnisyfirlit
- Титульная страница
- Страница авторских прав
- Оглавление
- Введение
- Об этой книге
- Условные обозначения, используемые в этой книге
- Что вы не должны читать
- Глупые предположения
- Как устроена эта книга
- Часть I: Сосредоточение внимания на дифференциальных уравнениях первого порядка
- Часть II: Обзор дифференциальных уравнений второго и более высокого порядка
- Часть III: Власть: Продвинутые методы
- Часть IV: Часть десятков
- Значки, используемые в этой книге
- Куда дальше двигаться
- Часть I: Сосредоточение внимания на дифференциальных уравнениях первого порядка
- Глава 1: Добро пожаловать в мир дифференциальных уравнений
- Суть дифференциальных уравнений
- Производные: Основа дифференциальных уравнений
- Производные, являющиеся константами
- Производные Активы, являющиеся степенями
- Производные, включающие тригонометрию
- Производные, включающие несколько функций
- Видение общей картины с полями направлений
- Построение поля направлений
- Соединение наклонов в интегральную кривую
- Распознавание значения равновесия
- Классификация дифференциальных уравнений
- Классификация уравнений по порядку
- Классификация обычных и частных уравнений
- Сравнение линейных и нелинейных уравнений
- Решение дифференциальных уравнений первого порядка
- Решение дифференциальных уравнений второго и более высокого порядка
- Использование передовых методов
- Глава 2: Рассмотрение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
- Перво-наперво: основы решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка
- Применение начальных условий с самого начала
- Переход к решению дифференциальных уравнений, включающих функции
- Добавление пары констант к смеси
- Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка с интегрирующими коэффициентами
- Решение интегрирующего фактора
- Использование интегрирующего коэффициента для решения дифференциала уравнение
- Движение вверх: использование интегрирующих факторов в дифференциальных уравнениях с функциями
- Использование специального ярлыка
- Решение расширенного примера
- Определение существования решения для линейного уравнения первого порядка
- Определение существования и уникальности Теорема для линейных дифференциальных уравнений
- Нахождение общего решения
- Проверка некоторых примеров существования и единственности
- Выяснение, существует ли решение для нелинейного дифференциального уравнения
- Теорема существования и единственности для нелинейного дифференциальные уравнения
- Пара примеров нелинейного существования и уникальности
- Перво-наперво: основы решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка
- Глава 1: Добро пожаловать в мир дифференциальных уравнений
- Глава 3: Сортировка разделимых дифференциальных уравнений первого порядка
- Начало с основ разделимых дифференциальных уравнений
- Легкое начало: линейные разделяемые уравнения
- Внедрение неявных решений
- Поиск явных решений из неявных решений
- Трудно взломать: когда вы не можете найти явное решение
- Изящный трюк: превращение нелинейных разделяемых уравнений в линейные разделяемые уравнения
- Попытка некоторых разделимых в реальном мире Уравнения
- Получение контроля с помощью задачи потока пробы
- Поразить ее с помощью денежной задачи образца
- Разбейте его! Использование частных дробей в разделяемых уравнениях
- Начало с основ разделимых дифференциальных уравнений
- Глава 4: Изучение точных дифференциальных уравнений первого порядка и метода Эйлера
- Изучение основ точных дифференциальных уравнений
- Определение точных дифференциальных уравнений
- Составление типичного точного дифференциального уравнения
- Определение точного дифференциального уравнения
- Проверка полезной теоремы
- Применение теоремы
- Преодоление неточных дифференциальных уравнений с интегрирующими множителями
- Нахождение интегрирующего множителя
- Использование интегрирующего множителя для получения точного уравнения
- последний штрих: решение точного уравнения
- Получение числовых значений с помощью метода Эйлера
- Понимание метода
- Проверка точности метода на компьютере
- Углубление в разностные уравнения
- Some han dy терминология
- Итерационные решения
- Равновесные решения
- Изучение основ точных дифференциальных уравнений
- Глава 5: Исследование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
- Основы дифференциальных уравнений второго порядка
- Линейные уравнения
- Однородные уравнения
- Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- Элементарные решения
- Начальные условия
- Проверка характеристических уравнений
- Действительные и различные корни
- Комплексные корни
- Идентичные действительные корни
- Получение второго решения путем сокращения порядка
- Увидеть, как работает сокращение порядка
- Попробовать пример
- Объединить все вместе с помощью некоторых удобных теорем
- Суперпозиций ция
- Линейная независимость
- Вронскиан
- Основы дифференциальных уравнений второго порядка
- Общее решение линейных неоднородных уравнений второго порядка
- Понимание важной теоремы
- Применение теоремы к работа
- Нахождение частных решений методом неопределенных коэффициентов
- Когда g (x) имеет форму erx
- Когда g (x) является полиномом порядка n
- Когда g (x) является комбинацией синусов и косинусов
- Когда g (x) является произведением двух разных форм
- Разложение уравнений с вариацией параметров Метод
- Прибавление основ метода
- Решение типичного примера
- Применение метод к любому линейному уравнению
- Какая пара! Метод вариации параметров соответствует методу Вронскиана
- Отскок с помощью пружин и вещей
- Масса без трения
- Масса с силой сопротивления
- Материал для записи: обозначение дифференциальных уравнений высшего порядка
- Введение в основы линейных однородных уравнений высшего порядка
- Формат, решения и начальные условия
- Пара классных теорем
- Работа с различными типами высших порядков Линейные однородные уравнения
- Действительные и различные корни
- Действительные и мнимые корни
- Комплексные корни
- Двойные корни
- Освоение метода неопределенных коэффициентов для высших Заказ Уравнения
- Когда g (x) имеет форму erx
- Когда g (x) является полиномом порядка n
- Когда g (x) представляет собой комбинацию синусов и косинусов
- Решение уравнений высшего порядка с вариациями параметров
- Основы метода
- Работа с примером
- Глава 9: Серьезность с степенными рядами и обычными точками
- Изучение основ власти Серия
- Определение сходства серии Power с помощью теста отношения
- Основы теста отношения
- Подключение некоторых номеров
- Изменение индекса серии
- Взгляд на серию Тейлора
- Решение разницы второго порядка Уравнения с серией мощности
- Когда вы уже знаете решение
- Когда вы не знаете решение заранее
- Известная проблема: уравнение Эйри
- Основные сведения об особых точках
- Поиск особых точек
- Поведение особых точек
- Обычные и нерегулярные особые точки
- Изучение захватывающих уравнений Эйлера
- Действительные и различные корни
- Действительные и равные корни
- Комплексные корни
- Объединение всего этого с помощью теоремы
- Представление серийных решений вблизи регулярных особых точек
- Определение общего решения
- Основы решения уравнений вблизи особых точек
- Численный пример решения уравнения вблизи особых точек
- Более пристальный взгляд на исходные уравнения
- Разбор типичного Лапласа Тран sform
- Определение того, сходится ли преобразование Лапласа
- Вычисление базовых преобразований Лапласа
- Преобразование 1
- Преобразование eat
- Преобразование sin в
- Обращение к удобной таблице для некоторого облегчения
- Решение дифференциальных уравнений с преобразованиями Лапласа
- Несколько теорем, которые мы отправим вам по пути
- Решение однородного уравнения второго порядка
- Решение неоднородного уравнения второго порядка
- Решение уравнения высшего порядка
- Факторинг преобразований Лапласа и интегралов свертки
- Факторинг преобразование Лапласа в дроби
- Проверка интегралов свертки
- Съемка ступенчатых функций
- Определение ступенчатой функции
- Расчет преобразования Лапласа ступенчатой функции
- Введение в основы матриц
- Настройка матрицы
- Работа с алгеброй
- Проверка матриц
- Освоение операций с матрицей
- Равенство
- Сложение
- Вычитание
- Умножение матрицы и число
- Умножение двух матриц
- Умножение матрицы и вектора
- Идентичность
- Обращение матрицы
- Развлечение с собственными векторами n ‘вещей
- Линейная независимость
- Собственные значения и собственные векторы
- Решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка
- Понимание основ
- Рассмотрение примера
- Решение систем линейных неоднородных уравнений первого порядка
- Принятие правильной формы конкретного решения
- Обработка чисел
- Завершение работы
- Обработка чисел методом Эйлера
- Основы метода
- Использование кода для просмотра метода в action
- Движение вперед с улучшенным методом Эйлера
- Понимание улучшений
- Появление нового кода
- Добавление крутого склона в новый код
- Добавление еще большей точности с помощью метода Рунге-Кутта
- Повторяющееся отношение метода
- Работа с методом в коде
- Глава 14: Десять очень полезных интерактивных руководств по дифференциальным уравнениям
- AnalyzeMath.com’s Введение в дифференциальные уравнения
- Онлайн-учебник по математике колледжа Харви Мадда
- Введение в дифференциальные уравнения Джона Эпплби
- Учебное пособие по дифференциальным уравнениям Карди Текномо
- Видеоурок Мартина Дж. Осборна по дифференциальным уравнениям
- Введение в факультет физики Университета штата Огайо к дифференциальным уравнениям
- Онлайн-математические заметки Пола
- SOS Math
- University of Surrey Tutorial
- Глава 15: Десять действительно крутых онлайн-инструментов для решения дифференциальных уравнений
- AnalyzeMath.com’s Runge-Kutta Method Applet
- Графический калькулятор Coolmath.com
- Плоттер направления поля
- Решатель уравнений от QuickMath Automatic Math Solutions
- Решатель дифференциальных уравнений первого порядка
- GCalc Онлайн-калькулятор для построения графиков
- JavaView Ode Solver
- Math @ Системный решатель CowPi
- Матричный инвертор от QuickMath Automatic Math Solutions
- Апплет для решения визуальных дифференциальных уравнений
UM RAFBÆKUR Á HEIMKAUP.IS
Bókahillan ín er þitt svæði og ar eru bækurnar ínar geymdar. Þú kemst í bókahilluna þína hvar og hvenær sem er í tölvu eða snjalltæki. Einfalt og þægilegt! Rafbók til eignar
Rafbók til eignar arf að hlaða niður á au tæki sem þú vilt nota innan eins árs frá ví bókin er keypt.
ú kemst í bækurnar hvar sem er
Þú getur nálgast allar raf (skóla) bækurnar þínar á einu augabragði, hvar og hvenær sem er í bókahillunni inni. Engin taska, enginn kyndill и ekkert vesen (hvað þá yfirvigt).
Auðvelt að fletta og leita
Þú getur flakkað milli síðna og kafla eins og ér hentar best og farið beint íkveðna kafla úr efnisyfirlitinu. Í leitinni finnur þú orð, kafla eða síður í einum sensei.
Glósur og yfirstrikanir
Þú getur auðkennt textabrot með mismunandi litum og skrifað glósur að vild í rafbókina. Þú getur jafnvel séð glósur og yfirstrikanir hjá bekkjarsystkinum og kennara ef þeir leyfa það. Allt á einum stað.
Hvað viltu sjá? / Ú ræður hvernig síðan lítur út
Þú lagar síðuna að ínum þörfum.Stækkaðu eða minnkaðu myndir og texta með многоуровневый зум, пока не будет sjá síðuna eins og ér hentar best í ínu námi.
Fleiri góðir kostir
– THU getur prentað Sidur úr bókinni (innan þeirra марка СЭМ útgefandinn Setur)
– Möguleiki á tengingu við annað stafrænt OG gagnvirkt efni, SVO сем myndbönd EDA spurningar Ur efninu
– Auðvelt объявлением африта ог лима эфни / текста фирир тд heimaverkefni eða ritgerðir
– Styður tækni sem hjálpar nemendum með sjón- eða heyrnarskerðingu
Дифференциальные уравнения – Введение
Дифференциальное уравнение – это уравнение с функцией и одной или несколькими производными:
Пример: уравнение с функцией y и ее производная dy dx
Решение
Мы решаем , когда обнаруживаем функцию y (или набор функций y).
Есть много “уловок” для решения дифференциальных уравнений (, если их можно решить!).
Но сначала: почему?
Почему полезны дифференциальные уравнения?
В нашем мире вещи меняются, и , описывающее, как они меняются, часто заканчивается дифференциальным уравнением:
Пример: кролики!
Чем больше у нас кроликов, тем больше у нас кроликов.
Тогда эти кролики вырастут и тоже родят детей! Население будет расти все быстрее и быстрее.
Важными частями этого являются:
- Население N в любое время т
- темп роста р
- Скорость изменения населения dN dt
Подумайте о dN dt как о «насколько изменяется население с изменением времени в любой момент времени».
Представим, что темп роста r равен 0.01 новых кролика в неделю на каждого текущего кролика.
Когда популяция составляет 1000 , скорость изменения dN dt составляет 1000 × 0,01 = 10 новых кроликов в неделю.
Но это верно только в конкретное время и не включает тот факт, что население постоянно увеличивается. Чем больше популяция, тем больше у нас кроликов!
Когда население составляет 2000 , мы получаем 2000 × 0.01 = 20 новых кроликов в неделю и т. Д.
Так что лучше сказать, что скорость изменения (в любой момент) – это скорость роста, умноженная на численность населения в этот момент:
dN dt = rN
И это дифференциальное уравнение , потому что оно имеет функцию N (t) и ее производную.
А какая мощная математика! В этом коротком уравнении говорится, что «скорость изменения населения с течением времени равна скорости роста, умноженной на численность населения».
Дифференциальные уравнения могут описывать, как меняется население, как движется тепло, как вибрируют пружины, как распадается радиоактивный материал и многое другое. Это очень естественный способ описания многих вещей во Вселенной.
Что с ними делать?
Само по себе дифференциальное уравнение – прекрасный способ выразить что-либо, но его сложно использовать.
Итак, мы пытаемся решить их, превратив дифференциальное уравнение в более простое уравнение без дифференциальных битов, чтобы мы могли выполнять вычисления, строить графики, предсказывать будущее и так далее.
Пример: Сложные проценты
Деньги приносят проценты. Проценты могут рассчитываться в фиксированное время, например, ежегодно, ежемесячно и т. Д., И добавляться к первоначальной сумме.
Это называется сложным процентом.
Но когда он непрерывно начисляется , тогда в любое время проценты добавляются пропорционально текущей стоимости ссуды (или инвестиций).
И по мере роста ссуды проценты по ней увеличиваются.
Используя t для времени, r для процентной ставки и V для текущей стоимости кредита:
dV dt = rV
И вот что интересно: это то же самое уравнение, которое мы получили с кроликами! Просто у него разные буквы.Итак, математика показывает нам, что эти две вещи ведут себя одинаково.
Решение
Дифференциальное уравнение говорит об этом хорошо, но его трудно использовать.
Но не волнуйтесь, это можно решить (с помощью специального метода, называемого разделением переменных), и в результате получится:
V = Pe rt
Где P – принципал (первоначальный заем), а e – число Эйлера.
Таким образом, непрерывно начисляемый заем в размере 1000 долларов США на 2 года с процентной ставкой 10% становится:
V = 1000 × e (2 × 0.1)
В = 1000 × 1,2 2140 …
V = 1221,40 $ (с точностью до цента)
Итак, дифференциальные уравнения хороши для описания вещей, но их нужно решать, чтобы они были полезными.
Дополнительные примеры дифференциальных уравнений
Уравнение Ферхюльста
Пример: снова кролики!
Помните наше дифференциальное уравнение роста:
dN dt = rN
Что ж, этот рост не может продолжаться вечно, так как у них скоро закончится доступная еда.
Итак, давайте улучшим его, включив:
- максимальное количество населения, которое может содержать еда тыс.
Парень по имени Ферхюльст во всем разобрался и получил это дифференциальное уравнение:
dN dt = rN (1-N / k)
Уравнение Ферхюльста
Простое гармоническое движение
В физике простое гармоническое движение – это тип периодического движения, в котором восстанавливающая сила прямо пропорциональна смещению.Примером этого является груз на пружине.
Пример: пружина и груз
К пружине прикреплен груз:
- вес опускается под действием силы тяжести,
- по мере того, как пружина растягивается, ее натяжение увеличивается,
- вес замедляется,
- , затем натяжение пружины возвращает ее вверх,
- , затем он снова и снова падает вниз, вверх и вниз.
Опишите это математически!
Гиря тянется вниз под действием силы тяжести, и мы знаем из Второго закона Ньютона, что сила равна массе, умноженной на ускорение:
F = m a
А ускорение – это вторая производная положения по времени, поэтому:
F = m d 2 x dt 2
Пружина подтягивает ее вверх в зависимости от того, насколько она растянута ( k – жесткость пружины, а x – степень ее растяжения): F = -kx
Две силы всегда равны:
м d 2 x dt 2 = −kx
У нас есть дифференциальное уравнение!
Имеет функцию x (t) и ее вторую производную г 2 x дт 2
Примечание: мы не включили «демпфирование» (замедление отскоков из-за трения), которое немного сложнее, но вы можете поиграть с ним здесь (нажмите play ):
Создание дифференциального уравнения является первым важным шагом.Но нам также нужно решить , чтобы узнать, как, например, пружина со временем подпрыгивает вверх и вниз.
Классифицируйте, прежде чем пытаться решить
Так как же решить ?
Это не всегда просто!
За годы мудрые люди разработали специальных методов для решения некоторых типов дифференциальных уравнений.
Итак, нам нужно знать , что это за тип дифференциального уравнения.
Это как путешествие: разные виды транспорта решили, как добраться до определенных мест. Это рядом, так что мы можем просто гулять? Есть дорога, по которой мы можем взять машину? Или это в другой галактике, и мы просто еще не можем туда добраться?
Итак, давайте сначала классифицируем дифференциальное уравнение .
Обычное или частичное
Первая основная группа:
- «Обычные дифференциальные уравнения» (ODE) содержат единственную независимую переменную (например, y )
- «Уравнения с частными производными» (PDE) имеют две или более независимых переменных.
Здесь мы изучаем обыкновенных дифференциальных уравнений !
Порядок и степень
Далее прорабатываем Порядок и Степень:
Заказать
Порядок – это старшая производная (первая производная? Вторая производная и т. Д.):
Пример:
dy dx + y 2 = 5x
Имеет только первую производную dy dx , как и “Первый Орден”
Пример:
d 2 y dx 2 + xy = sin (x)
Имеет вторую производную д 2 д dx 2 , как и “Заказ 2”
Пример:
d 3 y dx 3 + x dy dx + y = e x
Имеет третью производную д 3 д dx 3 который превосходит dy dx , как и “Заказ 3”
Степень
Степень – это показатель высшей производной.
Пример:
( dy dx ) 2 + y = 5x 2
Старшая производная – это просто dy / dx, а ее показатель степени равен 2, так что это «Вторая степень»
На самом деле это обыкновенное дифференциальное уравнение второй степени первого порядка
Пример:
d 3 y dx 3 + ( dy dx ) 2 + y = 5x 2
Старшая производная – это d 3 y / dx 3 , но у нее нет показателя степени (ну, на самом деле показатель степени 1, который не показан), так что это «Первая степень».
(Показатель степени 2 на dy / dx не учитывается, так как это не самая высокая производная).
Итак, это обыкновенное дифференциальное уравнение первой степени третьего порядка
Будьте осторожны, не путайте порядок со степенью. Некоторые люди используют порядок слов, когда имеют в виду степень!
Линейная
Это Линейное , когда переменная (и ее производные) не имеют показателя степени или другой функции.
Итак, нет y 2 , y 3 , √y, sin (y), ln (y) и т. Д., просто y (или любая другая переменная).
Более формально линейное дифференциальное уравнение имеет вид:
dy dx + P (x) y = Q (x)
Решение
Хорошо, мы классифицировали наше дифференциальное уравнение, следующий шаг – решение.
И у нас есть Руководство по решению дифференциальных уравнений, которое поможет вам.
Рабочая тетрадь по дифференциальным уравнениям для чайников Стивена Хольцнера, Мягкая обложка, 9780470472019
Описание издателя
Разберитесь в этих сложных уравнениях
Совершенствуйте свои навыки решения проблем
Практика с четкими, краткими примерами
Повышение баллов по стандартизированным тестам и экзаменам
Получите уверенность и навыки, необходимые для освоения дифференциальных уравнений!
Вам нужно знать, как решать дифференциальные уравнения? Эта простая в использовании практическая рабочая тетрадь поможет вам овладеть основными концепциями и проработать типы проблем, с которыми вы столкнетесь в своей курсовой работе.Вы получите ценные упражнения, быстрые способы решения проблем, много рабочего пространства и пошаговые решения для каждого уравнения. Вы также запомните наиболее распространенные типы дифференциальных уравнений, узнаете, как избежать типичных ошибок, получите советы и рекомендации по решению сложных задач, улучшите свои экзамены и многое другое!
Более 100 проблем!
Детальные, полностью проработанные решения проблем
Внутренняя черточка для дифференциальных уравнений первого, второго и более высоких порядков
Множество передовых технологий, включая серию
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ДЛЯ ЧАЙНИКОВ
Быстрые, новые объяснения
Пошаговые инструкции
Практические занятия
Просторное рабочее место для решения проблем
Онлайн-шпаргалка
Немного юмора и веселья
Технические характеристики
Ряд
Для чайников (стиль жизни в мягкой обложке)
уравнений Максвелла для чайников? | Электронный дизайн
Я знаю инженера, который никогда не удосужился запомнить закон Ома.Она говорит, что когда ей это нужно, она всегда может вывести это из уравнений Максвелла. С другой стороны, несмотря на то, что я закончил свой «полевой» курс, будучи студентом много лет назад, я с трудом узнаю уравнения Максвелла, когда вижу их на футболке.
Это связано с моим давним решением продолжить карьеру писателя о инженерии, а не заниматься этим. Мой студенческий опыт оставил у меня впечатление, что практикующие инженеры проводят весь день, каждый день, решая дифференциальные уравнения.Конечно, даже моя подруга, которая никогда не запоминала закон Ома – ну, это то, что она однажды сказала за пиццей – не делает этого.
Но кто мог обвинить парня в том, что он сформировал такое мнение после четырех лет обучения в инженерной школе? В результате я уже давно не контактировал с оригинальной Великолепной четверкой: Гаусс, Ампер, Фарадей и Максвелл (не забывая Хевисайда и Гиббса, но их включение испортило бы эталон Великолепной четверки). Это недавно изменилось.
Одним из преимуществ работы редактора Electronic Design является то, что мы получаем много книг, которые издатели хотели бы, чтобы мы рецензировали.В последний раз, когда я просматривал стек, мое внимание привлекла книга A Student’s Guide to Maxwell’s Equations (ISBN: 978-0-521-70147-1) Дэниела Флейша. Издательство Cambridge University Press стоит 28,99 доллара в мягкой обложке.
Признаюсь, что первое, что мне понравилось в книге, это то, что она не очень толстая – 130 страниц. Это казалось доступным для обзора. Следующим шагом было то, что можно было заново познакомиться с предметом обсуждения без огромных затрат времени, поэтому я устроился в ближайшем кресле и начал бегло просматривать.Затем я притормозил и начал читать .
Профессор Флейш – отличный научный коммуникатор. Его студенты из Университета Виттенберга в Огайо согласны с этим. Согласно сообщению на ratemyprofessors.com, «единственное, что горячее мозгов, – это отличное чувство юмора. У Дэна есть и то, и другое. Самый лучший и самый целеустремленный профессор, которого я когда-либо встречал: мог бы быть в 10 раз хуже и все равно оставаться выдающимся ».
Когда я говорю «великий научный коммуникатор», я имею в виду вот что. Флейшу необходимо объяснить четыре важных уравнения людям, которые номинально являются студентами инженерных курсов высшего звена, но он не может рассчитывать на то, что все они будут иметь одинаковый уровень знаний в отношении задействованных математических понятий.Он не может просто решить: «Ну, я просто расскажу все односложно», потому что тогда он потеряет внимание лучших и самых ярких в своей аудитории. Но он также не хочет бессердечно вымывать учеников из нижней части кривой.
Один из способов решить эту дилемму – дать читателю подсказки в письме, в которых говорится: «Вы можете пропустить следующие несколько абзацев, если считаете, что уже понимаете эту концепцию», где «эта концепция» может быть такой же базовой, как и обычная единица. вектор или такой же тонкий, как завиток.
Тем не менее, Флейш действительно не хочет побуждать читателей пропускать этот материал, потому что он ожидает, что некоторые из них их понимание не будет таким исчерпывающим, как они думают. Таким образом, он хочет сделать привлекательным для более опытных читателей просто продолжать бегло просматривать текст на каком-то уровне, хотя бы ради непрерывности. Я считаю, что он блестяще справляется с этим. Я читал все, вплоть до объяснения единичного вектора нормали, и никогда не чувствовал покровительства.
Еще кое-что о стиле Флейша: я не думаю, что возможно изложить объяснения уравнений Максвелла каким-либо чисто линейным образом.Толкование должно быть в некоторой степени рекурсивным, поскольку оно проходит через множество уровней тонкости. Я считаю, что он тоже очень хорошо справляется с этим.
Эта книга «Уравнения Максвелла для чайников» ? Нет. Этот заголовок был слишком привлекательным, чтобы от него отказаться. Но, по моему опыту, книги «чайников» дополнены мелочами второстепенного и высшего образования, и они, как правило, не так полезны, как я бы хотел. Руководство для студентов по уравнениям Максвелла намного лучше, хотя я признаюсь, что даже после его прочтения я все еще не могу использовать уравнения Максвелла для вывода закона Ома.
’62 Центр театра и танца, ’62 Центр | ||
Касса | 597-2425 | |
Магазин костюмов | 597-3373 | |
Менеджер мероприятий / Помощник менеджера | 597-4808 | 597-4815 факс |
Производство | 597-4474 факс | |
Магазин сцен | 597-2439 | |
’68 Центр карьерного роста, Мирс | 597-2311 | 597-4078 факс |
Academic Resources, Парески | 597-4672 | 597-4959 факс |
Служба поддержки инвалидов, Парески | 597-4672 | |
Прием, Вестон-холл | 597-2211 | 597-4052 факс |
Affirmative Action, Hopkins Hall | 597-4376 | |
Africana Studies, Hollander | 597-2242 | 597-4222 факс |
Американские исследования, Шапиро | 597-2074 | 597-4620 факс |
Антропология и социология, Hollander | 597-2076 | 597-4305 факс |
Архивы и специальные коллекции, Sawyer | 597-4200 | 597-2929 факс |
Читальный зал | 597-4200 | |
Искусство (история, студия), Spencer Studio Art / Lawrence | 597-3578 | 597-3693 факс |
Архитектурная студия, Spencer Studio Art | 597-3134 | |
Фотостудия, Spencer Studio Art | 597-2030 | |
Printmaking Studio, Spencer Studio Art | 597-2496 | |
Скульптурная студия, Spencer Studio Art | 597-3101 | |
Senior Studio, Spencer Studio Art | 597-3224 | |
Видео / фотостудия, Spencer Studio Art | 597-3193 | |
Asian Studies, Hollander | 597-2391 | 597-3028 факс |
Астрономия / астрофизика, Thompson Physics | 597-2482 | 597-3200 факс |
Департамент легкой атлетики, физическое воспитание, отдых, Ласелл | 597-2366 | 597-4272 факс |
Атлетический директор | 597-3511 | |
Boat House, Озеро Онота | 443-9851 | |
Автобусы | 597-2366 | |
Фитнес-центр | 597-3182 | |
Hockey Rink Ice Line, Lansing Chapman | 597-2433 | |
Intramurals, Атлетический центр Чандлера | 597-3321 | |
Физическая культура | 597-2141 | |
Pool Wet Line, Атлетический центр Чандлера | 597-2419 | |
Sports Information, Hopkins Hall | 597-4982 | 597-4158 факс |
Спортивная медицина | 597-2493 | 597-3052 факс |
Площадки для игры в сквош | 597-2485 | |
Поле для гольфа Taconic | 458-3997 | |
Биохимия и молекулярная биология, Thompson Biology | 597-2126 | |
Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман | 597-2124 | |
Биология, Thompson Biology | 597-2126 | 597-3495 факс |
Охрана и безопасность кампуса, Хопкинс-холл | 597-4444 | 597-3512 факс |
Карты доступа / системы сигнализации | 597-4970 / 4033 | |
Служба сопровождения, Хопкинс-холл | 597-4400 | |
Офицеры и диспетчеры | 597-4444 | |
Секретарь, удостоверения личности | 597-4343 | |
Коммутатор | 597-3131 | |
Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court | 884-0093 | |
Центр экономики развития, 1065 Main St | 597-2148 | 597-4076 факс |
Компьютерный зал | 597-2522 | |
Вестибюль | 597-4383 | |
Центр экологических исследований, выпуск 1966 г. Экологический центр | 597-2346 | 597-3489 факс |
Лаборатория экологических наук, Морли | 597-2380 | |
Экологические исследования | 597-2346 | |
Лаборатория ГИС | 597-3183 | |
Центр иностранных языков, литератур и культур, Hollander | 597-2391 | 597-3028 факс |
Арабские исследования, Hollander | 597-2391 | 597-3028 факс |
Сравнительная литература, Холландер | 597-2391 | |
Критические языки, Hollander | 597-2391 | 597-3028 факс |
Языковой кабинет | 597-3260 | |
Россия, Hollander | 597-2391 | |
Центр обучения в действии, Brooks House | 597-4588 | 597-3090 факс |
Библиотека редких книг Чапина, Сойер | 597-2462 | 597-2929 факс |
Читальный зал | 597-4200 | |
Офис капелланов, Парески | 597-2483 | 597-3955 факс |
Еврейский религиозный центр, 24 Стетсон Корт | 597-2483 | |
Молельная мусульманская, часовня Томпсона (нижний уровень) | 597-2483 | |
Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень) | 597-2483 | |
Химия, Thompson Chemistry | 597-2323 | 597-4150 факс |
Классика (греческий и латинский), Hollander | 597-2242 | 597-4222 факс |
Когнитивная наука, Бронфман | 597-4594 | |
College Marshal, Thompson Physics | 597-2008 | |
Отношения с колледжем | 597-4057 | |
Программа 25-го воссоединения, Фогт | 597-4208 | 597-4039 факс |
Программа 50-го воссоединения, Фогт | 597-4284 | 597-4039 факс |
Advancement Operations, Мирс-Вест | 597-4154 | 597-4333 факс |
Мероприятия для выпускников, Vogt | 597-4146 | 597-4548 факс |
Фонд выпускников | 597-4153 | 597-4036 факс |
Связи с выпускниками, Мирс-Уэст | 597-4151 | 597-4178 факс |
Alumni / Development Mail Services, Мирс-Уэст | 597-4369 | |
Девелопмент, Фогт | 597-4256 | |
Отношения с донорами, Vogt | 597-3234 | 597-4039 факс |
Офис по планированию подарков, Vogt | 597-3538 | 597-4039 факс |
Grants Office, Мирс-Уэст | 597-4025 | 597-4333 факс |
Программа крупных подарков, Vogt | 597-4256 | 597-4548 факс |
Parents Fund, Vogt | 597-4357 | 597-4036 факс |
Prospect Management & Research, Мирс | 597-4119 | 597-4178 факс |
Начало занятий и академические мероприятия, Jesup | 597-2347 | 597-4435 факс |
Коммуникации, Хопкинс Холл | 597-4277 | 597-4158 факс |
Sports Information, Hopkins Hall | 597-4982 | 597-4158 факс |
Web Team, Southworth Schoolhouse | ||
Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall | 597-4278 | |
Компьютерные науки, Thompson Chemistry | 597-3218 | 597-4250 факс |
Conferences & Events, Парески | 597-2591 | 597-4748 факс |
Запросы Elm Tree House, Mt.Надежда Ферма | 597-2591 | |
Офис диспетчера, Хопкинс-холл | 597-4412 | 597-4404 факс |
Счета к оплате и ввод данных, Хопкинс-холл | 597-4453 | |
Bursar & Cash Receipts, Hopkins Hall | 597-4396 | |
Финансовые информационные системы, Хопкинс-холл | 597-4023 | |
Purchasing Cards, Hopkins Hall | 597-4413 | |
Студенческие ссуды, Хопкинс-холл | 597-4683 | |
Dance, 62 Центр | 597-2410 | |
Davis Center (ранее Multicultural Center), Jenness | 597-3340 | 597-3456 факс |
Харди Хаус | 597-2129 | |
Jenness House | 597-3344 | |
Райс Хаус | 597-2453 | |
Декан колледжа, Хопкинс-холл | 597-4171 | 597-3507 факс |
Декан факультета, Hopkins Hall | 597-4351 | 597-3553 факс |
Столовая, капельницы | 597-2121 | 597-4618 факс |
’82 Grill, Парески | 597-4585 | |
Кондитерская, Парески | 597-4511 | |
Общественное питание, факультет | 597-2452 | |
Driscoll Dining Hall, Дрисколл | 597-2238 | |
Eco Café, Научный центр | 597-2383 | |
Grab ‘n Go, Парески | 597-4398 | |
Lee Snack Bar, Парески | 597-3487 | |
Обеденный зал Mission Park, Mission Park | 597-2281 | |
Whitmans ‘, Paresky | 597-2889 | |
Экономика, Шапиро | 597-2476 | 597-4045 факс |
Английский, Hollander | 597-2114 | 597-4032 факс |
Сооружения, служебное здание | 597-2301 | |
Запрос на автомобиль в колледже | 597-2302 | |
Скорая помощь вечером / в выходные дни | 597-4444 | |
Запросы на работу производственных объектов | 597-4141 факс | |
Особые мероприятия | 597-4020 | |
Кладовая | 597-2143 | 597-4013 факс |
Факультетский клуб, Факультетский дом / Центр выпускников | 597-2451 | 597-4722 факс |
Бронирование | 597-3089 | |
Fellowships Office, Hopkins Hall | 597-3044 | 597-3507 факс |
Financial Aid, Weston Hall | 597-4181 | 597-2999 факс |
Geosciences, Clark Hall | 597-2221 | 597-4116 факс |
Немецко-русский, Hollander | 597-2391 | 597-3028 факс |
Global Studies, Hollander | 597-2247 | |
Программа магистратуры по истории искусств, Кларк | 458-2317 факс | |
Health and Wellness Services, Thompson Ctr Health | 597-2206 | 597-2982 факс |
Медицинское просвещение | 597-3013 | |
Услуги интегративного благополучия (консультирование) | 597-2353 | |
Чрезвычайные ситуации с опасностью для жизни | Позвоните 911 | |
Медицинские услуги | 597-2206 | |
История, Hollander | 597-2394 | 597-3673 факс |
История науки, Бронфман | 597-4116 факс | |
Лес Хопкинса | 597-4353 | |
Центр Розенбурга | 458-3080 | |
Отдел кадров, B&L Building | 597-2681 | 597-3516 факс |
Услуги няни, корпус B&L | 597-4587 | |
Льготы | 597-4355 | |
Программа помощи сотрудникам | 800-828-6025 | |
Занятость | 597-2681 | |
Заработная плата | 597-4162 | |
Ресурсы для супруга / партнера | 597-4587 | |
Занятость студентов | 597-4568 | |
Линия погоды (ICEY) | 597-4239 | |
Humanities, Schapiro | 597-2076 | |
Информационные технологии, Jesup | 597-2094 | 597-4103 факс |
Пакеты для чтения курсов, ящик для сообщений офисных услуг | 597-4090 | |
Центр кредитования оборудования, приложение Додда | 597-4091 | |
Служба поддержки преподавателей / сотрудников, [адрес электронной почты защищен] | 597-4090 | |
Мультимедийные службы и справка для класса | 597-2112 | |
Служба поддержки студентов, [электронная почта] | 597-3088 | |
Телекоммуникации / телефоны | 597-4090 | |
Междисциплинарные исследования, Hollander | 597-2552 | |
Международное образование и учеба, Хопкинс-холл | 597-4262 | 597-3507 факс |
Инвестиционный офис, Хопкинс Холл | 597-4447 | |
Офис в Бостоне | 617-502-2400 | 617-426-5784 факс |
Еврейские исследования, Мазер | 597-3539 | |
Правосудие и закон, Холландер | 597-2102 | |
Latina / o Studies, Hollander | 597-2242 | 597-4222 факс |
Исследования лидерства, Шапиро | 597-2074 | 597-4620 факс |
Морские исследования, Бронфман | 597-2297 | |
Математика и статистика, Bascom | 597-2438 | 597-4061 факс |
Музыка, Бернхард | 597-2127 | 597-3100 факс |
Concertline (записанная информация) | 597-3146 | |
Неврология, Thompson Biology | 597-4107 | 597-2085 факс |
Окли Центр, Окли | 597-2177 | 597-4126 факс |
Управление институционального разнообразия и справедливости, Хопкинс-холл | 597-4376 | 597-4015 факс |
Управление счетов студентов, Хопкинс-холл | 597-4396 | 597-4404 факс |
Performance Studies, ’62 Центр | 597-4366 | |
Философия, Шапиро | 597-2074 | 597-4620 факс |
Физика, Thompson Physics | 597-2482 | 597-4116 факс |
Планетарий / Обсерватория Хопкинса | 597-3030 | |
Театр старой обсерватории Хопкинса | 597-4828 | |
Бронирование | 597-2188 | |
Политическая экономия, Шапиро | 597-2327 | |
Политология, Шапиро | 597-2168 | 597-4194 факс |
Офис президента, Хопкинс-холл | 597-4233 | 597-4015 факс |
Дом президента | 597-2388 | 597-4848 факс |
Услуги печати / почты для преподавателей / сотрудников, ’37 House | 597-2022 | |
Программа обучения, Бронфман | 597-4522 | 597-2085 факс |
Provost’s Office, Hopkins Hall | 597-4352 | 597-3553 факс |
Психология, психологические кабинеты и лаборатории | 597-2441 | 597-2085 факс |
Недвижимость, B&L Building | 597-2195 / 4238 | 597-5031 факс |
Ипотека для преподавателей / сотрудников | 597-4238 | |
Жилье для преподавателей / сотрудников | 597-2195 | |
Офис регистратора, Хопкинс Холл | 597-4286 | 597-4010 факс |
Религия, Холландер | 597-2076 | 597-4222 факс |
Romance Languages, Hollander | 597-2391 | 597-3028 факс |
Планировщик помещений | 597-2555 | |
Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37 Дом | 597-3003 | |
Библиотека Сойера, Сойер | 597-2501 | 597-4106 факс |
Службы доступа | 597-2501 | |
Приобретения / серийные номера | 597-2506 | |
Услуги каталогизации / метаданных | 597-2507 | |
Межбиблиотечный абонемент | 597-2005 | 597-2478 факс |
Исследовательские и справочные службы | 597-2515 | |
Стеллаж | 597-4955 | 597-4948 факс |
Системы | 597-2084 | |
Научная библиотека Schow, Научный центр | 597-4500 | 597-4600 факс |
Исследования в области науки и технологий, Бронфман | 597-2239 | |
Научный центр, Бронфман | 597-4116 факс | |
Магазин электроники | 597-2205 | |
Машинно-модельный цех | 597-2230 | |
Безопасность | 597-4444 | |
Специальные академические программы, Харди | 597-3747 | 597-4530 факс |
Sports Information, Hopkins Hall | 597-4982 | 597-4158 факс |
Студенческая жизнь, Парески | 597-4747 | |
Планировщик помещений | 597-2555 | |
Управление студенческими центрами | 597-4191 | |
Организация студенческих мероприятий | 597-2546 | |
Студенческое общежитие, Парески | 597-2555 | |
Участие студентов | 597-4749 | |
Программы проживания для старших классов | 597-4625 | |
Студенческая почта, Паресский почтовый кабинет | 597-2150 | |
Устойчивое развитие / Центр Зилха, Харпер | 597-4462 | |
Коммутатор, Хопкинс Холл | 597-3131 | |
Книжный магазин Williams | 458-8071 | 458-0249 факс |
Театр, 62 Центр | 597-2342 | 597-4170 факс |
Trust & Estate Administration, Sears House | 597-4259 | |
Учебники | 597-2580 | |
вице-президент по кампусной жизни, Хопкинс-холл | 597-2044 | 597-3996 факс |
Вице-президент по связям с колледжем, Мирс | 597-4057 | 597-4178 факс |
Вице-президент по финансам и администрированию, Hopkins Hall | 597-4421 | 597-4192 факс |
Центр визуальных ресурсов, Лоуренс | 597-2015 | 597-3498 факс |
Детский центр Williams College, Детский центр Williams | 597-4008 | 597-4889 факс |
Музей искусств колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс | 597-2429 | 597-5000 факс |
Подготовка музея | 597-2426 | |
Служба безопасности музеев | 597-2376 | |
Музейный магазин | 597-3233 | |
Уильямс Интернэшнл | 597-2161 | |
Уильямс Outing Club, Парески | 597-2317 | |
Оборудование / стол для студентов | 597-4784 | |
Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Вест | 597-2192 | |
Williams Record, Парески | 597-2400 | 597-2450 факс |
Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет | 011-44-1865-512345 | |
Программа Williams-Mystic, Mystic Seaport Museum | 860-572-5359 | 860-572-5329 факс |
Исследования женщин, пола и сексуальности, Schapiro | 597-3143 | 597-4620 факс |
Написание программ, Hopkins Hall | 597-4615 | |
Центр экологических инициатив «Зилха», Харпер | 597-4462 |