Проинтегрировать дифференциальное уравнение: Решение дифференциальных уравнений онлайн. Любые с подробным решением.

• by alexxlab
• Комментариев к записи Проинтегрировать дифференциальное уравнение: Решение дифференциальных уравнений онлайн. Любые с подробным решением. нет
• Разное

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово “обыкновенные”.

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(5) .

Уравнение (1) – четвёртого порядка, уравнение (2) – третьего порядка, уравнения (3) и (4) – второго порядка, уравнение (5) – первого порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) – производной второго порядка и функции; в уравнении (4) – независимой переменной; в уравнении (5) – функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть первообразная для , т. е.

.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

,

,

.

В результате мы получили общее решение –

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C, а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .

Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия

.

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

.

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть , тогда .

Требуется взять dx и теперь – внимание – делаем это по правилам дифференцирования сложной функции, так как

Находим интеграл:

Возвращаясь к переменной x, получаем:

.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления, что производная может быть записана также в виде . В результате уравнение приобретает вид

,

то есть, в нём в некотором виде появился x.

Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции выткают следующие пропорции:

,

то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду

,

после чего интегрируем обе части уравнения:

.

Оба интеграла – табличные, находим их:

и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:

.

Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.

Всё по теме “Дифференциальные уравнения”

Поделиться с друзьями

Решение дифференциальных уравнений | Онлайн калькулятор

Данный онлайн калькулятор позволяет вычислять дифференциальные уравнения практически любого типа и порядка: линейные дифференциальные уравнения, с разделяемыми или неразделяемыми переменными, уравнения Бернулли и т.д. При этом у вас есть возможность решать уравнения в общем виде или получить частное решение соответствующее введенным вами начальным (граничным) условиям.

По умолчанию в уравнении функция y является функцией от переменной x. Однако вы можете задать своё обозначение переменной, если напишете, например, y(t) в уравнении, то калькулятор автоматически распознает, что y есть функция от переменной t.

sin x: sin[x] или Sin[x]
tg: tan[x] или Tan[x]
ctg: cot[x] или Cot[x]
sec x: sec[x] или Sec[x]
cosec x: csc[x] или Csc[x]
arccos x: ArcCos[x]
arcsin x: ArcSin[x]
arctg x: ArcTan[x]
arcctg x: ArcCot[x]
arcsec x: ArcSec[x]

arccosec x: ArcCsc[x]
ch x: cosh[x] или Cosh[x]
sh x: sinh[x] или Sinh[x]
th x: tanh[x] или Tanh[x]
cth x: coth[x] или Coth[x]
sech x: sech[x] или Sech[x]
cosech x: csch[x] или Csch[е]
areach x: ArcCosh[x]
areash x: ArcSinh[x]
areath x: ArcTanh[x]

areacth x: ArcCoth[x]
areasech x: ArcSech[x]
areacosech x: ArcCsch[x]

Смотрите также

примеры решения диффуров (ДУ) в математике

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути 

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных  уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения  определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и  взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала  перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все “игреки”, а в другой – “иксы”:

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему “Как решать дифференциальные уравнения”:

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Введение

Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах

– это уравнение вида:
(1)   ,
где левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) от переменных x, y:
.
При этом   .

Если найдена такая функция U(x, y), то уравнение принимает вид:
dU(x, y) = 0.
Его общий интеграл:
U(x, y) = C,
где C – постоянная.

Если дифференциальное уравнение первого порядка записано через производную:
,
то его легко привести к форме (1). Для этого умножим уравнение на dx. Тогда   . В результате получаем уравнение, выраженное через дифференциалы:
(1)   .

Свойство дифференциального уравнения в полных дифференциалах

Для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
(2)   .

Доказательство

Далее мы полагаем, что все функции, используемые в доказательстве, определены и имеют соответствующие производные в некоторой области значений переменных x и y. Точка x₀, y₀ также принадлежит этой области.

Докажем необходимость условия (2).
Пусть левая часть уравнения (1) является дифференциалом некоторой функции U(x, y):
.
Тогда
;
.
Поскольку вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, то
;
.
Отсюда следует, что   . Необходимость условия (2) доказана.

Докажем достаточность условия (2).
Пусть выполняется условие (2):
(2)   .
Покажем, что можно найти такую функцию U(x, y), что ее дифференциал:
.
Это означает, что существует такая функция U(x, y), которая удовлетворяет уравнениям:
(3)   ;
(4)   .
Найдем такую функцию. Проинтегрируем уравнение (3) по x от x₀ до x, считая что y – это постоянная:
;
;
(5)   .
Дифференцируем по y считая, что x – это постоянная и применим (2):

.
Уравнение (4) будет выполнено, если
.
Интегрируем по y от y₀ до y:
;
;
.
Подставляем в (5):
(6)   .
Итак, мы нашли функцию, дифференциал которой
.
Достаточность доказана.

В формуле (6), U(x₀, y₀) является постоянной – значением функции U(x, y) в точке x₀, y₀. Ей можно присвоить любое значение.

Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение:
(1)   .
Чтобы определить, является ли это уравнение в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение условия (2):
(2)   .
Если оно выполняется, то это уравнение в полных дифференциалах. Если нет – то это не уравнение в полных дифференциалах.

Пример

Проверить, является ли уравнение в полных дифференциалах:
.

Решение

Здесь
,   .
Дифференцируем по y, считая x постоянной:


.
Дифференцируем по x, считая y постоянной:


.
Поскольку:
,
то заданное уравнение – в полных дифференциалах.

Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Метод последовательного выделения дифференциала

Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
du ± dv = d(u ± v);
v du + u dv = d(uv);
;
.
В этих формулах u и v – произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.

Пример 1

Решить уравнение:
.

Решение

Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Преобразуем его:
(П1)   .
Решаем уравнение, последовательно выделяя дифференциал.
;
;
;
;

.
Подставляем в (П1):
;
.

Ответ

.

Метод последовательного интегрирования

В этом методе мы ищем функцию U(x, y), удовлетворяющую уравнениям:
(3)   ;
(4)   .

Проинтегрируем уравнение (3) по x, считая y постоянной:
.
Здесь φ(y) – произвольная функция от y, которую нужно определить. Она является постоянной интегрирования. Подставляем в уравнение (4):
.
Отсюда:
.
Интегрируя, находим φ(y) и, тем самым, U(x, y).

Пример 2

Решить уравнение в полных дифференциалах:
.

Решение

Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Введем обозначения:
,   .
Ищем Функцию U(x, y), дифференциал которой является левой частью уравнения:
.
Тогда:
(3)   ;
(4)   .
Проинтегрируем уравнение (3) по x, считая y постоянной:
(П2)  
.
Дифференцируем по y:

.
Подставим в (4):
;
.
Интегрируем:
.
Подставим в (П2):

.
Общий интеграл уравнения:
U(x, y) = const.
Объединяем две постоянные в одну.

Ответ

.

Метод интегрирования вдоль кривой

Функцию U, определяемую соотношением:
dU = p(x, y) dx + q(x, y) dy,
можно найти, если проинтегрировать это уравнение вдоль кривой, соединяющей точки (x₀, y₀) и (x, y):
(7)   .
Поскольку
(8)   ,
то интеграл зависит только от координат начальной (x₀, y₀) и конечной (x, y) точек и не зависит от формы кривой. Из (7) и (8) находим:
(9)   .
Здесь x₀ и y₀ – постоянные. Поэтому U(x₀, y₀) – также постоянная.

Пример такого определения U был получен при доказательстве свойства уравнения в полных дифференциалах:
(6)   .
Здесь интегрирование производится сначала по отрезку, параллельному оси y, от точки (x₀ , y₀) до точки (x₀ , y) . Затем интегрирование производится по отрезку, параллельному оси x, от точки (x₀ , y) до точки (x, y) .

В более общем случае, нужно представить уравнение кривой, соединяющей точки (x₀ , y₀) и (x, y) в параметрическом виде:
x₁ = s(t₁);   y₁ = r(t₁);
x₀ = s(t₀);   y₀ = r(t₀);
x = s(t);   y = r(t);
и интегрировать по t₁ от t₀ до t.

Наиболее просто выполняется интегрирование по отрезку, соединяющим точки (x₀ , y₀) и (x, y). В этом случае:
x₁ = x₀ + (x – x₀) t₁; y₁ = y₀ + (y – y₀) t₁;
t₀ = 0;   t = 1;
dx₁ = (x – x₀) dt₁; dy₁ = (y – y₀) dt₁.
После подстановки, получается интеграл по t от 0 до 1.
Данный способ, однако, приводит к довольно громоздким вычислениям.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 10-08-2012   Изменено: 02-07-2015

Решение дифференциальных уравнений онлайн

x

y

π

e

1

2

3

÷

триг. “>ab

ab

exp

4

5

6

×

стереть

(

)

|a|

ln

7

8

9

–

↑

↓

√

3√

C

loga

0

.

↵

+

←

→

Данный калькулятор по решению диф. уравнений онлайн построен на основе системы WolframAlpha Mathematica. Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC!

Полезные ссылки:
Типы дифференциальных уравнений и методы их решения

Решить дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором свзяны между собой переменные, постоянные коэффициенты, искомая функция и производные от функции любого порядка. При этом максимальный порядок производной функции, который присутствует в уравнении, определяет порядок всего дифференциального уравнения. Решить диф уравнение – это определить искомую функцию, как зависимость от переменной.

Современные компьютеры позволяют решать сложнейшие диф уравнения численно. Нахождение же аналитического решения является сложной задачей. Существует множество типов уравнений и для каждого теория предлагает свои методы решения. На сайте matematikam.ru диф уравнения можно вычислять в режиме онлайн, причём практически любого типа и порядка: линейные дифференциальные уравнения, с разделяемыми или неразделяемыми переменными, уравнения Бернулли и т. д. При этом у вас есть возможность решать уравнения в общем виде или получить частное решение соответствующее введенным вами начальным (граничным) условиям. Мы предлагаем для решения заполнить два поля: само собственно уравнение и при необходимости – начальные условия (задачу Коши) – то есть информацию о граничных условиях искомой функции. Ведь как известно, диф уравнения имеют бесконечное количество решений, поскольку в ответе присутствуют константы, которые могут принимать произвольное значение. Задав задачу Коши, мы из всего множества решений выбираем частные.

Данный онлайн калькулятор разработан компанией WolframAlpha и позволяет решать как стандартные дифференциальные уравнения, так и уравнения, не имеющие стандартного подхода для решения.

Похожие сервисы:

Дифференциальные уравнения

Одной из дисциплин, входящих в курс Высшей математики, является курс дифференциальных уравнений, решение которых у студентов традиционно вызывают трудности. В данной статье постараюсь показать примеры решения некоторых видов таких уравнений.

Итак, дифференциальным уравнением (иногда, студенты называют их любя – “дифуры”) называют уравнение, которое содержит неизвестные функции, их аргументы и производные от неизвестных функций по этим аргументам (или дифференциалы неизвестных функций). 

Подавляющее большинство задач в прикладных науках, если формулируют их на языке математики, приводят именно к различным дифференциальным уравнениям. Мы рассматриваем лишь обычные дифференциальные уравнения, одной из характерных особенностей которых есть то, что неизвестные функции в этих уравнениях зависят лишь от одной переменной.

Общий вид обычного дифференциального уравнения n – го порядка такой: F(x, y, y’,…, y^(n-1), y⁽ⁿ⁾) = 0, где x – независимая переменная, y – неизвестная функция переменной x, а y, y’,…,y⁽ⁿ⁾ – производные неизвестной функции по переменной x.

Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, которая входит в это уравнение.

Решением дифференциального уравнения называют функцию y = φ(x), которая при подстановке в уравнение на место неизвестной функции превращает это уравнение в тождество. Решение дифференциального уравнения, заданное неявным соотношением, Ф(x,y) = 0 называют интегралом этого уравнения.

В этой статье будем употреблять термин проинтегрировать дифференциальное уравнение, которое означает найти все его решения. 

§1. Дифференциальное уравнение I-го порядка 

Общий вид дифференциального уравнения I-го порядка выглядит следующим образом:

F(x, y, y’) = 0 (1.1)

Если соотношение (1.1) решить относительно производной, как вариант дифференциала, то получим уравнение такого вида:

y’ = f(x, y) (1.2)

Такое уравнение называют дифференциальным уравнением, решенным относительно производной. Дифференциальное уравнение I-го порядка имеет, вообще говоря, не одно, а бесконечное множество число решений. Чтобы из этого множества решений выделить определенное решение, задают значение неизвестной функции y = y₀  при некотором значении аргумента x = x₀.

Условие, что при x = x₀ функция упринимает заранее заданное значение y₀, называют начальным условием. Мы это условие запишем в виде 

y|_x=x0 = y_{0или y(x0) = y0 (1.3)}

Проблему нахождения решения дифференциального y’ = f(x,y) уравнения, которое удовлетворяет начальному условию y(x₀) = y₀, называют задачей Коши.

Теорема 1.1. Если в уравнении y’ = f(x,y)  функция f(x,y)  и ее частная производная f’_y(x,y)  непрерывны в некоторой области G плоскости Oxy, которая содержит точку (x₀,y₀), то существует и при этом единственное решение y=φ(x) такого уравнения, которое удовлетворяет условию y(x₀) = y₀.

Введем теперь еще несколько основных определений.

Определение 1.1. Общим решением (в дальнейшем, для краткости ОР) дифференциального уравнения I-го порядка называется функция

y = φ(x, C) (1.4)

которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет таким условиям:

1) она удовлетворяет уравнению при любом конкретном значении постоянной С;

2) каким бы не было начальное условие y(x₀) = y₀, всегда можно найти такое значение С = С₀, так что функция y= φ(x, C₀) будет удовлетворять этому начальному условию.

Замечание. При построении общего решения “дифура” очень часто приходят к соотношению вида

Ф(x, y, c) = 0 (1.5)

не решаемому относительно y.

Равенство Ф(x, y, c) = 0, которое неявно задает общее решение (в дальнейшем, для краткости ОР), называют общим интегралом (в дальнейшем, для краткости ОИ) дифференциального уравнения.

Определение 1.2. Частным решением дифференциального уравнения I-го порядка называется функцияy= φ(x, C₀), которую получаем из его общего решения y= φ(x, C) при определенном значении C = C₀.

Соотношение Ф(x, y, C₀) = 0называют частным интегралом дифференциального уравнения I-го порядка. 

§2. Дифференциальные уравнения I-го порядка с разделяющимися переменными

Определение 2.1. Дифференциальное уравнение I-го порядка вида

φ(y)dy = f(x)dx (2.1)

называется уравнением с переменными, которые можно разделить.

Непосредственно (дифференцированием) устанавливается, что ОИ уравнения (2.1) является соотношение

∫ φ(y)dy = ∫ f(x)dx (2.2)

где – C=const.

Пример 2.1. Решить “дифур” 2y²dy = 3xdx.

Решение. Найдем неопределенные интегралы от правой и, конечно же, левой части

Легко увидеть, что это решение, при желании, можно записать в явной форме , но обычно его оставляют в той форме, в которой получили, кое-что упростив получим 4y³ = 9x² + C.

Пример 2.2. Решить “дифур”  

Решение. Найдем неопределенные интегралы от правой и, конечно же, левой части

Поскольку C=const, то зачастую в такой форме решения для удобства записи, вместо C пишут ln |C|, а дальше выражение потенцируют

ln|y – 1| = ln|x| + ln C

ln|y – 1| = ln|Cx|

y – 1 = Cx

y = Cx + 1. 

Определение 2.2. Дифференциальное уравнение I-го порядка называется уравнением с переменными, которые можно разделить, если его правая часть является произведением двух функций, одна из которых зависит лишь от аргумента х, а вторая от неизвестной функции у:

Здесь мы считаем, что функция φ(x) определена и непрерывна для всех x ϵ (a,b) а функция ѱ(y) определена и непрерывна и не равна нулю для всех y ϵ (c,d).

Если переписать уравнение (2.2) в виде  , то левая часть зависит только от переменной у, а правая часть зависит только от переменной х, то есть переменные отделены. Тогда общий интеграл запишется в виде

,

где С=const.

Пример 2.3. Решить “дифур”

Решение. Перед нами уравнение с переменными, которые можно разделить,. Запишем производную в виде соотношения дифференциалов: y’ = dy/dx, умножим обе части уравнения на dx  и разделим на y lny. В результате проделанной замены и “перемещения” переменных получим уравнение, в котором разделены переменные

После вычисления интегралов, имеем

y= e^Cx  ОР искомого уравнения.

Пример 2.4. Эффективность рекламы.

Пусть фирма продает продукцию B, про которую на момент времени tиз числа возможных клиентов знает лишь xклиентов. Далее, для увеличения продажи продукции, были сделаны рекламные объявления на радио и телевидении. Далее информация о товаре распространяется между клиентами через общение. После рекламы скорость изменения числа клиентов, которые знают о продукции B, пропорциональная не только числу клиентов, которые знают о товаре, но и числу клиентов, которые еще не знают.

Если допустить, что счет времени начинается после рекламных объявлений, когда о продукции узнало N/ɣ  человек, то получаем дифференциальное уравнением с переменными, которые можно разделить

При таких начальных условиях: x = N/ɣ , если t = 0. Здесь k– положительной коэффициент пропорциональности.

Интегрируя уравнение, имеем:

В экономической литературе это выражение называют уравнением логистической кривой.

С учетом начальных условий, получим

Замечание. Уравнение с переменными, которые можно разделить, можно также задать в симметричной относительно x и y дифференциальной форме

M(x) · N(y)dx+ P(x) · Q(y)dy=0 (2.4)

где функции M(x), P(x), N(y), Q(y) непрерывны соответственно в интервалах x ϵ (a,b), y ϵ (c,d).

Для нахождения решений необходимо разделить правую, (желательно, конечно) и левую части на произведение: N(y) · P(x).

и интегрируют полученное так соотношение

Если для x ϵ (a,b), y ϵ (c,d) функции P(x) и N(y) отличающиеся от нуля, то соотношение (2.6) является ОИ уравнения (2.4).

Пример 2.5. Решить “дифур” x(1 + y²)dx– y(1 + x²)dy = 0

Решение. Поступим также, как и в серии предыдущих примеров (разделим обе части уравнения на (1 + y²) · (1 + x²)

Интегрируя каждое из слагаемых (для этого не обязательно один из них переносить в правую часть), приравниваем сумму первообразных постоянной, которую обозначаем через ½ ln C, имеем:

Пример 2.6. Решить “дифур” y’ + 2x²y’ + 2xy– 2x = 0.

Решения. Представим производные в виде соотношения dy/dxи далее все члены уравнения домножим на dx:

Сгруппируем члены с разными дифференциалами и вынесем за скобки дифференциалы.

(1 + 2x²)dx +2x(y– 1)dx = 0

В результате деления на (1 + 2x²) (y– 1). Получим:

Интегрируем каждое из слагаемых:

Сумму первообразных приравниваем постоянной:

тогда

– ОИ уравнения.

В следующей своей статье я расскажу Вам об Однородных дифференциальных уравнениях I-го порядка и о Линейных дифференциальных уравнениях I-го порядка, уравнении Бернулли.

Если у Вас есть желание более детально изучить данный материал, научиться решать задания по данным разделам, записывайтесь на мои занятия на сайте. Буду рад Вам помочь. Онлайн репетитор Андрей Зварыч.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Дифференциальные уравнения, общие понятия – Доктор Лом

В общем случае определение дифференциального уравнения может выглядеть так:

Дифференциальным уравнением называется равенство между функцией и ее производной или дифференциалом.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного аргумента. Например:

у’ = f(x) (539.1)

Напомню, функциональное уравнение может иметь следующий вид:

у = f(x) (538.1)

Дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных, если искомая функция зависит от нескольких аргументов. Например:

у’ = f(x₁,x₂) или у’ = f(x,u) (539.2)

где х₁, х₂ или х, u – возможные обозначения для различных аргументов функции.

Порядком дифференциального уравнения считается порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например уравнение (539.1) является уравнением первого порядка. Уравнение второго порядка может иметь вид:

y” = f(x) (539.3)

Решением дифференциального уравнения является функция, подставление которой вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество. Другими словами уравнение становится равенством.

А теперь эти общие математические понятия (кстати тут приведены далеко не все основные понятия) попробуем описать простым человеческим языком, но начать придется издалека.

Производная функции

Мы живем в несовершенном, постоянно изменяющемся мире. Все течет, все изменяется, как подметил еще Гераклит. Однако в древности были и другие мыслители, которые в отличие от Гераклита пытались этот мир как-то понять и оценить. Так далеко в историю мы заглядывать не будем, хотя предпосылки к дифференциальному исчислению следует искать именно там, а ограничимся простыми и наглядными примерами:

Пример 1

Мы вышли из пункта А в пункт Б и находились в пути 4 часа, каждый час мы проходили по 2 километра. Вопрос: какое расстояние между пунктами А и Б?

Вообще это задачка для 3-4 класса начальной школы и решить ее вроде бы не сложно (потому я ее и выбрал): достаточно сложить все расстояния, пройденные за каждый час, а так как эти расстояния одинаковые, то можно еще больше упростить задачу, умножив на 4 расстояние, пройденное за один промежуток времени. Таким образом расстояние между пунктами А и Б составляет:

2 км · 4 = 8 км (539.4)

А между тем условия задачи можно рассматривать и по другому, т.е. как зависимость пройденного расстояния от времени. В этом случае у нас время -независимая переменная t или аргумент функции, а пройденное расстояние – значение функции в тот или иной момент времени или переменная s. Тогда условия задачи соответствуют следующему функциональному уравнению:

s = f(t) = 2t (539.5)

а также графику этой функции:

Рисунок 539.1. График функции f(t) = 2t.

Так если по оси t откладывать промежутки времени Δt (ч), которое мы были в пути, а по оси s – преодоленное за эти промежутки времени расстояние Δs (км), то график указанной функции будет иметь такой вид, как показано на рисунке 539.1. В общем случае используются более привычные оси х и у, соответственно рассматриваются функции вида y = f(x), но сути дела это никак не меняет.

Решая уравнение (539.5) мы можем определить не только общее расстояние, преодоленное за 4 часа пути, но и в любой интересующий нас момент времени. Например, нас интересует, какое расстояние мы прошли за 1.5 часа. Согласно уравнению (539.5) это расстояние составит 2·1.5 = 3 километра.

А если нас интересует не расстояние, преодоленное к тому или иному моменту времени, а скорость движения? Можем ли мы определить эту скорость на основе имеющихся данных?

Оказывается можем, потому что скорость – это тоже функция, которая в свою очередь также зависит от времени.

Так как каждый час мы преодолевали по 2 км, то отсюда можно сделать вывод, что скорость нашего движения была постоянной, тогда по давно известному нам уравнению, описывающему движение с постоянной скоростью:

v = s/t = 8/4 = 2 км/ч (539.6)

В данном случае, так как скорость постоянная, не имеет значения, на каком временном промежутке мы эту скорость определяем. Тем не менее рассмотрим данную ситуацию с точки зрения математики.

Временные промежутки, когда засекалось пройденное расстояние, мы обозначим как Δt = 1, соответственно t = ΣΔt = 1 + 1 + 1 + 1 = 4. Расстояния, пройденные за эти промежутки времени обозначим как Δs = 2. На графике функции это будет выглядеть так:

Рисунок 539.2

С точки зрения математики временные промежутки Δt – это приращение аргумента функции:

Δt = t – t₀ (539.7)

Соответственно расстояния, пройденные за рассматриваемый промежуток времени – это приращение функции:

Δs = Δf(t) = f(t) – f(t₀) (539.8)

А так как использовать греческую литеру Δ не всегда удобно (в частности мне для этого приходится заходить в отдельный редактор текста, а наборщикам в типографиях вставить эту литеру было еще сложнее), то часто приращение значения искомой функции и приращение аргумента функции обозначают как ds и dt.

Тогда формулу определения скорости можно записать так:

v = ds/dt (539.9)

Таким образом мы с одной стороны вроде бы просто разделили расстояние на время – задача для 3-4 класса, а с другой стороны мы определили производную функции s = f(t), соответствующим образом ее продифференцировав, а это уже задача курса алгебры, а то и высшей математики.

Возможно и не стоило это так подробно расписывать, но на мой взгляд это очень важно, чтобы показать, что в дифференциальном исчислении нет ничего трудного, если рассматривать его на соответствующих примерах.

Итак скорость v является производной функции s = f(t) = 2t. Дифференциальное уравнение в этом случае будет выглядеть так:

v = s’ = f'(t) (539.10.1)

v = (2t)’ = 2 (539.10.2)

Но и это еще не все, на основании имеющихся данных: времени в пути и расстояний, преодоленных за 1 час, мы можем определить ускорение нашего движения.

Так как скорость нашего движения оставалась постоянной, соответственно dv = 0, то само собой и ускорения никакого не было, ни положительного ни отрицательного. Другими словами ускорение нашего движения составляло а = 0 км/ч².

На языке математики это будет выглядеть так:

а = v’ = dv/dt = s” = d²s/dt² (539.11.1)

a = 0/1 = (2t)” = (2)’ = 0 (539.11.2)

Т.е. в данном случае для определения ускорения нужно определить первую производную функции скорости (уравнения, выражающего зависимость скорости от времени) или вторую производную функции расстояния (уравнения, выражающего зависимость пройденного расстояния от времени).

На основании вышеизложенного мы можем дать следующее предварительное определение производной:

Производная – это скорость изменения функции

В рассмотренном выше примере скорость движения – это скорость изменения функции расстояния, а ускорение – это скорость изменения функции скорости. Если бы мы все 4 часа сидели на месте, то и расстояние, пройденное нами, было бы равно нулю, и скорость и ускорение, но даже для такого случая можно записать соответствующие дифференциальные уравнения:

s = f(t) = 0

v = s’ = 0

a = v’ = s” = 0

Однако в жизни гораздо чаще встречаются функции, даже третьи производные которых не равны нулю.

Рассмотрим другой пример все с тем же движением, на этот раз чуть более сложный.

Пример 2

По ровной наклонной поверхности скатывается шар. Начальная скорость движения равна v_o = 0. Определить пройденное шаром за 4 секунды расстояние, скорость после 1, 2, 3 и 4 секунд движения и постоянное ускорение движения, если за первую секунду шар преодолел расстояние 3 м, за вторую – 9 м, за третью – 15 м, за четвертую – 21 м.

С определением пройденного расстояния по прежнему проблем нет: достаточно сложить расстояния, которые преодолел шар за каждую секунду s = ΣΔs = 3 + 9 + 15 + 21 = 48 метров. А вот скорость и ускорение в данном случае определить не так просто. Тем не менее попробуем.

Если воспользоваться полученными раннее знаниями, то вроде бы в первый промежуток времени скорость должна быть равна:

v₁ = ds₁/dt₁ = 3/1 = 3 м/с (539.12)

Вот только в данном случае у нас скорость – изменяющаяся величина, зависящая от времени, поэтому результат полученный при решении уравнения (539.12) можно рассматривать лишь как среднюю скорость движения на первом участке. Тогда более правильно уравнение скорости на первом участке записать так:

v_1ср = ds₁/dt₁ = 3/1 = 3 м/с (539.12.2)

Подобным образом мы достаточно легко можем определить среднюю скорость на всех участках пути, и она составит v_2ср = 9 м/с, v_3ср = 15 м/с, v_4ср = 21 м/с, но в данном случае нас интересует не среднее значение функции скорости на рассматриваемом участке, а значение функции скорости во вполне определенной точке, т.е. после 1, 2, 3 и 4 секунд движения. Как это сделать?

По условиям задачи ускорение – производная от скорости – является постоянной величиной, т.е. скорость изменения скорости будет постоянной. В этом случае значение средней скорости является средним арифметическим от начальной и конечной скорости на рассматриваемом участке:

v_1ср = (v_o + v₁)/2 = 3 м/с (539.13.1)

тогда при v_o = 0

v₁ = 3·2 = 6 м/с (539.13.2)

Соответствующим образом мы можем определить значения скорости и в остальных точках, например (6 + v₂)/2 = 9, v₂ = 9·2 – 6 = 12 м/с; (12 + v₃)/2 = 15, v₃ = 15·2 – 12 = 18 и так далее, а теперь переведем полученные данные на язык высшей математики. Мы видим, что v₁ = 6·1, v₂ = 6·2 = 12, v₃ = 6·3 = 18, т.е. значение скорости явно зависит от времени, соответственно уравнение скорости мы можем записать следующим образом:

v = s’ = 6t (539.14)

Соответственно ускорение движения шара составит:

a = v’ = (6t)’ = 6 м/с² (539.15)

Между тем, если бы нам были заданы меньшие значения временных промежутков и соответственно меньшие значения пройденных расстояний за эти промежутки времени, например при dt₁ = 1 секунда, ds₁ = 3 м, dt₂ = 0.1 секунды и ds₂ = 0.63 м, то средняя скорость на рассматриваемом втором участке составила бы v_2ср = ds/dt = 0.63/0.1 = 6.3 м/с, а скорость в  в точке t₂: v_2сp = (6 + v₂)/2 = 6.3, v₂ = 12.6 – 6 = 6.6 м/с. Т.е. закономерность изменения значения скорости никуда не девается, тем не менее, чем меньше рассматриваемый временной промежуток dt, тем меньше разница между значением средней скорости изменения функции и скоростью изменения функции в рассматриваемой точке. Из этого можно сделать еще один очень важный вывод:

Скорость изменения функции может быть разная. Чем меньше приращение аргумента функции dt, тем ближе значение среднего изменения скорости к изменению скорости функции в рассматриваемой точке.

На основании этого можно сформулировать более полное определение производной функции:

Производная функции в точке – это скорость изменения функции в рассматриваемой точке при стремлении приращения аргумента функции к нулю (Δt → 0)

Поэтому иногда производную называют мгновенной скоростью изменения функции. В нашем случае уравнение производной будет выглядеть так:

 (539.16)

На данном этапе вид формулы (539.16) нас уже не пугает (во всяком случае мне так кажется). Совсем другое дело, когда подобная формула приводится в начале темы, посвященной рассмотрению производных функции.

Дифференциал (первообразная) функции

С задачей определения скорости и ускорения в примере 2 мы вроде бы справились и даже составили соответствующие уравнения (539.14) и (539.15). Но иногда требуется решить и обратную задачу – например определить исходное уравнение, описывающее зависимость перемещения от времени.

Если скорость является производной функции расстояния v = s’, то расстояние при этом является первообразной (дифференциалом) функции скорости s = ∫v. Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием. Так, чтобы получить уравнение зависимости пройденного расстояния от времени, нам нужно проинтегрировать уравнение скорости. При этом уравнение расстояния более правильно записывать так

s = ∫vdt (539.17)

В общем случае интегрирование может быть более сложной задачей, чем дифференцирование, потому что функции бывают не только степенными, как в данном примере, но и тригонометрическими, обратными тригонометрическими  и т.п., но пока нас интересует, как проинтегрировать простую степенную функцию вида f(t) = 6t.

Вообще-то мы могли сразу построить график, отражающий зависимость пройденного расстояния от времени по данным примера 2, тем не менее сделаем это сейчас, а заодно построим график для уравнений скорости и ускорения и расположим их в такой последовательности:

Рисунок 539.3. Графики степенных функции а) а= 6, б) v = at, в) s = at²/2.

Как видим, график, отражающий зависимость ускорения от времени, у нас самый простой. Ускорение постоянное, а = 6 м/с² и от времени никак не зависит. Тем не менее, зная ускорение, мы можем определить скорость движения в любой точке времени. Так из уравнений (539.14) и (539.15) следует, что:

v = 6t = at (539.14.2)

Соответственно решая это уравнение, мы можем определить скорость в любой момент времени.

Но если рассматривать это действие с точки зрения геометрии, то мы, умножая ускорение на время, определяем площадь прямоугольника со сторонами а = 6 и t. При t = 4 площадь прямоугольника составит 6·4 = 24, точнее 24 м/с так как мы все-таки определяем скорость.

Если мы построим график, отражающий зависимость изменения скорости от времени, то увидим, что на этом графике значения скорости в той или иной момент времени соответствуют площадям прямоугольника со сторонами а = 6 и t.

Получается, что если определить площадь треугольника со сторонами v и t, то это и будет расстояние, преодоленное к тому или иному промежутку времени:

s = vt/2 = at²/2 = 6t²/2 = 3t² (539.18)

Уравнение (539.18) можно записать как дифференциальное:

s = ∫6tdt = 3t² (539.18.2)

Если график, показанный на рисунке 539.3.в) также является графиком для производной некоторой функции, то для определения первообразной этой функции нам также следовало бы найти площадь фигуры, ограниченной квадратной параболой.

Сделать это в принципе не сложно, так как площадь фигуры, очерченной квадратной параболой таким образом, как показано на рисунке 539.3.в) в 3 раза меньше площади прямоугольника со сторонами s и t, соответственно S = st/3 = 3t²t/3 = t³ и эту процедуру можно повторять до бесконечности.

Почему площадь фигуры, ограниченной квадратной параболой именно в 3 раза меньше, чем площадь прямоугольника, а площадь фигуры ограниченной кубической параболой в 4 раза меньше площади прямоугольника, я здесь объяснять не буду, тем не менее такая закономерность существует и в математическом выражении выглядит так:

∫aхⁿdx = axⁿ⁺¹/n + C (539.19)

В данном случае С – это некоторая постоянная величина. Как мы выяснили, при дифференцировании постоянные величины обращаются в нуль, как пример – уравнение (539.11.2), соответственно решая обратную задачу, т.е. интегрируя функцию, мы допускаем, что некая постоянная величина в первообразной функции была.

Например в общем случае уравнение скорости (539.14.2) должно выглядеть так:

v = v_o + at (539.14.3)

где v_o – это и есть некая постоянная величина. В нашем случае по условиям задачи v_o = 0, поэтому мы использовали сокращенную форму записи.

Определенный интеграл

В общем случае график функции может выглядеть как угодно, например так:

Рисунок 539.4

В этом случае сразу определить площадь фигуры, ограниченной графиком функции, не получится. Но мы можем разбить эту фигуру на участки шириной Δх и определить среднее значение у для каждого участка. Теперь определить площади трех прямоугольников большого труда не составит, вот только суммарная площадь прямоугольников не будет равна площади фигуры, ограниченной графиком функции:

S ≈ ∑y_iΔx (539.20)

Но чем больше будет у нас прямоугольников с шириной Δх, т.е, чем меньше будет значение Δх, тем точнее будет значение у, а значит и суммарная площадь прямоугольников будет ближе к площади фигуры, ограниченной графиком функции.

При интегрировании, как и при дифференцировании для получения более точного результата приращение аргумента функции должно стремиться к нулю (maxΔx → 0).

Из этого можно сделать следующий вывод:

Если существует предел суммы, определяемой по формуле (539.20) вне зависимости от количества прямоугольников и при стремлении ширины прямоугольников к нулю, то такой предел называется определенным интегралом, а суммы, определяемые по формуле (539.20) – интегральными суммами.

Так как на рисунке 539.4 показан график непрерывной функции, то такая функция является интегрируемой и для определения дифференциала функции используется определенный интеграл. При этом 0 и 3 – это пределы интегрирования.

Дифференциальные уравнения – Линейные уравнения

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-1: Линейные дифференциальные уравнения

Первым частным случаем дифференциальных уравнений первого порядка, который мы рассмотрим, является линейное дифференциальное уравнение первого порядка.В этом случае, в отличие от большинства случаев первого порядка, которые мы рассмотрим, мы действительно можем вывести формулу для общего решения. Общее решение выводится ниже. Однако мы бы посоветовали вам не запоминать саму формулу. Вместо того, чтобы запоминать формулу, вы должны запомнить и понять процесс, который я собираюсь использовать для получения формулы. На самом деле с большинством проблем легче справиться, используя процесс, а не формулу.

Итак, давайте посмотрим, как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка.Помните, когда мы проходим этот процесс, цель состоит в том, чтобы прийти к решению в форме \ (y = y \ left (t \ right) \). Иногда легко упустить из виду цель, когда мы впервые проходим через этот процесс.

Чтобы решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка, мы ДОЛЖНЫ начать с дифференциального уравнения в форме, показанной ниже. Если дифференциальное уравнение не в такой форме, то процесс, который мы собираемся использовать, не сработает.

Где и \ (p (t) \), и \ (g (t) \) – непрерывные функции.Напомним, что быстрое и грязное определение непрерывной функции состоит в том, что функция будет непрерывной при условии, что вы можете рисовать график слева направо, даже не беря в руки карандаш / ручку. Другими словами, функция является непрерывной, если в ней нет дыр или разрывов.

Теперь мы собираемся предположить, что где-то в мире существует некоторая магическая функция, \ (\ mu \ left (t \ right) \), называемая интегрирующим коэффициентом . На этом этапе не беспокойтесь о том, что это за функция и откуда она взялась.Мы выясним, что такое \ (\ mu \ left (t \ right) \), когда у нас будет формула для общего решения.

Итак, теперь, когда мы предположили существование \ (\ mu \ left (t \ right) \), умножаем все в \ (\ eqref {eq: eq1} \) на \ (\ mu \ left (t \ right) \). Это даст.

Вот здесь-то и вступает в игру магия \ (\ mu \ left (t \ right) \).Мы собираемся предположить, что что бы ни было \ (\ mu \ left (t \ right) \), оно будет удовлетворять следующему.

Снова не беспокойтесь о том, как мы можем найти \ (\ mu \ left (t \ right) \), который будет удовлетворять \ (\ eqref {eq: eq3} \). Как мы увидим, при условии непрерывности \ (p (t) \) мы можем его найти. Итак, подставив \ (\ eqref {eq: eq3} \), мы приходим к.

На этом этапе мы должны признать, что левая часть \ (\ eqref {eq: eq4} \) – не что иное, как следующее правило продукта.\ prime} \, dt}} = \ int {{\ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \, dt}} \] \ [\ begin {уравнение} \ mu \ left (t \ right) y \ left (t \ right) + c = \ int {{\ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \, dt}} \ label {eq: eq6} \ end {уравнение} \]

Обратите внимание, что здесь включена константа интегрирования \ (c \) из левой части интегрирования. Это жизненно важно. Если его не указывать, вы каждый раз будете получать неправильный ответ.

Последний шаг – это некоторая алгебра, которую нужно решить для решения, \ (y (t) \).

Теперь, с точки зрения обозначений, мы знаем, что постоянная интегрирования \ (c \) – это неизвестная константа, и поэтому, чтобы облегчить нашу жизнь, мы включим знак минус перед ней в константу и вместо этого будем использовать плюс. .Это НЕ повлияет на окончательный ответ решения. Итак, с этим изменением у нас есть.

Опять же, изменение знака константы не повлияет на наш ответ. Если вы решите сохранить знак минус, вы получите то же значение \ (c \), что и мы, за исключением того, что у него будет противоположный знак. Подключив \ (c \), мы получим точно такой же ответ.

С константами интеграции в этом разделе очень много шуток, так что вам нужно к этому привыкнуть. Когда мы делаем это, мы всегда будем стараться очень ясно дать понять, что происходит, и попытаться оправдать, почему мы сделали то, что мы сделали.

Итак, теперь, когда у нас есть общее решение \ (\ eqref {eq: eq1} \), нам нужно вернуться и определить, что это за магическая функция \ (\ mu \ left (t \ right) \). . На самом деле это более простой процесс, чем вы думаете.\ prime} = p \ left (t \ right) \]

Как и в случае с процессом, прежде всего, нам нужно объединить обе стороны, чтобы получить.

Вы заметите, что константа интегрирования с левой стороны, \ (k \), была перемещена в правую часть и снова поглощена знаком минус, как мы это делали ранее.{\ int {{p \ left (t \ right) \, dt}}}} \ label {eq: eq8} \ end {уравнение} \]

Итак, теперь у нас есть формула для общего решения \ (\ eqref {eq: eq7} \) и формула для интегрирующего множителя \ (\ eqref {eq: eq8} \). Однако у нас есть проблема. У нас есть две неизвестные константы, и чем больше у нас неизвестных констант, тем больше у нас проблем в дальнейшем. Поэтому было бы неплохо, если бы мы смогли найти способ устранить одну из них (мы не будем уметь устранить и то, и другое…. {\ int {{p \ left (t \ right) \, dt}}}} \ label {eq: eq10} \ end {Equation} \]

Теперь реальность такова, что \ (\ eqref {eq: eq9} \) не так полезен, как может показаться.Часто проще просто выполнить процесс, который привел нас к \ (\ eqref {eq: eq9} \), чем использовать формулу. Мы не будем использовать эту формулу ни в одном из наших примеров. Нам нужно будет регулярно использовать \ (\ eqref {eq: eq10} \), так как эту формулу проще использовать, чем процесс ее получения.

Процесс решения

Процесс решения линейного дифференциального уравнения первого порядка выглядит следующим образом.

1. Приведите дифференциальное уравнение в правильную начальную форму, \ (\ eqref {eq: eq1} \).
2. Найдите интегрирующий коэффициент \ (\ mu \ left (t \ right) \), используя \ (\ eqref {eq: eq10} \).
3. Умножьте все в дифференциальном уравнении на \ (\ mu \ left (t \ right) \) и убедитесь, что левая часть становится правилом произведения \ (\ left ({\ mu \ left (t \ right) y \ left ( t \ right)} \ right) ‘\) и напишите это как таковое.
4. Объедините обе стороны, убедитесь, что вы правильно справились с постоянной интеграции.
5. Найдите решение \ (y (t) \).

Давайте поработаем пару примеров. Начнем с решения дифференциального уравнения, полученного нами в разделе «Поле направления».

Во-первых, нам нужно получить дифференциальное уравнение в правильной форме.

Из решения этого примера мы теперь можем понять, почему постоянная интеграции так важна в этом процессе. Без него в этом случае мы получили бы одно постоянное решение \ (v (t) = 50 \). Используя постоянную интегрирования, мы получаем бесконечно много решений, по одному на каждое значение \ (c \).

Вернувшись в раздел поля направления, где мы впервые вывели дифференциальное уравнение, использованное в последнем примере, мы использовали поле направления, чтобы помочь нам наметить некоторые решения.Посмотрим, правильно ли мы их поняли. Чтобы набросать некоторые решения, все, что нам нужно сделать, это выбрать разные значения \ (c \), чтобы получить решение. Некоторые из них показаны на графике ниже.

Итак, похоже, мы неплохо сделали набросок графиков в секции поля направлений.

Теперь вспомните из раздела «Определения», что начальные условия позволят нам сосредоточиться на конкретном решении. В решениях дифференциальных уравнений первого порядка (не только линейных, как мы увидим) будет одна неизвестная константа, поэтому нам понадобится ровно одно начальное условие, чтобы найти значение этой константы и, следовательно, найти решение, к которому мы пришли.Начальное условие для дифференциальных уравнений первого порядка будет иметь вид

Напомним также, что дифференциальное уравнение с достаточным количеством начальных условий называется задачей начального значения (IVP). {- 0.{\ ln \, \, \ sec \ left (x \ right)}} = \ sec \ left (x \ right) \]

А интеграл сделать можно? Если нет, перепишите касательную обратно в синусы и косинусы, а затем используйте простую замену. Обратите внимание, что мы можем опустить столбцы абсолютного значения на секансе из-за ограничений на \ (x \). Фактически, это причина ограничений на \ (x \). Отметим также, что есть две формы ответа на этот интеграл. Они эквивалентны, как показано ниже. Что вы используете – это действительно вопрос предпочтений.{\ ln f \ left (x \ right)}} = f \ left (x \ right) \ label {eq: eq11} \ end {уравнение} \]

Это важный факт, о котором вы всегда должны помнить при возникновении подобных проблем. Мы захотим максимально упростить интегрирующий коэффициент во всех случаях, и этот факт поможет в этом упрощении.

Вернемся к примеру. Умножьте интегрирующий коэффициент на дифференциальное уравнение и убедитесь, что левая часть соответствует правилу произведения. Также обратите внимание, что мы умножаем интегрирующий коэффициент на переписанное дифференциальное уравнение, а НЕ на исходное дифференциальное уравнение.2} \ left (x \ right) \, dx}} \\ \ sec \ left (x \ right) y \ left (x \ right) & = – \ frac {1} {2} \ cos \ left ({ 2x} \ right) – \ tan \ left (x \ right) + c \ end {align *} \]

Обратите внимание на использование тригонометрической формулы \ (\ sin \ left ({2 \ theta} \ right) = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \), которая упростила интеграл. Затем найдите решение.

Наконец, примените начальное условие, чтобы найти значение \ (c \).

Тогда решение есть.

Ниже представлен график решения.2} \]

Ниже представлен график решения.

Давайте рассмотрим последний пример, который больше рассматривает интерпретацию решения, а не поиск решения.

Теперь, когда у нас есть решение, давайте посмотрим на долгосрочное поведение ( i.е. \ (t \ to \ infty \)) решения. Первые два члена решения останутся конечными при всех значениях \ (t \). Это последний член, который будет определять поведение решения. Экспонента всегда будет стремиться к бесконечности как \ (t \ to \ infty \), однако в зависимости от знака коэффициента \ (c \) (да, мы уже нашли его, но для простоты этого обсуждения мы продолжим называть это \ (c \)). В следующей таблице показано долгосрочное поведение решения для всех значений \ (c \).

Это поведение также можно увидеть на следующем графике некоторых решений.

Теперь, поскольку мы знаем, как \ (c \) относится к \ (y_ {0} \), мы можем связать поведение решения с \ (y_ {0} \). В следующей таблице показано поведение решения в терминах \ (y_ {0} \) вместо \ (c \).

Обратите внимание, что для \ ({y_0} = – \ frac {{24}} {{37}} \) решение останется конечным.Так бывает не всегда.

Исследование долгосрочного поведения решений иногда бывает важнее, чем само решение. Предположим, что указанный выше раствор дает температуру в металлическом бруске. В этом случае нам нужно решение (я), которое останется конечным в долгосрочной перспективе. Благодаря этому исследованию у нас теперь будет значение начального условия, которое даст нам это решение, и, что более важно, значения начального условия, которых нам нужно было бы избежать, чтобы мы не расплавили стержень.

1. Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение (или “DE”) содержит производные или дифференциалы .

Наша задача решить дифференциальное уравнение. В какой-то момент это потребует интеграции, и мы (в основном) получим выражение типа « y = …».

Вспомните из раздела «Дифференциал» в главе «Интегрирование», что дифференциал можно рассматривать как производную , где dy / dx на самом деле не записывается в дробной форме. 2-3`

Как и раньше, интегрируем.3 / 3-3x + К`

Но откуда взялось это dy из `(dy) / (dx)`? Почему оно как будто исчезло?

В этом примере кажется, что мы интегрируем только часть x (справа), но на самом деле мы интегрировали также и относительно y (слева). DE похожи на это – вам нужно интегрировать по одной (иногда и больше) разных переменных, по одной за раз.

Мы могли бы написать наш вопрос, только используя дифференциалы :

dy = ( x ² -3) dx

(Все, что я сделал, это умножил обе стороны исходного dy / dx в вопросе на dx .3 / 3-3x + К`

С левой стороны мы интегрировали int dy = int 1 dy, чтобы получить y.

Примечание о константе: Мы интегрировали обе стороны, но есть константа интеграции только с правой стороны. 2 d \ theta = sin (t + 0.3} / 3 = -cos (t + 0,2) + K`

Мы проинтегрировали по θ слева и по t справа.

Вот график нашего решения, взяв K = 2:

Типичный график решения для примера 2 DE: `theta (t) = root (3) (- 3cos (t + 0.2) +6)`.

Решение дифференциального уравнения

Из приведенных выше примеров мы видим, что решение DE означает нахождение уравнение без производных, удовлетворяющее заданной DE.Решение дифференциального уравнения всегда требует одного или нескольких интеграции шагов.

Важно уметь идентифицировать тип DE , с которым мы имеем дело, прежде чем пытаться Найди решение.

Определения

Первый заказ DE: Содержит только первые производные

Второй порядок DE: Содержит вторые производные (и возможно также первые производные)

Степень: наивысшая степень из наивысшая производная , встречающаяся в DE.7-5лет = 3`

Это DE имеет порядок 2 (самая высокая производная вторая производная ) и градусов 4 ( степень старшей производной 4.)

Общие и частные решения

Когда мы впервые выполнили интеграцию, мы получили общий раствор (с учетом константы K ).

Мы получили частное решение заменой известных значения для x и y .Эти известные условия называется граничными условиями (или начальными условия ).

Это та же концепция, что и при решении дифференциальных уравнений – сначала найдите общее решение, а затем замените заданные числа, чтобы найти частные решения.

Рассмотрим несколько примеров ДУ первого порядка и первой степени.

Пример 4

а. Найдите общее решение для дифференциала уравнение

`dy + 7x dx = 0`

г.2 + К`

Ответ тот же – способ его написания и мышления несколько отличается.

ПРИМЕЧАНИЕ 2: int dy означает int1 dy, что дает нам ответ y.

У нас также могло быть:

`intdt = t`

`intd тета = тета`

`int da = a`

и так далее. В этом разделе мы будем часто сталкиваться с такими интегралами.

(b) Теперь мы используем информацию y (0) = 3, чтобы найти K.2 + 3`.

Пример 5

Найдите частное решение

`y ‘= 5`

с учетом того, что когда `x = 0, y = 2`.

Ответ

Мы можем написать

год = 5

как дифференциальное уравнение:

dy = 5 dx

Объединение обеих сторон дает:

y = 5 x + K

Применяя граничные условия: x = 0, y = 2, получаем K = 2, поэтому:

y = 5 x + 2

Пример 6

Найдите частное решение

`у ” = 0`

при том, что:

у (0) = 3, у (1) = 4, у (2) = 6`

Ответ

Так как y ” ‘ = 0, когда мы интегрируем один раз, получаем:

y ” = A ( A – константа)

Повторное интегрирование дает:

y ‘ = Ax + B ( A, B – константы)

Еще раз:

`y = (Ax ^ 2) / 2 + Bx + C` ( A, B и C – константы)

Граничные условия:

y (0) = 3, y ‘ (1) = 4, y’ ‘ (2) = 6

Нам нужно подставить эти значения в наши выражения для y ‘ и y’ и наше общее решение, `y = (Ax ^ 2) / 2 + Bx + C` .

Сейчас

y (0) = 3 дает C = 3.

и

y ‘ (2) = 6 дает A = 6

(Фактически, y ” = 6 для любого значения x в этой задаче, поскольку нет члена x )

Наконец,

y ‘ (1) = 4 дает B = -2.

Итак, конкретное решение этого вопроса:

y = 3 x ² – 2 x + 3

Проверка решения путем дифференцирования и подстановки начальных условий:

y ‘= 6 x – 2

y ‘ (1) = 6 (1) – 2 = 4

у ” = 6

г ” = 0

Наше решение правильное.

Пример 7

После решения дифференциала уравнение,

`(dy) / (dx) ln x-y / x = 0`

(мы увидим, как решить эту DE в следующих раздел Разделение переменных), получаем результат

`y = c ln x`

Получили ли мы правильное общее решение?

Ответ

Теперь, если `y = c ln x`, то` (dy) / (dx) = c / x`

[См. Производную логарифмической функции, если вы не знаете этого.)

Так

`” LHS “= (dy) / (dx) ln x-y / x`

`= (c / x) ln x – ((c ln x)) / x`

`= 0`

`=” RHS “`

Делаем вывод, что у нас есть правильное решение.

DE второго порядка

Мы включили сюда еще два примера, чтобы дать вам представление о DE второго порядка. Позже в этой главе мы увидим, как решать такие линейные DE второго порядка.

Пример 8

Общее решение второго порядка DE

y ” + a ² y = 0

это

`y = A cos ax + B sin ax`

Пример 9

Общее решение второго порядка DE

л ‘- 3 л ‘ + 2 л = 0

это

y = Ae ^{2 x} + Be ^x

Если у нас есть следующие граничные условия:

y (0) = 4, y ‘ (0) = 5

, то конкретное решение дает:

y = e ^{2 x} + 3 e ^x

Теперь мы рассмотрим несколько примеров с использованием DE второго порядка, где нам дается окончательный ответ, и нам нужно проверить, является ли это правильным решением. (2x)`

Это очевидно.2) = 2 (dy) / (dx) `

Разделение переменных

Разделение переменных – это специальный метод решения некоторых дифференциальных уравнений

Когда я могу его использовать?

Разделение переменных может использоваться, когда:

Все члены y (включая dy) можно переместить в одну сторону уравнения, а

Все члены x (включая dx) на другую сторону.

Метод

Три ступени:

• Шаг 1 Переместите все члены y (включая dy) в одну сторону уравнения и все члены x (включая dx) в другую сторону.
• Шаг 2 Объедините одну сторону относительно x , а другую сторону относительно x . Не забудьте “+ C” (постоянная интегрирования).
• Шаг 3 Упростить

Пример: Решите это (k – константа):

dy dx = ky

Шаг 1 Разделите переменные, переместив все члены y в одну сторону уравнения и все члены x в другую сторону:

Умножаем обе стороны на dx: dy = ky dx

Разделите обе стороны на y: dy y = k dx

Шаг 2 Интегрируйте обе части уравнения отдельно:

Поставьте знак интеграла вперед: ∫ dy y = ∫ k dx

Интегрируйте левую часть: ln (y) + C = ∫ k dx

Интегрируйте правую часть: ln (y) + C = kx + D

C – постоянная интегрирования.И мы используем D для другого, поскольку это другая константа.

Шаг 3 Упростить:

Мы можем свести две константы в одну (a = D − C): ln (y) = kx + a

И e ^{kx + a} = e ^kx e ^a , поэтому получаем: y = e ^kx e ^a

e ^a – это просто константа, поэтому мы заменяем ее на c : y = ce ^kx

Мы решили:

y = ce ^kx

Это общий тип дифференциального уравнения первого порядка, который встречается во всевозможных неожиданных местах в реальных примерах.

Мы использовали y и x , но тот же метод работает для других имен переменных, например:

Пример: кролики!

Чем больше у вас будет кроликов, тем больше вы получите кроликов. Потом кролики вырастают и тоже заводят детей! Население будет расти все быстрее и быстрее.

Важными частями этого являются:

• Население N ​​ в любое время т
• темп роста р
• Скорость изменения населения dN dt

Скорость изменения в любой момент равна скорости роста , умноженной на численность населения:

dN dt = rN

Но привет! Это то же самое, что и уравнение, которое мы только что решили! Просто у него разные буквы:

• N вместо y
• т вместо х
• r вместо
k

Итак, мы можем перейти к решению:

N = CE ^RT

А вот пример графика N = 0.3e ^2t :

Экспоненциальный рост

Есть и другие уравнения, которые следуют этому шаблону, например, непрерывные сложные проценты.

Другие примеры

Хорошо, перейдем к различным примерам разделения переменных:

Пример: Решите это:

dy dx = 1 y

Шаг 1 Разделите переменные, переместив все члены y в одну сторону уравнения и все члены x в другую сторону:

Умножаем обе стороны на dx: dy = (1 / y) dx

Умножаем обе стороны на y: y dy = dx

Шаг 2 Интегрируйте обе части уравнения отдельно:

Поставьте знак интеграла впереди: ∫ y dy = ∫ dx

Интегрируйте каждую сторону: (y ² ) / 2 = x + C

Мы объединили обе стороны в одну линию.

Мы также использовали сокращение только одной константы интегрирования C. Это совершенно нормально, поскольку мы могли бы иметь + D на одном, + E на другом и просто сказать, что C = E − D.

Шаг 3 Упростить:

Умножаем обе стороны на 2: y ² = 2 (x + C)

Квадратный корень из обеих частей: y = ± √ (2 (x + C))

Примечание: это не то же самое, что y = √ (2x) + C, потому что C было добавлено до того, как мы взяли квадратный корень.Это часто случается с дифференциальными уравнениями. Мы не можем просто добавить C в конце процесса. Он добавляется при интеграции.

Мы решили:

у = ± √ (2 (х + С))

Более сложный пример:

Пример: Решите это:

dy dx = 2xy 1 + x ²

Шаг 1 Разделите переменные:

Умножьте обе стороны на dx, разделите обе стороны на y:

1 y dy = 2x 1 + x ² dx

Шаг 2 Интегрируйте обе части уравнения отдельно:

∫ 1 y dy = ∫ 2x 1 + x ² dx

Левая часть представляет собой простой логарифм, правая часть может быть интегрирована с помощью замены:

Пусть u = 1 + x ² , поэтому du = 2x dx : ∫ 1 y dy = ∫ 1 u du

Интегрировать: ln (y) = ln (u) + C

Тогда получаем C = ln (k) : ln (y) = ln (u) + ln (k)

Итак, мы можем получить это: y = uk

Теперь снова положим u = 1 + x ² : y = k (1 + x ² )

Шаг 3 Упростить:

Это уже настолько просто, насколько это возможно.Решили:

у = к (1 + х ² )

Еще более сложный пример: знаменитое уравнение Ферхульста

Пример: снова кролики!

Помните наше дифференциальное уравнение роста:

dN dt = rN

Что ж, этот рост не может продолжаться вечно, так как у них скоро закончится доступная еда.

Парень по имени Ферхульст включил тыс. (максимальное количество населения, которое может содержать еда), чтобы получить:

dN dt = rN (1-N / k)

Уравнение Ферхюльста

Можно ли это решить?

Да, с помощью одной хитрости…

Шаг 1 Разделите переменные:

Умножаем обе части на dt: dN = rN (1 − N / k) dt

Разделите обе стороны на N (1-N / k): 1 N (1-N / k) dN = r dt

Шаг 2 Интегрировать:

∫ 1 N (1 − N / k) dN = ∫ r dt

Хммм … левую сторону сложно интегрировать. На самом деле это можно сделать с помощью небольшого трюка с частичными дробями… переставляем так:

Начнем с этого: 1 N (1 − N / k)

Умножить верх и низ на k: k N (k − N)

Теперь вот трюк, добавьте N ​​ и −N к вершине: N + k − N N (k − N)

 dy / dt = func (y, t, ...) [или func (t, y, ...)]
 

 theta '' (t) + b * theta '(t) + c * sin (тета (t)) = 0
 

 тета '(т) = омега (т)
омега '(т) = -b * омега (т) - с * грех (тета (т))
 

 >>> def pend (y, t, b, c):
... тета, омега = у
... dydt = [омега, -b * омега - с * нп.грех (тета)]
... вернуть дыдт
...
 

 >>> y0 = [np.pi - 0,1, 0,0]
 

 >>> t = np.linspace (0, 10, 101)
 

 >>> из scipy.integrate import odeint
>>> sol = odeint (pend, y0, t, args = (b, c))
 

 >>> импортировать matplotlib.pyplot как plt
>>> plt.plot (t, sol [:, 0], 'b', label = 'theta (t)')
>>> plt.plot (t, sol [:, 1], 'g', label = 'omega (t)')
>>> plt.legend (loc = 'лучший')
>>> plt.xlabel ('т')
>>> plt.grid ()
>>> plt.show ()