Формула кинематики – .
Основные понятия кинематики
Определение 1Кинематика − это раздел механики, который рассматривает движение тел без объяснения вызывающих его причин.
Определение 2Механическое движение тела − это изменение положения данного тела в пространстве относительно других тел во времени.
Как мы сказали, механическое движение тела относительно. Движение одного и того же тела относительно разных тел может быть разным.
Определение 3Для характеристики движения тела указывается, по отношению к какому из тел рассматривается это движение. Это будет тело отсчета.
Определение 4Система отсчета − система координат, которая связана с телом отсчета и временем для отсчета. Она позволяет определить положение передвигающегося тела в любой отрезок времени.
В СИ единицей длины выступает метр, а единицей времени – секунда.
У каждого тела есть определенные размеры. Разные части тела расположены в разных пространственных местах. Но в большинстве задач механики не нужно указывать положение отдельных частей тела. Если размеры тела маленькие в сравнении с расстояниями до остальных тел, тогда заданное тело считается его материальной точкой. Таким образом поступают при изучении перемещения планет вокруг Солнца.
Механическое движение называют поступательным, в случае если все части тела перемещаются одинаково.
Пример 1Поступательное движение наблюдается у кабин в аттракционе «Колесо обозрения» или у автомобиля на прямолинейном участке пути.
При поступательном движении тела его также рассматривают в качестве материальной точки.
Определение 6Материальная точка − это тело, размерами которого при заданных условиях можно пренебречь.
Материальная точка в механике
Термин “материальная точка” имеет важное значение в механике.
Определение 7Траектория движения тела
− некоторая линия, которую тело или материальная точка описывает, перемещаясь во времени от одной точки до другой.Местонахождение материальной точки в пространстве в любой временной отрезок (закон движения) определяют, используя зависимость координат от времени x=x(t), y=y(t), z=z(t) или зависимость от времени радиус-вектора r→=r→(t), проведенного от начала координат до заданной точки. Наглядно это представлено на рисунке 1.1.1.
Рисунок 1.1.1. Определение положения точки при помощи координат x=x (t), y=y (t) и z=z (t) и радиус-вектора r→(t), r0→ – радиус-вектор положения точки в начальный момент времени.
Определение 8zaochnik.com
2. Элементы кинематики Основные формулы
где – перемещение точки за время , – радиус-вектор, определяющий положение точки.
,
где – путь, пройденный точкой за время .
где – тангенциальная составляющая ускорения, направленная по касательной к траектории; – нормальная составляющая ускорения, направленная к центру кривизны траектории (- радиус кривизны траектории в данной точке).
где – начальная скорость, «+» соответствует равноускоренному движению, «-» – равнозамедленному.
где – угол поворота тела, – период вращения; – частота вращения (– число оборотов, совершаемых телом за время ).
где – начальная угловая скорость, «+» соответствует равноускоренному вращению, «-» – равнозамедленному.
; ; ;где – расстояние от точки до мгновенной оси вращения.
Примеры решения задач
Задача 1. Зависимость пройденного телом пути от времени выражается уравнением ( = 2 м/с, = 3 м/с2, = 5 м/с3). Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени после начала движения пройденный путь, скорость и ускорение.
Дано: ; ; ; ; . | Решение: Для определения зависимости скорости движения тела от времени определяем первую производную от пути по времени: , или после подстановки Для определения зависимости ускорения движения тела от времени определяем первую производную от скорости по времени: , или после подстановки . Пройденный путь определяется как разность . |
Ответ:
Задача 2. Тело брошено со скоростью под углом к горизонту. Принимая тело за материальную точку, определите нормальное и тангенциальное ускорение тела через 1,2 с после начала движения.
Дано: ; ; ; . | Решение Построим чертеж и определим проекции скорости в начальный момент времени: , . Рис.1.1 |
Проекция в процессе движения точки остается постоянной по величине и направлению.
Проекция на ось изменяется. В точке С (рис 1.1) скорость направлена горизонтально, т.е. . Это означает, что , где – время, в течение которого материальная точка поднимается до максимальной высоты, или после подстановки .
К моменту времени 1,2 с тело будет находиться на спуске. Полное ускорение в процессе движения направлено вертикально вниз и равно ускорению свободного падения . Нормальное ускорение равно проекции ускорения свободного падения на направление радиуса кривизны, а тангенциальное ускорение – проекции ускорения свободного падения на направление скорости движения (см. рис.1.1).
Из треугольников скоростей и ускорений имеем:
, ,
откуда , ,
где – скорость в момент времени
После подстановки получаем:
.
.
Ответ: ,.
Задача 3. Колесо автомобиля вращается равнозамедленно. За время 2 мин оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин-1. Определите: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.
Дано: | Решение: Запишем формулы для угла поворота и угловой скорости при равнозамедленном вращении: (1) |
(2) |
где – угловые скорости в начальный и конечный моменты времени соответственно.
Из уравнения (2) получаем:
.
Угол поворота . Поэтому выражение (1) можно записать так: .
Отсюда: .
Ответ: ; .
Задача 4. Точка движется по окружности радиусом так, что зависимость угла поворота радиуса от времени дается уравнением, где,. Определите к концу второй секунды вращения: а) угловую скорость; б) линейную скорость; в) угловое ускорение; г) нормальное ускорение; д) тангенциальное ускорение.
Глава 4. Кинематика твердого тела
Твердым телом будем называть тело, расстояния между точками которого не изменяются в процессе движения.
Если в качестве модели реального объекта рассматривается тело, состоящее из тел-точек, положение которых описывается не только вектором положения, а и ориентацией (т.е. тела-точки могут вращаться), то в определение следует добавить слова « и взаимная ориентация не изменяется».
4.1 Кинематика плоского движения.
Плоским движением называется движение, при котором траектории (а, следовательно, и скорости) всех точек тела лежат в плоскостях, параллельных одной фиксированной плоскости. Таково, например, движение книги по ровному столу. Ясно, что достаточно изучить движение одного лишь сечения – плоской фигуры (одного листа книги).
4.1.1 Основная формула кинематики твердого тела. Формула Эйлера
Положение твердого тела вообще и плоской фигуры в частности описывается вектором положения какой-либо точки А, называемой полюсом, и ориентацией, которую удобно описывать с помощью жестко связанной с телом тройки векторов. Для простоты возьмем ортонормированную тройку векторов, которые в отсчетном положении обозначаются , а в актуальном в момент времени. В качестве отсчетного положения чаще всего удобно взять положение в момент времени, тогда, но иногда в качестве отсчетного удобнее взять положение, которое тело никогда не занимало в прошлом и, возможно, никогда не займет в будущем.
При плоском движении ориентация задается одним углом (t). Введем вектор угловой скорости где единичный векторперпендикулярен плоской фигуре, а его направление согласовано с положительным направлением отсчета угла(t) в соответствии с принятой ориентацией пространства. Так, в правоориентированном пространстве направлен так, что с его с конца положительное направление отсчета угла(t) видно происходящим против часовой стрелки, т.е. « на нас» (рис 4.1). Заметим, что независимо от выбора положительного направления отсчета угла (t) вектор направлен « на нас», если фигура в данный момент времени вращается против часовой стрелки.
Запишем очевидное равенство . (4.1)
Обозначим для краткости и разложимпо актуальному базису :
, где координаты постоянные.
Разложим по отсчетному базисуи продифференцируем по времени:. Нетрудно убедиться, что=. Совершенно аналогично , откуда следует или
(4.2)
Эта формула называется формулой Эйлера и она справедлива не только для плоского, но и для произвольного движения твердого тела.
Дифференцируя (4.1), получим с учетом (4.2) или
(4.3)
Эту формулу будем называть основной формулой кинематики твердого тела.
Слагаемое называют вращательной скоростью точкиB вокруг полюса A.
Направление этого перпендикулярного к слагаемого легко получить, вращая фигуру вокруг полюса А – отсюда и его название.
На рисунке – круговой вектор угловой скорости, которому сопоставляется прямой.
4.1.2 Мгновенный центр скоростей и способы его нахождения.
Из основной формулы кинематики твердого тела (4.3) ясно, что если , то можно найти такую точкуP , скорость которой равна нулю – эта точка и называется мгновенным центром скоростей.
Для определения неизвестного вектора из уравненияумножим его слева векторно наи, раскрывая двойное векторное произведение, будем иметь
, откуда
(4.4)
Формула (4.4) предполагает, разумеется, известными , но во многих случаях мгновенный центр скоростей можно найти другими способами. Наиболее часто встречаются случаи:
1. Тело катится без проскальзывания.
Мгновенный центр скоростей находится в точке касания тела с неподвижной поверхностью.
Следующие случаи следуют из основной формулы, где в качестве полюса выбран мгновенный центр скоростей: ( 4.5)
Отсюда следует, что: a) – скорость всякой точки В перпендикулярна ,
b) – скорость всякой точки В пропорциональна расстоянию до точкиP.
2. Если известна скорость одной точки A и линия, вдоль которой может быть направлена скорость другой точки B, то мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров к скоростям. В этом случае вычисляется величина угловой скорости , определяется ее направление и, соответственно, скорость точки В (см. рис 4.2).
Если перпендикуляры не пересекаются, то (мгновенно- поступательное движение) и скорости всех точек равны.
Если перпендикуляры слились, то мгновенный центр скоростей находится на пересечении линии, соединяющей концы векторов скорости и общего перпендикуляра.
studfiles.net
Координата и перемещение при равномерном движении по прямой x = xo + vxt,Sx = x − xo = vxt, где xo − начальная координата. Закон сложения скоростей (для поступательного движения системы отсчета) где v1 − скорость первого тела (например, относительно земли), v12 − скорость первого тела относительно второго тела (подвижной системы отсчета), v2 − скорость второго тела (относительно земли). Аналогичный вид имеют закон сложения перемещений S1 = S12 + S2 и закон сложения ускорений a1 = a12 + a2. Эту формулу в виде v12 = v1 − v2 называют формулой для относительной скорости двух тел. Средняя скорость при неравномерном движении по прямой Два последовательных этапа с разными скоростями: vcp = (S1 + S2)/(t1 + t2), где S1 = v1t1, S2 = v2t2. Скорость и перемещение при равноускоренном движении по прямой Sx = voxt + axt2/2, где vox − начальная скорость. Связь между скоростями и перемещением: vx2 − vox2 = 2axSx. Средняя скорость при равноускоренном движении: Sx = (vox + vx)t/2. Свободное падение (vo = 0). Скорость и перемещение (ось y направлена вниз, ay = g) Высота в момент времени t h(t) = H − gt2/2, где H − начальная высота. Время падения и конечная скорость: t = √{2H/g}, v = √{2gH}. Бросок вертикально вверх с начальной скоростью vo. Скорость и перемещение (ось y направлена вверх, voy = vo, ay = −g): Sy = vot − gt2/2. Время подъема до высшей точки (где vy = 0) и высота подъема t1 = vo/g, hmax = vo2/(2g). Полное время полета (до возврата в точку броска) t2 = 2t1 = 2vo/g. Горизонтальный бросок со скоростью vo. Проекции скорости и перемещения (ось x направлена горизонтальна, ось y − вертикально вниз): vx = vo, Sx = vot, vy = gt, Sy = gt2/2, (по горизонтали − равномерное движение со скоростью vo, по вертикали − свободное падение). Модули скорости и угол наклона скорости к горизонту: v = √{vx2 + vy2} = √{vo2 + (gt)2} tgβ = vy/vx = gt/vo. Время до падения на землю (начальная высота H) и дальность полета: t = √{2H/g} S = vo√{2H/g}. Бросок под углом к горизонту с начальной скоростью vo. Проекция скорости и перемещения (ось x направлена горизонтально, ось y − вертикально вверх): vy = vosinα − gt, Sy = votsinα − gt2/2, (по горизонтали − равномерное движение со скоростью vocosα, по вертикали − бросок вертикально вверх с начальной скоростью voy = vosinα). Время подъема до высшей точки (vy = 0) и максимальная высота t1 = vosinα/g, hmax = (vosinα)2/(2g). Полное время и дальность полета t2 = 2t1 = 2vosinα/g, S = vxt2 = vo2sin(2α)/g. Равномерное вращение с угловой скоростью ω. Угол поворота (в рад) и число оборотов: φ = ωt, N = φ/(2π) = νt, где ν − частота вращения (ν = ω/(2π)). Период вращения: T = 1/ν = 2π/ω. Связь между угловыми и линейными перемещениями l = φR, v = ωR, где l − длина дуги. Центростремительное ускорение: aц = v2/R = ω2R. Объем и масса (жидкости, газа), проходящие через сечение S струи за время Δt (уравнение расхода): Δm = ρΔV = ρSvΔt, где v − скорость струи, ρ − плотность (жидкости, газа). | |
abpbrf.ucoz.ru
Кинематика. Основные понятия кинематики. Первые принципы кинематики
Мякишев (10кл) стр.1-51(Физика, М. «Просвещение» 2004.)
« К » «Кинематика» изучает самое доступное для восприятия явление перемещения макротел в природе без учета причин вызывающих его. При этом ставится основная задача – определение положения тел в любой момент времени [Находим с помощью координатного способа – х(t), y(t), z(t), векторного способа – r(t) или естественного (траекторного) где задается положение точки на известной траектории в функции времени.] Эти способы взаимосвязаны и эквивалентны.
Для решения поставленной задачи потребовалось ввести :
I. Основные понятия кинематики.
1. Механическое движение – явление изменение положения тел в пространстве и времени.
2. Прямолинейное равномерное движение – тело совершает за любые равные промежутки времени одинаковые перемещения.
3. Прямолинейное неравномерное движение – тело совершает за равные промежутки времени разные по модулю, но одинаковые по направлению перемещения.
4. Криволинейное равномерное – движение по дугам окружностей с постоянной по модулю скоростью.
5. Криволинейное неравномерное – движение по окружности с разной по модулю скоростью.
6.Относительность движения – тела двигаются по-разному относительно разных систем отсчета.
7. Система отсчета – это система координат связанная с телом отсчета и способ измерения времени.
8. Материальная точка – тело – точка, размерами которого можно пренебречь в данном случае.
9. Траектория – линия, по которой движется тело.
10. Абсолютно твердое тело – это система материальных точек, расстояния между которыми остаются неизменными во время движения.
11. Поступательное движение тел – любая прямая, проведенная в теле остается // самой себе.
12. Вращательное движение – все точки тела двигаются по окружности с центрами лежащими на одной прямой (оси вращения).
Δr2=AH2+HB2=r12sin2α+(r2-r1cosα)2=r12sin2α+r22-2r1r2cosα+r12cos2α=r12(sin2α+cos2α)-2r2r1cosα+r22=r12+r22-2r1r2cosα.
Теорема косинусов
[1а] ПутьL [м] – длина отрезка траектории (скаляр).
[2а] Перемещение – S [м] – вектор, связывающий начальное и конечное положения тела (точки А и В).
[ 3а] Скорость – физическая величина характеризующая быстроту изменения положения тел в пространстве.
[ 3б] Средняя путевая скорость – Vср = ∆L /∆t [м/с] – ∆t – изменение времени. (весь путь делённый на всё время ,скаляр)
[ 3в] Мгновенная скорость – V = lim∆t→0 ∆S /∆t[м/с]. lim∆t→0 , это предельное значение отношения при ∆t →0. (в данной точке и в данный момент времени в этом случае ∆L=∆S)
[ 4а ] Ускорение a [м/с2] – физическая величина которая характеризует направление и быстроту изменения скорости. (скорость изменения скорости)
[ 4б] Среднее ускорение aср = ∆V /∆t [м/с2].
[ 4в] Мгновенное ускорение a = lim∆t→0 ∆V /∆t [м/с2].
[ 4г] Центростремительное ускорение – ускорение тела при равномерном движении по окружности – обусловлено изменением направления скорости.
[ 5а ] Частота обращения n [об/с] – число оборотов в единицу времени.
[ 5б ] Период обращения T [с] – время одного оборота.
[5в ] Угловая скорость ω = ∆j / ∆t = V/R [рад/с] ∆j – приращение угла в радианах.
[ 6] Среднеквадратическая скорость v = [ 7] Изменение любой величины –разность её конечного и начального значений. Введенные понятия позволяют решить основную задачу кинематики для простых движений , и .
G НО! На практике движение сложное и поэтому необходимо установить
II Положения, позволяющие решить основную задачу для сложного движения
1 Формула сложения скоростей – пусть имеется
неподвижная система – Н, подвижная – n, а так же V
V – скорость тела относительно Н, Vn – скорость тела n Vn
относительно n и V0 – скорость n относительно Н, тогда
V = Vn + V0 умножая на t => формула сложения Н
перемещений .Для ускорений а = аn. Для вектора R=Rn + R0
2 Любой вектор (S, V или а) можно выразить через его проекцию на координатные оси (разложить на компоненты), Vy V = V1 + V2
при этом сумма проекций нескольких Vy1 V1 Vy = Vy1 + Vy2
векторов равна проекции суммарного Vy2 V2 Vx = Vx1 – Vx2
вектора. |V| = √ Vx2 + Vy2
. По проекциям вектора V Vx2 Vx Vx1
(Прх V = Vх ; ПруV = Vу) можно получить исходный вектор.
Установленные положения позволяют сложное движение разложить на простые его составляющие и результат получить как сумму. Поэтому целесообразно рассмотреть.
III Основные составляющие сложного механического движения
1 Равномерное прямолинейное движение
где x – координата, S – путь (площадь под V)
2 Равноускоренное прямолинейное движение
S=Vср·t; t = (V –V0) / a; S =((V0 + V) /2)·t =(V2 –V02) /2a.
аналогично по X, Y , Z
3 Вращательное движение jR – длина дуги j [рад]
A V1 |V1| = |V2| ; T = 1/ n [c] ; ω = ∆ j / ∆ t = 2 p /T = 2pn
R j B V = 2pR /T = 2pRn = ωR; если есть ∆V за ∆t, то
j j V1’ a = ∆V / ∆t Но! Если j → 0 AB / R ≈ ∆V / V Þ
ω ∆V =(AB /R)V Þ a = AB·V / R·∆t Но! Еслиj → 0
V2 ∆V AB ≈ ABÞ AB/ ∆t =VÞ a=V2 /R = ω2·R2/R = ω2·R = ω·V =
= 4p2 n2R=4p2 R/T2= центростремительное ускорение an[м/с2]
V1 =V2 =V
При j → 0 ∆V ^ V1 а = ∆V / ∆t Но !! ∆V = V1∆j = V1 ℓ / R; (∆j =sin j ; ℓ – длина дуги) Þ а =∆V / ∆t =Vℓ /∆t R = V2/ R; а ^ V1
Любое сложное движение, изучаемое в школе, можно разложить на вышерассмот- ренные , и , а затем, используя положение II получить решение, Но! анализ движения выше проведен без учета причин вызывающих его. Учет последних, производится в следующем разделе механики, где ответ на вопрос «Почему оно двигается?»
P.S. Для ссылок использовать при необходимости рубрикацию. Например, понятие «Угловая скорость» → < K. I. 5в >
Первые принципы кинематики
x(t)=x0+v0xt+axt2/2; vx=v0x+axt;
y(t)=y0+v0yt+ayt2/2. vy=v0y+ayt.
«1 Кинематика» типовые задачи КЗ
1. Автомобиль двигается вдоль железной дороги прямолинейно равномерно с V = 60км./час. Когда он поравнялся с неподвижным локомотивом поезда, последний начал двигаться прямолинейно неравномерно с a = 2м / с2.Через какое время они встретятся (I.2; I.3; III.1; III.2)(I.7)
vunivere.ru
