Что такое частная производная – ❶ Как вычислить частную производную 🚩 вычислить частные производные 🚩 Математика
- Комментариев к записи Что такое частная производная – ❶ Как вычислить частную производную 🚩 вычислить частные производные 🚩 Математика нет
- Советы абитуриенту
- В чём смысл частных производных? — Мегаобучалка
- Частная производная — WiKi
- Смешанная частная производная – это… Что такое Смешанная частная производная?
- Частная производная – это… Что такое Частная производная?
- Частная производная – это… Что такое Частная производная?
- Частная производная – это… Что такое Частная производная?
- Частная производная – это… Что такое Частная производная?
В чём смысл частных производных? — Мегаобучалка
По своей сути частные производные 1-го порядка напоминают «обычную» производную:
– это функции, которые характеризуют скорость изменения функции в направлении осей и соответственно. Так, например, функция характеризует крутизну «подъёмов» и «склонов» поверхности в направлении оси абсцисс, а функция сообщает нам о «рельефе» этой же поверхности в направлении оси ординат.
! Примечание: здесь подразумеваются направления, которые параллельны координатным осям.
В целях лучшего понимания рассмотрим конкретную точку плоскости и вычислим в ней значение функции («высоту»):
– а теперь представьте, что вы здесь находитесь (НА САМОЙ поверхности).
Вычислим частную производную по «икс» в данной точке:
Отрицательный знак «иксовой» производной сообщает нам об убывании функции в точке по направлению оси абсцисс. Иными словами, если мы сделаем маленький-маленький (бесконечно малый)
Теперь узнаем характер «местности» по направлению оси ординат:
Производная по «игрек» положительна, следовательно, в точке по направлению оси функция возрастает. Если совсем просто, то здесь нас поджидает подъём в гору.
Кроме того, частная производная в точке характеризует скорость изменения функции по соответствующему направлению. Чем полученное значение больше по модулю – тем поверхность круче, и наоборот, чем оно ближе к нулю – тем поверхность более пологая. Так, в нашем примере «склон» по направлению оси абсцисс более крут, чем «гора» в направлении оси ординат.
Но то были два частных пути. Совершенно понятно, что из точки, в которой мы находимся, (и вообще из любой точки данной поверхности) мы можем сдвинуться и в каком-нибудь другом направлении. Таким образом, возникает интерес составить общую «навигационную карту», которая сообщала бы нам о «ландшафте» поверхности по возможностив каждой точке области определения данной функции по всем доступным путям.
Систематизируем элементарные прикладные правила:
1) Когда мы дифференцируем по , то переменная считается константой.
2) Когда же дифференцирование осуществляется по , то константой считается .
3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( , либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре.
Обозначения:
или – вторая производная по «икс»
или – вторая производная по «игрек»
или – смешанная производная «икс по игрек»
или – смешанная производная «игрек по икс»
Со второй производной нет никаких проблем. Говоря простым языком,
Для удобства я перепишу уже найденные частные производные первого порядка:
Сначала найдем смешанные производные:
Как видите, всё просто: берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек».
Аналогично:
В практических примерах можно ориентироваться на следующее равенство:
Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка.
Находим вторую производную по «икс».
Никаких изобретений, берем и дифференцируем её по «икс» еще раз:
Аналогично:
Следует отметить, что при нахождении , нужно проявить повышенное внимание, так как никаких чудесных равенств для их проверки не существует.
Вторые производные также находят широкое практическое применение, в частности, они используются в задаче отыскания экстремумов функции двух переменных.
Пример 2
Вычислить частные производные первого порядка функции в точке . Найти производные второго порядка.
Пример 3
Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .
Решение: Находим частные производные первого порядка:
Обратите внимание на подстрочный индекс: , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что – константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении.
Дальнейшие комментарии:
(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае и , а, значит, и их произведение считается постоянным числом.
(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.
(1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является .
(2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения .
(3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: .
Теперь находим смешанные производные второго порядка:
, значит, все вычисления выполнены верно.
Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.
Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:
В данном случае:
То есть, в формулу нужно тупо просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов и в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях:
Пример 4
Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .
Рассмотрим серию примеров, включающих в себя сложные функции.
Пример 5
Найти частные производные первого порядка функции .
Записать полный дифференциал .
Решение:
(1) Применяем правило дифференцирования сложной функции .
Следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение (внутренняя функция) у нас не меняется.
(2) Здесь используем свойство корней: , выносим константу за знак производной, а корень представляем в нужном для дифференцирования виде.
Аналогично:
Запишем полный дифференциал первого порядка:
Пример 6
Найти частные производные первого порядка функции .
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое
Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации.
Пример 7
Найти частные производные первого порядка функции .
(1) Используем правило дифференцирования суммы
(2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки». Всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль.
Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Кстати, в этом смысле ничего бы не изменилось, если бы вместо была дана функция – важно, что здесь произведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от «икс», а поэтому, нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции.
(1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно, нужно использовать правило дифференцирования частного: . Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от «икс», значит, считается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции.
Мехматовский анекдот для разрядки:
Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает:
– А почему это ты от меня никуда не убегаешь?
– Ха. А мне всё равно, ведь я «е в степени икс», и ты со мной ничего не сделаешь!
На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает:
– Вот здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую по «игрек», так что быть тебе нулем.
Кто понял анекдот, тот освоил производные, минимум, на «тройку».
Пример 8
Найти частные производные первого порядка функции .
Это пример для самостоятельного решения.
Пример 9
Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления где-то рядом.
Что дальше? Дальше знакомимся с родственной темой – частными производными функции трёх переменных. После этого я рекомендую ДОБРОСОВЕСТНО (жить будет легче 😉 отработать технику дифференцирования.
Примеры: , , , ,
, , .
, ,
megaobuchalka.ru
Частная производная — WiKi
У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. Символы со сходным начертанием: д · მ · ძВ математическом анализе частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.
В явном виде частная производная функции f{\displaystyle f} в точке (a1,a2,…,an){\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})} определяется следующим образом:
- ∂f∂xk(a1,⋯,an)=limΔx→0f(a1,…,ak+Δx,…,an)−f(a1,…,ak,…,an)Δx.{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(a_{1},\cdots ,a_{n})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{k}+\Delta x,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{k},\ldots ,a_{n})}{\Delta x}}.}
Обозначение
Следует обратить внимание, что обозначение ∂f∂x{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной dfdx{\displaystyle {\frac {df}{dx}}} , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: ∂f∂x≡dxfdx{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}\equiv {\frac {d_{x}f}{dx}}} , где dxf{\displaystyle d_{x}f} — частный дифференциал функции f{\displaystyle f} по переменной x{\displaystyle x} . Часто непонимание факта цельности символа ∂f∂x{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение ∂x{\displaystyle \partial x} в выражении ∂f∂x∂x∂t{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}} [1].
Геометрическая интерпретация
Геометрически, частная производная даёт производную по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции f{\displaystyle f} в точке x→0=(x10,…,xn0){\displaystyle {\vec {x}}{\,}^{0}=(x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})} по координате xk{\displaystyle x_{k}} равна производной ∂f∂e→{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\vec {e}}}}} по направлению e→=e→k=(0,…,0,1,0,…,0){\displaystyle {\vec {e}}={\vec {e}}{\,}^{k}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)} , где единица стоит на k{\displaystyle k} -м месте.
Примеры
Объём конуса зависит от высоты и радиуса основанияОбъём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле
- V=πr2h4,{\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}h}{3}},}
Частная производная объёма V относительно радиуса r
- ∂V∂r=2πrh4,{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},}
которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его радиус меняется, а его высота остаётся неизменной. Например, если считать единицы измерения объёма m3{\displaystyle m^{3}} , а измерения длины m{\displaystyle m} , то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объёма m3/m{\displaystyle m^{3}/m} , т.е. изменение величины радиуса на 1 m{\displaystyle m} будет соответствовать изменению объёма конуса на 2πrh4{\displaystyle {\frac {2\pi rh}{3}}} m3{\displaystyle m^{3}} .
Частная производная относительно h
- ∂V∂h=πr23,{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}},}
которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его высота меняется, а его радиус остаётся неизменным.
Полная производная V относительно r и h
- dVdr=2πrh4⏞∂V∂r+πr23⏞∂V∂hdhdr{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}}
и
- dVdh=πr23⏞∂V∂h+2πrh4⏞∂V∂rdrdh{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} h}}}
Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.
Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,
- k=hr=dhdr.{\displaystyle k={\frac {h}{r}}={\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}.}
Это даёт полную производную относительно r:
- dVdr=2πrh4+kπr23{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}={\frac {2\pi rh}{3}}+k{\frac {\pi r^{2}}{3}}}
Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.
См. также
Примечания
- ↑ Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»
ru-wiki.org
Смешанная частная производная – это… Что такое Смешанная частная производная?
Определение
Пусть функция , и ее частные производные
определены в некоторой окрестности точки . Тогда предел
если он существует, называется смешанной (смежной) производной функции в точке и обозначается .
Аналогично определяется как
если он существует.
Смешанные частные производные порядка большего двух определяются индуктивно.
Обозначение
Свойства
- Для непрерывной функции имеет место равенство . При условии их непрерывности в рассматриваемой точке.
Пример Шварца
То есть смешанные производные в примере Шварца не равны.
- Имеет место теорема о равенстве смешанных производных
Теорема Шварца
Пусть выполнены условия:
- функции определены в некоторой окрестности точки .
- непрерывны в точке .
Тогда , то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны.
Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков, при условии, что они непрерывны.
- Тем не менее, условие непрерывности смешанных производных отнюдь не является необходимым в теореме Шварца.
Пример
смешанные производные второго порядка равны всюду кроме точки , в которой и нарушается равенство смешанных производных[1].
Примечания
- ↑ Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Глава 5. Функции многих переменных // Курс математического анализа. — 2-е изд. — М.: МФТИ, 1997. — С. 283. — 716 с. — ISBN 5-89155-006-7
dic.academic.ru
Частная производная – это… Что такое Частная производная?
У этого термина существуют и другие значения, см. Производная.В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
В явном виде частная производная функции определяется следующим образом:
Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).
Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции в точке по координате равна производной по направлению , где единица стоит на -ом месте.
Примеры
Объем конуса зависит от высоты и радиуса основанияОбъём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле
Частная производная объема V относительно радиуса r
которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус меняется, а его высота остается неизменной. Например, если считать единицы измерения объема , а измерения длины , то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объема , т.е. изменение величины радиуса на 1 м будет соответствовать изменению объема конуса на .
Частная производная относительно h
которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его высота меняется, а его радиус остается неизменным.
Полная производная V относительно r и h
и
Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.
Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,
Это дает полную производную относительно r:
Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.
См. также
veter.academic.ru
Частная производная – это… Что такое Частная производная?
У этого термина существуют и другие значения, см. Производная.В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
В явном виде частная производная функции определяется следующим образом:
Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).
Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции в точке по координате равна производной по направлению , где единица стоит на -ом месте.
Примеры
Объем конуса зависит от высоты и радиуса основанияОбъём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле
Частная производная объема V относительно радиуса r
которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус меняется, а его высота остается неизменной. Например, если считать единицы измерения объема , а измерения длины , то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объема , т.е. изменение величины радиуса на 1 м будет соответствовать изменению объема конуса на .
Частная производная относительно h
которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его высота меняется, а его радиус остается неизменным.
Полная производная V относительно r и h
и
Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.
Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,
Это дает полную производную относительно r:
Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.
См. также
dis.academic.ru
Частная производная – это… Что такое Частная производная?
У этого термина существуют и другие значения, см. Производная.В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
В явном виде частная производная функции определяется следующим образом:
Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).
Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции в точке по координате равна производной по направлению , где единица стоит на -ом месте.
Примеры
Объем конуса зависит от высоты и радиуса основанияОбъём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле
Частная производная объема V относительно радиуса r
которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус меняется, а его высота остается неизменной. Например, если считать единицы измерения объема , а измерения длины , то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объема , т.е. изменение величины радиуса на 1 м будет соответствовать изменению объема конуса на .
Частная производная относительно h
которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его высота меняется, а его радиус остается неизменным.
Полная производная V относительно r и h
и
Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.
Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,
Это дает полную производную относительно r:
Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.
См. также
dvc.academic.ru
Частная производная – это… Что такое Частная производная?
У этого термина существуют и другие значения, см. Производная.В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
В явном виде частная производная функции определяется следующим образом:
Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).
Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции в точке по координате равна производной по направлению , где единица стоит на -ом месте.
Примеры
Объем конуса зависит от высоты и радиуса основанияОбъём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле
Частная производная объема V относительно радиуса r
которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус меняется, а его высота остается неизменной. Например, если считать единицы измерения объема , а измерения длины , то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объема , т.е. изменение величины радиуса на 1 м будет соответствовать изменению объема конуса на .
Частная производная относительно h
которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его высота меняется, а его радиус остается неизменным.
Полная производная V относительно r и h
и
Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.
Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,
Это дает полную производную относительно r:
Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.
См. также
xzsad.academic.ru