Как решать производную функции: Найти производную: алгоритм и примеры решений

Содержание

Найти производную: алгоритм и примеры решений

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции.

Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

.

Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования.

К ним мы и переходим прямо сейчас.

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

                          

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

                              

Правило 2. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

                     

т. е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой. 

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

                          

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

                     

Правило 3. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

                  

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций".

Здесь же (далее) - более простые примеры на производную произведения и частного, на которых Вы увереннее освоите алгоритмы вычислений.

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u'v, в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями".

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие

"Производная суммы дробей со степенями и корнями".

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций".

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 6.

Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Ещё больше домашних заданий на нахождение производных

Пример 12. Найти производную функции

.

Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных - под номером 3), получим

.

Пример 13. Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

Пример 14. Найти производную функции

Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:

Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:

Пример 15. Найти производную функции

Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных - номер 5):

Шаг3. В частном знаменатель - также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя - это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:

Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:

,

а производная, требуемая в условии задачи:

Ещё больше домашних заданий на нахождение производных

Напоминаем, что чуть более сложные примеры на производную произведения и частного - в статьях "Производная произведения и частного функций" и "Производная суммы дробей со степенями и корнями".

Также настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

Поделиться с друзьями

Весь блок "Производная"

Производная сложной функции

Если g(x) и f(u) – дифференцируемые функции своих аргументов соответственно в точках x и u = g(x), то сложная функция также дифференцируема в точке x и находится по формуле

           

Типичная ошибка при решении задач на производные - машинальное перенесение правил дифференцирования простых функций на сложные функции. Будем учиться избегать этой ошибки.

Посмотрите на формулу 9 в таблице производных. Исходная функция является функцией от функции, причём аргумент x является аргументом лишь второй функции, а вторая функция является аргументом первой функции, или, согласно более строгому определению - промежуточным аргументом по независимой переменной x.

А теперь посмотрите на картинку ниже, которая иллюстрирует решение задач на сложные производные по аналогии с простым примером из кулинарии - приготовлении запечёных яблок, фаршированных ягодами.

Итак, "яблоко" - это функция, аргументом которой является промежуточный аргумент, а промежуточный аргумент по независимой переменной x, в свою очередь, является "фаршем" (ягодами). Представим себе, что решая задачи на производные сложной функции, сначала помещаем яблоко с фаршем в особую (физико-математическую) духовку и устанавливаем режим 1. При таком режиме духовка воздействует только на "яблоко", поскольку нужно, допустим, больше пропечь яблоко, а фарш из ягод оставить более сочным, то есть обрабатывать в другом режиме. Итак, в при режиме 1 обрабатывается яблоко, а фарш остаётся незатронутым, или, ближе к нашим задачам, находим производную функции лишь от промежуточного аргумента, то есть, "яблока". Затем в духовке устанавливается режим 2, который воздействует только на фарш, иначе говоря, записываем производную функции, являющейся промежуточным аргументом по независимой переменной x. И, в конце концов, записываем произведение производной "яблока" и производной "фарша". Можно подавать!

Пример 1.Найти производную функции

Сначала определим, где здесь "яблоко", то есть функция по промежуточному аргументу u, а где "фарш", то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x. Определяем: возведение в степень - это функция по промежуточному аргументу, то есть "яблоко", а выражение в скобках (разность двух тригонометрических функций) - это промежуточный аргумент, то есть "фарш".

Тогда

Далее по таблице производных (производная суммы или разности, производные синуса и косинуса) находим:

Требуемая в условии задачи производная (готовое "фаршированое яблоко"):

Нахождение производной сложной логарифмической функции имеет свои особенности, поэтому у нас есть и урок "Производная логарифмической функции".

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 2.Найти производную функции

Неправильное решение: вычислять натуральный логарифм каждого слагаемого в скобках и искать сумму производных:

Правильное решение: опять определяем, где "яблоко", а где "фарш". Здесь натуральный логарифм от выражения в скобках - это "яблоко", то есть функция по промежуточному аргументу u, а выражение в скобках - "фарш", то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x.

Тогда (применяя формулу 14 из таблицы производных)

Во многих реальных задачах выражение с логарифмом бывает несколько сложнее, поэтому и есть урок "Производная логарифмической функции".

Пример 3.Найти производную функции

Неправильное решение:

Правильное решение. В очередной раз определяем, где "яблоко", а где "фарш". Здесь косинус от выражения в скобках (формула 7 в таблице производных)- это "яблоко", оно готовится в режиме 1, воздействующем только на него, а выражение в скобках (производная степени - номер 3 в таблице производных) - это "фарш", он готовится при режиме 2, воздействующей только на него. И как всегда соединяем две производные знаком произведения. Результат:

Производная сложной логарифмической функции - частое задание на контрольных работах, поэтому настоятельно рекомендуем посетить урок "Производная логарифмической функции".

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Первые примеры были на сложные функции, в которых промежуточный аргумент по независимой переменной был простой функцией. Но в практических заданиях нередко требуется найти производную сложной функции, где промежуточный аргумент или сам является сложной функцией или содержит такую функцию. Что делать в таких случаях? Находить производные таких функций по таблицам и правилам дифференцирования. Когда найдена производная промежуточного аргумента, она просто подставляется в нужное место формулы. Ниже – два примера, как это делается.

Кроме того, полезно знать следующее. Если сложная функция может быть представлена в виде цепочки из трёх функций

,

то её производную следует находить как произведение производных каждой из этих функций:

.

Для решения многих ваших домашних заданий может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 4.Найти производную функции

Применяем правило дифференцирования сложной функции, не забывая, что в полученном произведении производных промежуточный аргумент по независимой переменной x не меняется:

Готовим второй сомножитель произведения и применяем правило дифференцирования суммы:

Второе слагаемое - корень, поэтому

Таким образом получили, что промежуточный аргумент, являющийся суммой, в качестве одного из слагаемых содержит сложную функцию: возведение в степень - сложная функция, а то, что возводится в степень - промежуточный аргумент по независимой переменной x.

Поэтому вновь применим правило дифференцирования сложной функции:

Степень первого сомножителя преобразуем в корень, а дифференцируя второй сомножитель, не забываем, что производная константы равна нулю:

Теперь можем найти производную промежуточного аргумента, нужного для вычисления требуемой в условии задачи производной сложной функции y:

Тогда

Пример 5.Найти производную функции

Сначала воспользуемся правилом дифференцирования суммы:

Получили сумму производных двух сложных функций. Находим первую из них:

Здесь возведение синуса в степень - сложная функция, а сам синус - промежуточный аргумент по независимой переменной x. Поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, попутно вынося множитель за скобки:

Теперь находим второе слагаемое из образующих производную функции y:

Здесь возведение косинуса в степень - сложная функция f[g(x)], а сам косинус - промежуточный аргумент по независимой переменной x. Снова воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

Результат - требуемая производная:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Для сложных функций на основании правила дифференцирования сложной функции формула производной простой функции принимает другой вид.

Поделиться с друзьями

Весь блок "Производная"

Производная произведения и частного функции

Формула производной произведения функции имеет вид .

Формула производной частного функции имеет вид .

Однако было бы наивно надеяться, что на контрольной или экзамене Вам обязательно попадётся пример на нахождение производной такого частного: , где легко подставить простенькое выражение в формулу и выдать правильное решение.

В реальных задачах требуется найти производную таких произведений и частных, в которые вкрались тригонометрические выражения и логарифмы, не говоря уже о множителях (константах), и вообще о том, что может содержать произведение или частное функции. Поэтому примеры нахождения производной произведения и частного функций вынесены в эту отдельную статью.

Пример 1.Найти производную функции

.

Решение. От нас требуется найти производную произведения функций. Прежде всего вынесем множитель 2 за знак производной:

.

Теперь применяем формулу дифференцирования произведения:

Приводим слагаемые в скобках к общему знаменателю:

В числителе первого слагаемого можно заметить знакомое по школьной математике выражение двойного угла:

Существует также известное из школьной математики тождество:

.

Подставляем его в наш промежуточный результат и получаем:

.

Производная данного произведения найдена.

Пример 2.Найти производную функции

.

Пример 4.Найти производную функции

Решение. Перед нами сумма частных. Следовательно, каждое слагаемое будет дифференцировано как частное. Применяем правило дифференцирования частного, не забывая, чему равны производные числа(константы) и самой переменной x:

Пример 5.Найти производную функции

Шаг 1. Применим правило дифференцирования частного:

Шаг 2. Находим производную произведения в числителе:

Шаг 3. Находим производную суммы:

Шаг 4. Находим производную функции:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на x:

Пример 6. Найти производную функции

.

Пример 8.Найти производную функции

Шаг 1. Применим правило дифференцирования произведения:

Шаг 2. Найдём производную частного, помня, что производная константы равна нулю, а корень из константы является также константой:

Шаг 3. Находим производную арктангенса (формула 12 в таблице производных):

Искомая производная:

Проверить решение именно Вашей задачи можно на калькуляторе производных.

Пример 9.Найти производную функции

Шаг 1. Применим правило дифференцирования частного:

Шаг 2. Дифференцируем по правилам для произведения и показательной функции (формула 17 в таблице производных):

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Вновь настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

Поделиться с друзьями

Весь блок "Производная"

как найти, вычислить и понять с нуля

 

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

 

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

 

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Как найти производную. Таблица производных.

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно.  Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

 

 

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам  получаем  другую функцию:

В этом равенстве  - функция, от которой мы берем производную,

- функция, которая получается в результате этой операции.

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение  производной, существует таблица производных  элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

2. Производная степенной функции:

Заметим, что  может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1.

2. 

3.

3. Производная показательной функции:

Пример.

Частный случай этой формулы:

4. Производная логарифма:

Частный случай этой формулы:

5. Производные тригонометрических функций:

6. Производные обратных тригонометрических функций:

 

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы двух функций:

2. Производная произведения двух функций:

3. Производная дроби:

4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):

Чтобы правильно найти производную функции , полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите  в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции

4. Вспомните, чему равны производные  этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

Так как по условию , следовательно,

Таким образом:

Пример 2. Найти производную функции:

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

Пример 3. Найти производную функции

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени  и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

Теперь легко найти производную:

Пример 4. Найти производную функции:

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции  по формуле производной дроби:

В нашем случае:

Отсюда:

КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

Видеоурок "Производная сложной функции" смотрите здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

примеры решения производных

Производная функции является основным понятием дифференциального исчисления. Она характеризует скорость изменения функции в указанной точке. Производная широко используется при решении целого ряда задач по математике, физике и другим наукам, в особенности при изучении скорости различного рода процессов. Именно поэтому мы собрали на сайте более 200 примеров решения производных и постоянно добавляем новые! Список тем находится в правом меню.

Перед изучением примеров вычисления производных советуем изучить теоретический материал по теме: прочитать определения, правила дифференцирования, таблицу производных и другой материал по производным.


Таблица производных и правила дифференцирования

Основные ссылки - таблица производных, правила дифференцирования и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную функции

Решение. Так как производная суммы равна сумме производных, то

Воспользуемся формулами для производных показательной и обратной тригонометрической функций:

Ответ.

Больше примеров решений →


Производные сложных функций

Основные ссылки - теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание.Найти производную функции

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции:

В свою очередь производная также берется по правилу дифференцирования сложной функции:

Ответ.

Больше примеров решений →


Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Основные ссылки - теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Больше примеров решений →


Геометрический смысл производной

Основные ссылки - теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Больше примеров решений →


Механический смысл производной

Основные ссылки - теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Точка движется по закону . Чему равна скорость в момент времени ?

Решение. Найдем скорость точки как первую производную от перемещения:

В момент времени скорость равна

Ответ.

Больше примеров решений →


Уравнение касательной, нормали и угол между прямыми

Основные ссылки - теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Записать уравнение касательной к графику функции в точке

Решение. Найдем значение функции в заданной точке:

Найдем производную заданной функции по правилу дифференцирования произведения:

Вычислим её значение в заданной точке

Используя формулу

запишем уравнение касательной:

Ответ. Уравнение касательной:

Больше примеров решений →


Производные высших порядков

Основные ссылки - теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную второго порядка от функции

Решение. Находим первую производную как производную сложной функции:

Вторую производную находим как от произведения, предварительно вынеся по правилам дифференцирования коэффициент 3 за знак производной. Также будем учитывать, что первый множитель - - есть сложной функцией:

Ответ.

Больше примеров решений →


Механическое смысл второй производной

Основные ссылки - теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид (м). Найти ускорение точки в момент времени c.

Решение. Ускорение заданной точки найдем, взяв вторую производную от перемещения по времени:

Первая производная

(м/с)

вторая производная

(м/с2)

В момент времени c

(м/с2)

Ответ. (м/с2)

Больше примеров решений →


Дифференциалы высших порядков

Основные ссылки - теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции

Решение. По формуле

Найдем третью производную заданной функции:

Тогда

Ответ.

Больше примеров решений →


Производная функции, заданной неявно

Основные ссылки - теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Больше примеров решений →


Производная функции, заданной параметрически

Основные ссылки - теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Больше примеров решений →


Логарифмическое дифференцирование

Основные ссылки - теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную функции

Решение. Применим логарифмическое дифференцирование:

Тогда, продифференцировав левую и правую часть, будем иметь:

Отсюда получаем, что

Ответ.

Больше примеров решений →


Формулы Маклорена и Тейлора

Основные ссылки - теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Больше примеров решений →

Вы поняли, как решать? Нет?

Помощь с решением

Производная функции. Геометрический смысл производной.

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку A с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке  равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

.

Величина  в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке  функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол  с положительным направлением оси . Значит, в точке  производная положительна.

В точке  наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол  с положительным направлением оси .  Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке  производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках  (точка максимума) и  (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка  — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке  с «плюса» на «минус».

В точке  — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
+ 0 - 0 +

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке  касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки  функция возрастала — и после точки  продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных.

Введение в производные инструменты

Все дело в наклоне!

Наклон = Изменение Y Изменение X

Мы можем найти средний уклон между двумя точками.

Но как найти наклон в точке ?

Измерять нечем!

Но с производными мы используем небольшую разницу...

... затем уменьшите до нуля .

Найдем производную!

Чтобы найти производную функции y = f (x), воспользуемся формулой наклона:

Наклон = Изменение в иен Изменение X = Δy Δx

И (из схемы) видим, что:

С С
x отличается от х по х + Δx
г отличается от ф (х) по f (x + Δx)

Теперь выполните следующие действия:

  • Заполните эту формулу наклона: Δy Δx = f (x + Δx) - f (x) Δx
  • Упростите как можно лучше
  • Затем сделайте Δx сжатием до нуля.

Как это:

Пример: функция

f (x) = x 2

Мы знаем f (x) = x 2 , и мы можем вычислить f (x + Δx) :

Начать с: f (x + Δx) = (x + Δx) 2
Развернуть (x + Δx) 2 : f (x + Δx) = x 2 + 2x Δx + (Δx) 2

Формула наклона: f (x + Δx) - f (x) Δx

Положите f (x + Δx) и f (x) : x 2 + 2x Δx + (Δx) 2 - x 2 Δx

Упростить (x 2 и −x 2 отменить): 2x Δx + (Δx) 2 Δx

Еще больше упростить (разделить на Δx): = 2x + Δx

Тогда , поскольку Δx направляется к 0 , получаем: = 2x

Результат: производная x 2 равна 2x

Другими словами, наклон в точке x равен 2x

Мы пишем dx вместо "Δx головок по направлению к 0" .

И «производная от» обычно пишется d dx вот так:

d dx x 2 = 2x
"Производная x 2 равна 2x "
или просто "d dx x 2 равно 2x "


Итак, что означает

d dx x 2 = 2x ?

Это означает, что для функции x 2 наклон или «скорость изменения» в любой точке составляет 2x .

Итак, когда x = 2 , наклон равен 2x = 4 , как показано здесь:

Или, когда x = 5 , наклон равен 2x = 10 и так далее.

Примечание: f ’(x) также может использоваться как« производная от »:

f ’(x) = 2x
" Производная f (x) равна 2x "
или просто " f-тире x равно 2x "

Попробуем другой пример.

Пример: Что такое

d dx x 3 ?

Мы знаем f (x) = x 3 и можем вычислить f (x + Δx) :

Начать с: f (x + Δx) = (x + Δx) 3
Развернуть (x + Δx) 3 : f (x + Δx) = x 3 + 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3

Формула наклона: f (x + Δx) - f (x) Δx

Положите f (x + Δx) и f (x) : x 3 + 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3 - x 3 Δx

Упростить (x 3 и −x 3 отменить): 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3 Δx

Еще больше упростить (разделить на Δx): 3x 2 + 3x Δx + (Δx) 2

Тогда , поскольку Δx направляется к 0 , мы получаем: 3x 2

Результат: производная x 3 равна 3x 2

Поиграйте с этим с помощью плоттера производных.

Производные от других функций

Мы можем использовать тот же метод для вычисления производных других функций (например, синуса, косинуса, логарифмов и т. Д.).

Пример: какова производная sin (x)?

В правилах производных финансовых инструментов он указан как cos (x)

Готово.

Но пользоваться правилами бывает непросто!

Пример: какова производная от cos (x) sin (x)?

Мы получим неправильный ответ , если попытаемся умножить производную cos (x) на производную sin (x)...!

Вместо этого мы используем «Правило продукта», как описано на странице «Производные правила».

И фактически получается, что cos 2 (x) - sin 2 (x)

Итак, это ваш следующий шаг: научитесь использовать правила.

Обозначение

«Сжимать к нулю» на самом деле записывается как предел, например:

f ’(x) = lim Δx → 0 f (x + Δx) - f (x) Δx

«Производная f равна
пределу, когда Δx стремится к нулю f (x + Δx) - f (x) по Δx»

Или иногда производная записывается так (объяснено в Производных как dy / dx):

dy dx = f (x + dx) - f (x) dx

Процесс нахождения производной называется «дифференцированием».

Вы, , проводите дифференциацию ... до получаете производную.

Куда дальше?

Иди и узнай, как находить деривативы с помощью правил деривативов, и получи много практики:

Как вычислять производные - Видео и стенограмма урока

Вычислительные производные

Вы можете вспомнить нечто, называемое коэффициентом разности, из курса алгебры или предварительного исчисления. Коэффициент разности функции f ( x ) - это формула, которая дает наклон линии через любые две точки с координатами x x и x + h на функции:

( f ( x + h ) - f ( x )) / h

Это ключ к вычислению производных.Производные вычисляются путем нахождения предела коэффициента разности функции, когда h приближается к 0, как вы можете видеть ниже.

В принципе, мы можем вычислить производную f ( x ), используя определение предела производных, выполнив следующие шаги:

  1. Найти f ( x + h ).
  2. Вставьте f ( x + h ), f ( x ) и h в определение предела производной.
  3. Упростите коэффициент разницы.
  4. Возьмите предел, поскольку h приближается к 0, упрощенного коэффициента разности.

Пример

Итак, рассмотрим нашу гоночную функцию f (x) = -7x2 + 280x. Сначала находим f ( x + h ):

f ( x + h ) = -7 ( x + h ) 2 + 280 ( x + h ) = -7 ( x 2 + 2 xh + h 2) + 280 x + 280 h = -7 x 2-14 xh -7 h 2 + 280 x + 280 h

Теперь мы подключаемся к определению предела, упрощаем и находим предел, как вы можете видеть здесь.

Хорошо. Теперь, когда вы это сделали, мы видим, что производная от f ( x ) равна:

f '( x ) = -14 x + 280

Мы можем использовать эту формулу для расчета скорости победителя в любой момент гонки. Например, рассмотрим ее скорость через 10 секунд. Подставляем x = 10 в формулу производной:

f '( x ) = -14 (10) + 280 = 140

Мы получаем, что производная f при x = 10 составляет 140, так что за 10 секунд гонки она ехала со скоростью 140 миль в час! Вау, это так быстро!

Другой пример

Хорошо, еще один пример использования этого определения предела для вычисления производной.Рассмотрим функцию g ( x ) = 1/ x , где x ≠ 0. Чтобы найти производную, используя предельное определение производных, мы сначала находим g ( x + h ):

г ( x + h ) = 1 / ( x + h )

Теперь мы подключаем g ( x + h ), g ( x ) и h в определение предела и находим предел, как вы можете видеть ниже.

Мы видим, что производная от g ( x ) = 1/ x равна g '( x ) = -1 / x 2.

Формулы для производных

Мы всегда можем использовать предельное определение производных для вычисления производных. Однако у нас также есть несколько хороших формул для производных различных типов общих функций. Эти формулы являются прямым результатом предельного определения функции.

Их наличие под рукой может значительно упростить задачу, поэтому не стесняйтесь просматривать таблицу ниже:

Давайте еще раз рассмотрим наш гоночный автомобиль. Из таблицы видно, что производная суммы функций - это сумма производных. Следовательно, производная нашей функции гоночного автомобиля, f ( x ) = -7 x 2 + 280 x , равна сумме производной -7 x 2 и 280 x . .

Чтобы найти эти производные, мы видим, что изображение дает формулу для производной функции вида ax n как nax ( n - 1).

Следовательно, производная от -7 x 2 равна (2) (- 7) x 2-1 = -14 x , а производная от 280 x равна (1) (280) x 0 = 280. Таким образом, производная от f ( x ) равна:

f '( x ) = -14 x + 280

. тот же результат, что и при использовании предельного определения производных.

Краткое содержание урока

Производная функции, f ( x ), представляет собой скорость, с которой значение функции изменяется относительно x . Мы можем вычислять производные, используя определение предела производной, которое, как вы можете видеть здесь, выполняется путем нахождения предела разностного отношения функции, поскольку h приближается к 0:

Это определение предела можно не только использовать для вычисления производных, но мы также можем использовать его для нахождения формул для производных общих функций, которые могут значительно упростить вычисление производных в целом.Чем больше мы работаем с деривативами, тем больше мы знакомы с такими ярлыками, как эти формулы, поэтому, вероятно, будет неплохо продолжать практиковаться!

Исчисление I - Определение производной

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана ( i. е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-1: Определение производного инструмента

В первом разделе главы «Пределы» мы увидели, что вычисление наклона касательной, мгновенной скорости изменения функции и мгновенной скорости объекта в \ (x = a \) требует от нас вычислить следующий предел.

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ frac {{f \ left (x \ right) - f \ left (a \ right)}} {{x - a}} \]

Мы также видели, что с небольшим изменением обозначений этот предел можно также записать как,

\ [\ begin {уравнение} \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({a + h} \ right) - f \ left (a \ right)}} {h } \ label {eq: eq1} \ end {формула} \]

Это такой важный предел, и он возникает во многих местах, поэтому мы даем ему название. Мы называем это производной . Вот официальное определение производной.

Определение производного инструмента

Производная от \ (f \ left (x \ right) \) относительно x является функцией \ (f '\ left (x \ right) \) и определяется как, \ [\ begin {уравнение} f '\ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) - f \ left (x \ right)}} {h} \ label {eq: eq2} \ end {уравнение} \]

Обратите внимание, что мы заменили все a в \ (\ eqref {eq: eq1} \) на x , чтобы признать тот факт, что производная на самом деле также является функцией.2} - 16x + 35 \] Показать решение

Итак, все, что нам действительно нужно сделать, это вставить эту функцию в определение производной, \ (\ eqref {eq: eq2} \), и заняться алгеброй. Хотя, по общему признанию, алгебра временами может быть несколько неприятной, но это всего лишь алгебра, так что не волнуйтесь, что мы сейчас вычисляем производные. 2} - 16x + 35} \ right)}} {h} \ end {align *} \]

Будьте осторожны и убедитесь, что вы правильно используете скобки при вычитании.2} - 16h}} {h} \ end {align *} \]

Обратите внимание, что каждый член в числителе, в котором не было h , был сокращен, и теперь мы можем вынести h из числителя, которое сократится против h в знаменателе. После этого мы можем вычислить предел.

\ [\ begin {align *} f '\ left (x \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{h \ left ({4x + 2h - 16} \ right )}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} 4x + 2h - 16 \\ & = 4x - 16 \ end {align *} \]

Итак, производная:

\ [f '\ left (x \ right) = 4x - 16 \] Пример 2 Найдите производную следующей функции, используя определение производной.\ [g \ left (t \ right) = \ frac {t} {{t + 1}} \] Показать решение

Этот будет немного запутаннее в плане алгебры. Однако в остальном он будет работать точно так же, как и в предыдущих примерах. Сначала мы подставляем функцию в определение производной,

\ [\ begin {align *} g '\ left (t \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{g \ left ({t + h} \ right) »- g \ left (t \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({\ frac {{t + h }} {{t + h + 1}} - \ frac {t} {{t + 1}}} \ right) \ end {align *} \]

Обратите внимание, что мы изменили все буквы в определении, чтобы они соответствовали данной функции.Также обратите внимание, что мы написали дробь гораздо более компактно, чтобы помочь нам в работе.

Как и в случае с первой проблемой, мы не можем просто подключить \ (h = 0 \). Итак, нам нужно будет немного упростить. В этом случае нам нужно будет объединить два члена числителя в одно рациональное выражение следующим образом.

\ [\ begin {align *} g '\ left (t \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({\ frac {{\ left ({t + h} \ right) \ left ({t + 1} \ right) - t \ left ({t + h + 1} \ right)}} {{\ left ({t + h + 1}) \ right) \ left ({t + 1} \ right)}} \ right) \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({ \ frac {{{t ^ 2} + t + th + h - \ left ({{t ^ 2} + th + t} \ right)}} {{\ left ({t + h + 1} \ right) \ left ({t + 1} \ right)}}} \ right) \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({\ frac { h} {{\ left ({t + h + 1} \ right) \ left ({t + 1} \ right)}}} \ right) \ end {align *} \]

Прежде чем закончить, отметим пару вещей. 2}}} \] Пример 3 Найдите производную следующей функции, используя определение производной.\ [R \ left (z \ right) = \ sqrt {5z - 8} \] Показать решение

Сначала вставьте определение производной, как мы делали с предыдущими двумя примерами.

\ [\ begin {align *} R '\ left (z \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{R \ left ({z + h} \ right) »- R \ left (z \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) - 8} - \ sqrt {5z - 8}}} {h} \ end {align *} \]

В этой задаче нам нужно рационализировать числитель.Вы ведь помните рационализацию из класса алгебры? На уроках алгебры вы, вероятно, только рационализировали знаменатель, но вы также можете рационализировать числители. Помните, что при рационализации числителя (в данном случае) мы умножаем числитель и знаменатель на числитель, за исключением того, что мы меняем знак между двумя членами. Вот рационализация этой проблемы,

\ [\ begin {align *} R '\ left (z \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) - 8} - \ sqrt {5z - 8}} \ right)}} {h} \ frac {{\ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) - 8} + \ sqrt {5z - 8}} \ right)}} {{\ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) - 8} + \ sqrt {5z - 8}} \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{5z + 5h - 8 - \ left ({5z - 8} \ right)}} {{h \ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) - 8} + \ sqrt {5z - 8}} \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{5h}} {{h \ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) - 8} + \ sqrt {5z - 8}}) \ right)}} \ end {align *} \]

Опять же, после упрощения в числителе осталось всего ч .Итак, отмените h и оцените лимит.

\ [\ begin {align *} R '\ left (z \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {5} {{\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) - 8} + \ sqrt {5z - 8}}} \\ & = \ frac {5} {{\ sqrt {5z - 8} + \ sqrt {5z - 8}}} \\ & = \ frac {5} {{2 \ sqrt {5z - 8}}} \ end {align *} \]

Итак, мы получаем производную от

. \ [R '\ left (z \ right) = \ frac {5} {{2 \ sqrt {5z - 8}}} \]

Давайте поработаем еще один пример.Этот будет немного другим, но нужно сказать о нем.

Пример 4 Определите \ (f '\ left (0 \ right) \) для \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \). Показать решение

Поскольку эта проблема запрашивает производную в определенный момент, мы продолжим и будем использовать ее в своей работе. Это сделает нашу жизнь проще, и это всегда хорошо.

Итак, включите определение и упростите.

\ [\ begin {align *} f '\ left (0 \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({0 + h} \ right) »- f \ left (0 \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left | {0 + h} \ right | - \ left | 0 \ right |}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left | h \ right |}} {h} \ end {align *} \]

Мы видели подобную ситуацию, когда смотрели на пределы бесконечности. +}} 1 \\ & = 1 \ end {выровнять *} \]

Два односторонних ограничения различны, поэтому

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left | h \ right |}} {h} \]

не существует. Однако это предел, который дает нам производную, которую мы ищем.

Если предела не существует, значит, не существует и производной.

В этом примере мы наконец увидели функцию, для которой не существует производной в точке.Это жизненный факт, о котором мы должны знать. Деривативы будут существовать не всегда. Также обратите внимание, что это ничего не говорит о том, существует ли производная где-либо еще. Фактически, производная функции абсолютного значения существует в каждой точке, кроме той, которую мы только что рассмотрели, \ (x = 0 \).

Предыдущее обсуждение приводит к следующему определению.

Определение

Функция \ (f \ left (x \ right) \) называется дифференцируемой в \ (x = a \), если существует \ (f '\ left (a \ right) \) и \ (f \ left ( x \ right) \) называется дифференцируемой на интервале, если производная существует для каждой точки этого интервала.

Следующая теорема показывает нам очень хорошее соотношение между непрерывными и дифференцируемыми функциями.

Теорема

Если \ (f \ left (x \ right) \) дифференцируем в \ (x = a \), то \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно в \ (x = a \).

См. Раздел Доказательство различных формул производных в главе «Дополнительные возможности», чтобы увидеть доказательство этой теоремы.

Обратите внимание, что эта теорема не работает в обратном направлении. Рассмотрим \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \) и посмотрите,

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} f \ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} \ left | х \ право | = 0 = е \ влево (0 \ вправо) \]

Итак, \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \) непрерывно в \ (x = 0 \), но мы только что показали выше в примере 4, что \ (f \ left ( x \ right) = \ left | x \ right | \) не дифференцируем в \ (x = 0 \).

Альтернативное обозначение

Далее нам нужно обсудить некоторые альтернативные обозначения производной. Типичное обозначение производной - это «простое» обозначение. Однако иногда используются и другие обозначения, поэтому давайте остановимся на этом.

Для функции \ (y = f \ left (x \ right) \) все нижеследующие эквивалентны и представляют собой производную от \ (f \ left (x \ right) \) по отношению к x .

\ [f '\ left (x \ right) = y' = \ frac {{df}} {{dx}} = \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {d} {{dx} } \ left ({f \ left (x \ right)} \ right) = \ frac {d} {{dx}} \ left (y \ right) \]

Поскольку нам также необходимо иногда оценивать производные, нам также нужна запись для оценки производных при использовании дробной записи.Итак, если мы хотим оценить производную в \ (x = a \), все следующие утверждения эквивалентны.

\ [е '\ влево (а \ вправо) = {\ влево. {y '} \ right | _ {x = a}} = {\ left. {\ frac {{df}} {{dx}}} \ right | _ {x = a}} = {\ left. {\ frac {{dy}} {{dx}}} \ right | _ {x = a}} \]

Также обратите внимание, что иногда мы опускаем часть \ (\ left (x \ right) \) в функции, чтобы несколько упростить обозначения. В этих случаях следующие варианты эквивалентны.

\ [е '\ влево (х \ вправо) = е' \]

В заключение в этом разделе мы признаем, что вычисление большинства производных прямо из определения - довольно сложный (а иногда и болезненный) процесс, полный возможностей для ошибок.В нескольких разделах мы начнем разрабатывать формулы и / или свойства, которые помогут нам взять производную от многих общих функций, чтобы нам не приходилось слишком часто прибегать к определению производной.

Однако это не означает, что не важно знать определение производной! Это важное определение, которое мы всегда должны знать и помнить. Это просто то, с чем мы не собираемся так много работать.

Исчисление I - формулы дифференцирования

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана (, т. е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-3: Формулы дифференцирования

В первом разделе этой главы мы увидели определение производной и вычислили пару производных, используя это определение.Как мы видели в этих примерах, для вычисления пределов потребовалось изрядное количество работы, а функции, с которыми мы работали, были не слишком сложными.

Для более сложных функций использование определения производной было бы практически невыполнимой задачей. К счастью, нам не придется слишком часто использовать это определение. Нам придется использовать его время от времени, однако у нас есть большой набор формул и свойств, которые мы можем использовать, чтобы значительно упростить нашу жизнь и позволят нам по возможности избегать использования определения.\ prime} = f '\ left (x \ right) \ pm g' \ left (x \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ mbox {OR} \ hspace {0,25 дюйма} \ frac {d} {{dx} } \ left ({f \ left (x \ right) \ pm g \ left (x \ right)} \ right) = \ frac {{df}} {{dx}} \ pm \ frac {{dg}} { {dx}} \)

Другими словами, чтобы дифференцировать сумму или разность, все, что нам нужно сделать, это дифференцировать отдельные термины, а затем снова сложить их вместе с соответствующими знаками. Также обратите внимание, что это свойство не ограничивается двумя функциями.

См. Раздел «Доказательство различных формул производных» в главе «Дополнительно», чтобы увидеть доказательство этого свойства.\ prime} = cf '\ left (x \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ mbox {OR} \ hspace {0,25 дюйма} \ frac {d} {{dx}} \ left ({cf \ left (x \ right)} \ right) = c \ frac {{df}} {{dx}} \), \ (c \) - любое число

Другими словами, мы можем «вынести» мультипликативную константу из производной, если нам нужно. См. Раздел Доказательство различных формул производных в главе Дополнительные возможности, чтобы увидеть доказательство этого свойства.

Обратите внимание, что мы не включили здесь формулы для производной от произведений или частных двух функций.Производная продукта или частное двух функций не является продуктом или частным производных отдельных частей. Мы рассмотрим это в следующем разделе.

Затем давайте кратко рассмотрим пару основных «вычислительных» формул, которые позволят нам фактически вычислить некоторые производные.

Формулы
  1. Если \ (е \ left (x \ right) = c \), то \ (\ displaystyle f '\ left (x \ right) = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ mbox {OR} \ hspace {0.{n - 1}} \), \ (n \) - любое число.

    Эту формулу иногда называют правилом мощности . Все, что мы здесь делаем, это опускаем исходную экспоненту вперед и умножаем, а затем вычитаем единицу из исходной экспоненты.

    Также обратите внимание, что для использования этой формулы \ (n \) должно быть числом, оно не может быть переменной. Также обратите внимание, что основание, \ (x \), должно быть переменной, а не числом. В некоторых последующих разделах будет заманчиво неправильно использовать правило мощности, когда мы запускаем некоторые функции, в которых показатель степени не является числом и / или основание не является переменной.

    См. Раздел «Доказательство различных формул производных» в главе «Дополнительно», чтобы увидеть доказательство этой формулы. На самом деле в этом разделе есть три разных доказательства. Первые два ограничивают формулу целым числом \ (n \), потому что на данный момент это все, что мы можем сделать на этом этапе. Третье доказательство относится к общему правилу, но предполагается, что вы прочитали большую часть этой главы.

Это единственные свойства и формулы, которые мы приведем в этом разделе. {- \, \, \ frac {7} {5}}} \ конец {выравнивание *} \]

Убедитесь, что вы умеете работать с дробными показателями.{\ sqrt 2 - 1}} \]

Ответ немного запутанный, и мы не будем сокращать показатели до десятичных знаков. Однако эта проблема не так уж и сложна, просто так выглядит изначально.

Существует общее правило относительно деривативов этого класса, которое вам необходимо выработать в привычку использовать. Когда вы видите радикалы, вы всегда должны сначала преобразовать радикал в дробную экспоненту, а затем максимально упростить показатели. Следование этому правилу сэкономит вам много горя в будущем.2}} \ right) \) Показать решение

В этой функции мы не можем просто дифференцировать первый член, дифференцировать второй член, а затем умножить два обратно вместе. Это просто не сработает. Мы обсудим это подробно в следующем разделе, поэтому, если вы не уверены, что верите в это, подождите немного, и мы скоро рассмотрим это, а также покажем вам пример того, почему это не сработает. 3}}} + 4 \) увеличивается, уменьшается или не изменяется в \ (х = - 2 \)? Показать решение

Мы знаем, что скорость изменения функции задается производной функции, поэтому все, что нам нужно сделать, это переписать функцию (чтобы иметь дело со вторым членом), а затем взять производную.4}}} \]

Обратите внимание, что мы переписали последний член производной обратно как дробь. Это не то, что мы делали до сих пор, и делается здесь только для того, чтобы помочь с оценкой на следующем этапе. Часто бывает проще провести оценку с положительными показателями.

Итак, вычислив производную, получаем

\ [f '\ left ({- 2} \ right) = 6 \ left (4 \ right) - \ frac {{900}} {{16}} = - \ frac {{129}} {4} = - 32,25 \]

Итак, при \ (x = - 2 \) производная отрицательна, и поэтому функция убывает при \ (x = - 2 \).

Пример 4 Найдите уравнение касательной к \ (f \ left (x \ right) = 4x - 8 \ sqrt x \) в точке \ (x = 16 \). 2} - 7t + 10} \ right) = 6 \ left ({t - 2 } \ right) \ left ({t - 5} \ right) \]

Причина факторинга производной станет очевидной в ближайшее время.

Теперь нам нужно определить, где производная положительна, а где отрицательна. Есть несколько способов сделать это. Мы предпочитаем следующий метод.

Поскольку многочлены непрерывны, мы знаем из теоремы о промежуточном значении, что если многочлен когда-либо меняет знак, то он должен сначала пройти через ноль. Итак, если бы мы знали, где производная равна нулю, мы бы знали единственные точки, где производная могла бы изменить знак .

Из факторизованной формы производной видно, что производная будет равна нулю при \ (t = 2 \) и \ (t = 5 \). Изобразим эти точки на числовой прямой.

Теперь мы видим, что эти две точки делят числовую прямую на три отдельные области. В каждой из этих областей мы, , знаем , что производная будет того же знака. Напомним, что производная может изменить знак только в двух точках, которые используются для разделения числовой линии на регионы.

Следовательно, все, что нам нужно сделать, это проверить производную в контрольной точке в каждой области, и производная в этой области будет иметь тот же знак, что и контрольная точка. Вот числовая линия с показанными контрольными точками и результатами.

Вот интервалы, в которых производная положительна и отрицательна.

\ [\ begin {array} {rl} {{\ mbox {positive:}}} & {- \ infty

Мы включили сюда отрицательные \ (t \), потому что мы могли бы, даже если они могут не иметь большого смысла для этого проблема.Как только мы это узнаем, мы также сможем ответить на вопрос. Объект перемещается вправо и влево в следующие интервалы.

\ [\ begin {array} {rl} {{\ mbox {движется вправо:}}} & {- \ infty

Убедитесь, что вы можете выполнять ту работу, которую мы только что проделали в этом примере. В течение следующих двух глав вас будут неоднократно просить определить, где функции являются положительными и / или отрицательными. Если вам нужен обзор или вы хотите попрактиковаться в решении подобных задач, вам следует заглянуть в раздел «Устранение неравенств» в «Обзоре алгебры / триггера».

Формулы первой производной функции

y является функцией y = y (x)
C = константа, производная (y ') константы равна 0

у = С => у '= 0

Пример: y = 5, y '= 0

Если y является функцией типа y = x n формула производной:

y = x n => y '= nx n-1

Пример: y = x 3 y '= 3x 3-1 = 3x 2
y = x -3 y' = -3x -4

Из верхней формулы для производной y 'функции y = x = x 1 можно сказать, что:

если y = x, то y '= 1

y = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x)... =>
y '= f' 1 (x) + f ' 2 (x) + f' 3 (x) ...

Эта формула представляет собой производную функции, которая является суммой функций.
Пример: если у нас есть две функции f (x) = x 2 + x + 1 и g (x) = x 5 + 7 и y = f (x) + g (x), тогда y '= f' (x) + g '(x) =>
y' = (x 2 + x + 1) '+ (x 5 + 7)' = 2x 1 + 1 + 0 + 5x 4 + 0 = 5x 4 + 2x + 1

Если функция является кратной из двух функций, производная определяется следующим образом:

у = f (х).g (x) => y '= f' (x) g (x) + f (x) g '(x)

Если f (x) = C (C - константа) и y = f (x) g (x)
y = Cg (x) y '= C'.g (x) + C.g' (x) = 0 + C.g '(x) = C.g' (x)

у = Cf (x) => y '= C.f' (x)

В разделе задач есть примеры следующих формул.

у = г '=
f '(x) g (x) - f (x) g' (x)
g 2 (x)

y = ln x => y '= 1 / x

y = e x => y '= e x

у = грех х => у '= соз х

y = cos x => y '= -sin x

y = tan x => y '= 1 / cos 2 x

y = детская кроватка x => y '= - 1 / sin 2 x

Когда функция является функцией функции: u = u (x)

y = f (u) => y '= f' (u).ты

Пример: давай y = sin (x 2 )
Здесь u = x 2 , f (u) = sin (u), производные f '(u) = cos (u), u' = 2x
y '= (sin (u))' ⋅u '= cos (x 2 ) ⋅2x = 2⋅x⋅cos (x 2 )

Проблемы с деривативами

1) f (x) = 10x + 4y, Какая первая производная f '(x) =?
Решение: Мы можем использовать формулу для производной функции, которая является суммой функции
f (x) = f 1 (x) + f 2 (x), f 1 (x) = 10x, f 2 (x) = 4y для функции f 2 (x) = 4y, y является константой, поскольку аргумент f 2 (x) равен x поэтому f ' 2 (x) = (4y)' = 0.Следовательно, производная функция f (x) равна: f '(x) = 10 + 0 = 10.


2) Вычислить производную f (x) =

Решение: У нас есть две функции: h (x) = x 10 и g (x) = 4,15 + cos x
, функция f (x) - это h (x), деленная на g (x). h '(x) = 10x 9 g' (x) = 0 - sin x = -sin x

f '(x) =
h '(x) .g (x) - h (x) .g' (x)
(g (x)) 2
f '(x) =
10x 9 (4.15 + cos x) - x 10 (-sin x)
(4,15 + cosx) 2
=
x 10 sin x + 10 (60 + cos x) x 9
(60 + cosx) 2

3) f (x) = ln (sinx). какова производная функции f (x)?
Решение: Для решения задачи необходимо использовать последнюю формулу. Как мы видим, f (x) является функцией функции функции f (x) = h (g (x)), где h = ln и g = sin x

Калькулятор производных
Подробнее о производных на математическом форуме

Регистрация на форуме

Все приемы и приемы

На этой странице вы найдете все, что вам нужно знать о решении производных.Моя цель на этой странице - сделать вас производной машиной для решения :-).

Я поместил методы, которые вам необходимо изучить, в таком порядке, чтобы вам было легче их понять. Эту страницу можно использовать как карту, которая поможет вам в изучении деривативов, или вы можете использовать ее для обзора всех методов решения деривативов.

Вы готовы? Поехали ...

Основные правила

Использовать определение

Самый простой способ вычисления производных - использовать определение.Это включает в себя расчет лимита. Рассчитывать производные таким образом - это навык.

Как и любой навык, вы улучшаете только с практикой. Мы подробно поговорим о том, как использовать определение на странице, вычисляя производную по определению.

Правило цепочки

Цепное правило - это самое важное правило для получения деривативов. С его помощью вы сможете найти производную практически любой функции.

Чтобы узнать о цепном правиле, перейдите на эту страницу: Цепное правило.

Правило продукта

Правило произведения позволяет находить производные функций, являющиеся продуктами других функций. Это очень полезный метод и одна из немногих формул, которые вам следует запомнить в математическом анализе.

Чтобы узнать о правиле продукта, перейдите на эту страницу: Правило продукта.

Правило частного

Правило частного - это просто частный случай правила произведения, поэтому вам не нужно запоминать другую формулу.Я покажу вам метод решения производных от частных с использованием правила произведения.

Чтобы узнать об этом методе, перейдите на эту страницу: Правило частного.

Неявная дифференциация

Неявное дифференцирование позволяет вам находить производные функций, выраженные забавным образом, который мы называем неявным. Ключ в понимании цепного правила.

Чтобы узнать о неявной дифференциации, перейдите на эту страницу: Неявная дифференциация.

Основные формулы

Производные тригонометрических функций

Чтобы начать изучение производных финансовых инструментов, нам понадобятся несколько формул.Две основные - это производные тригонометрических функций sin (x) и cos (x). Сначала нам нужно найти эти две производные, используя определение.

С их помощью в вашем наборе инструментов вы можете решать производные с использованием тригонометрических функций, используя другие инструменты, такие как правило цепочки или правило продукта.

Чтобы узнать о производных тригонометрических функций, перейдите на эту страницу: Производные от тригонометрических функций.

Производная от экспоненциальных функций

Мы добавляем еще одну функцию в список тех, от которых мы умеем брать производную.Это действительно полезно и красиво. Чтобы узнать о производной экспоненциальной функции, перейдите на эту страницу.

Производная логарифмов

Мы добавляем еще одну формулу к нашему списку, снова используя определение производной. Результат просто потрясающий.

Чтобы узнать о производной от натурального логарифма, перейдите на эту страницу: Производная от ln (x).

Производная обратных триггерных функций

Здесь мы узнаем о производной arcsin (x), arccos (x) и других.Эти формулы довольно сложно запомнить, поэтому неплохо знать, как их доказать самому себе. Перейти на эту страницу: производная от обратных триггерных функций.

Другие часто задаваемые формулы

Есть несколько формул для производных, которые меня очень часто спрашивают. Это:

  • Производная от tan (x): Это не так хорошо известно, как производные от sin (x) и cos (x). Для его вычисления мы используем правило частного.
  • Производная обратной функции: как вообще найти производную обратной функции?
  • Производная интеграла: вам нужно знать об интегралах, прежде чем вы это увидите.2 \ right) + \ dfrac {d} {dx} (\ cos x) = \,… $

    Правило продукта для производных инструментов

    \ begin {align *}
    \ dfrac {d} {dx} (fg) & = \ left (\ dfrac {d} {dx} f \ right) g + f \ left (\ dfrac {d} {dx} g \ right) \\ [8px] & = \ Big [\ text {(производное от 1-го)} \ times \ text {(2-е)} \ Big] + \ Big [\ text {(1-е)} \ times \ text {(производное от 2-го )}\Большой] \ end {align *}

    IV.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *