Как решать лимиты примеры и решения – Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Первая часть.
- Комментариев к записи Как решать лимиты примеры и решения – Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Первая часть. нет
- Советы абитуриенту
Как решать пределы с корнями, примеры решений
Среди задач на решение пределов попадаются пределы с корнями. В результате подстановки значения в функцию получаются неопределенности трёх видов:
Перед тем, как приступить к решению определите тип своей задачи
Тип 1
Для того, чтобы раскрывать такие неопределенности необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению содержащему корень.
| Пример 1 |
| Найти предел с корнем |
| Решение |
Подставляем в подпределельную функцию: Получаем неопределенность . Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к нему, так как он содержит корень: Используя формулу разности квадратов приведем предел к следующему виду: Раскрываем скобки в знаменателе и упрощаем его: Сокращам функцию в пределе на , имеем: |
| Ответ |
Тип 2
Пределы с корнем такого типа, когда вычислять нужно по-другому в отличии от предыдущего случая. Необходимо определить старшие степени выражений числителя и знаменателя. Затем вынести самую старшую из двух степеней за скобки и сократить.
| Пример 2 |
| Решить предел с корнем |
| Решение |
Вставляем в предел и получаем . Определяем, что в числителе старшая степень это , а в знаменателе . Выносим их за скобки: Теперь выполняем сокращение: Снова подставляем в предел, имеем: |
| Ответ |
Тип 3
Этот вид пределов часто попадается в дополнительных заданиях на экзамене. Ведь часто студенты не правильно вычисляют пределы такого типа. Как решать пределы с корнями данного вида? Всё просто. Необходимо умножить и разделить функцию, стоящую в пределе, на выражение сопряженное к ней.
| Пример 3 |
| Вычислить предел корня |
| Решение |
При в пределе видим: После домножения и разделения на сопряженное имеем предел: Упростим числитель, используя формулу разности квадратов: После раскрытия скобок и упрощения получаем: Далее выносим за скобки и сокращаем: Снова подставляем в предел и вычисляем его: |
| Ответ |
xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai
Замечательные пределы, примеры решений
Теория по замечательным пределам
Первый замечательный предел раскрывает неопределенность и имеет вид:
Следствия из первого замечательного предела:
Второй замечательный предел раскрывает неопределенность и имеет вид:
где . Он имеет следующие основные следствия:
Примеры
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Примеры нахождения пределов функций
Элементарные функции и их графики.
Основными элементарными функциями считаются: степенная функция, показательная функция, логарифмическая функция, тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции, а также многочлен и рациональная функция, которая представляет собой отношение двух многочленов.
К элементарным функциям относятся и те функции, которые получаются из элементарных путем применения основных четырех арифметических действий и образования сложной функции.
Графики элементарных функций
Предел функции.
Функция y=f(x) имеет число А пределом при стремлении х к а, если для любого числа ε › 0 найдется такое число δ › 0, что | y – A | ‹ ε если |х – а| ‹ δ,
или lim у = A
x→a
Непрерывность функции.
Функция y=f(x) непрерывна в точке х = а, если lim f(x) = f(а), т.е.
x→a
предел функции в точке х = а равен значению функции в данной точке.
Основные теоремы о пределах функций.
1. Предел постоянной величины равен этой постоянной величине:
lim А = A
2. Предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов этих функций:
lim ( f + g – h ) = lim f + lim g – lim h
3. Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:
lim ( f * g* h ) = lim f * lim g * lim h
4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен 0:
х lim х
lim ——- = ———-
у lim у
Sin x
Первый замечательный предел: lim ——— = 1
x→0 x
Второй замечательный предел: lim ( 1 + 1/x ) x = e ( e = 2, 718281..)
x→∞
Примеры нахождения пределов функций.
5.1. Пример:
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно х, хотя вместо «икса» может быть любая другая переменная. На месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность 0 или .
3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».
Очень важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? Выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Готово.
Итак, первое правило: Когда дан предел, надо сначала просто подставить число в функцию.
5.2. Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает.
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:
Согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.
5.3. Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции.
Вывод: прифункциянеограниченно возрастает
5.4. Серия примеров:
Попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующие примеры и решить простейшие виды пределов:
, , , , , , , , ,
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
Когда дан любой предел, сначала просто подставить число в функцию. При этом Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как, , и т.д.
6. Пределы с неопределенностью видаи метод их решения.
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены.
6.1. Пример:
Вычислить предел
Согласно нашему правилу попы таемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что = 1, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенностьнеобходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на
Таким образом, ответ , а вовсе не 1.
Пример
Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Пример
Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
В теории пределов при делении на ноль подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
7. Пределы с неопределенностью видаи метод их решения.
Пример
Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность .
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Итак, решаем наш предел
Разложим числитель и знаменатель на множители
Числитель. Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Сначала находим дискриминант:
И квадратный корень из него: .
Далее находим корни:
Таким образом:
Числитель на множители разложен.
Знаменатель. Знаменатель х+1 уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Пример
Вычислить предел
Сначала «дубовый» вариант решения, подставим х=2:
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель:
Знаменатель:
,
studopedya.ru
Как решать пределы?
В курсе математического анализа достаточно большой промежуток времени выделяется на изучение приемов того, как решать пределы, как для функций, так и для последовательностей. На данный момент существует некоторое количество уже готовых методов и правил, которые при правильном применении могут помочь решить довольно трудные задания с пределами.
В математический анализ были введены понятия того, как решать пределы функций, а также пределы последовательностей. Если необходимо вычислить предел последовательности, то запись этого примера выглядит так: lim xn=a. Из этой последовательности видно, что xn стремится к а. В свою очередь n наоборот стремится к бесконечности. Чаще всего последовательности представляются в виде рядов, таких как, например, р1, р2, р3…,рm,…,рn…. Все последовательности принято разделять на две группы: убывающие последовательности, а также возрастающие последовательности.
Как решать пределы: формулы
Чаще всего величина, которая является переменной, например, х стремиться к конечному пределу, коим является величина а. При этом величина х постоянно приближается к величине а, в кто время как величина а остается постоянной. Запись этого сложного определения очень простая: limx =a. В этом случае n может стремиться к бесконечности, и к нулю. Существуют особые функции, которые называются бесконечными. В них предел также стремится к бесконечности. Если же рассматривается другая функция, которая описывает замедление хода чего-либо, то тут есть смысл говорить и о пределе, который будет стремиться к нулю.
Все приделы имеют свой определенный ряд свойств. Чаще всего у одной функции может быть лишь один предел. Это и есть наиболее важное и самое главное свойство пределов. Все остальные свойства пределов связаны с их определением и решением задач. Также студентам стоит обратить внимание на тему о том, как решать пределы с корнями.
- Предел суммы равен сумме всех пределов: lim(x+y)=lim x+lim y.
- Предел частного равен частному от всех пределов: lim(x/y)=lim x/lim y.
- Предел произведения равен про
elhow.ru
Пределы. Примеры решений – matematika
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:
1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.
Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.
Итак, что же такое предел?
А сразу пример, чего бабушку лохматить….
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно ,
хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В
практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно
любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемс
sites.google.com
Примеры нахождения пределов | Primer.by
Пример 1.
а)
б)
в)
г)
д)
Решение
а)
Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на наибольшую степень х, то есть на х4
Ответ:
б)
Имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, то есть на :
Ответ:
в)
Имеем неопределенность вида . Преобразуем предел к виду второго замечательного предела:
Ответ:
г)
Имеем неопределенность вида . Преобразуем предел к виду первого замечательного предела:
Ответ:
д)
(воспользуемся правилом Лопиталя)
Таким образом, .
Ответ:.
Пример 2.
Вычислить предел, пользуясь правилом Лопиталя.
Решение:
1) .
Искомый предел является неопределенностью типа . По правилу Лопиталя получаем:
.
2) .
Предел является неопределенностью вида . Преобразуем его к виду :
.
Применим правило Лопиталя:
.
3) .
Предел является неопределенностью вида . Проведем следующие преобразования:
.
Ответ: 1) ; 2) -1; 3) .
primer.by
Пределы функций. Примеры решений
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:
1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.
Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.
Итак, что же такое предел?
А сразу пример, чего бабушку лохматить….
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ).
3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».
Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Готово.
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!
Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.
А что в это время происходит с функцией ?
, , , …
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:
Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.
Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
Вывод: при функция неограниченно возрастает
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .
Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.
Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
studopedya.ru
