Как решать задачи на растворы по математике егэ – Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (9, 11 класс) на тему: Различные способы решение задач на смеси, сплавы, растворы | скачать бесплатно

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Алгебра

Концентрация (процентное содержание) вещества

      Рассмотрим смесь (сплав, раствор) из нескольких веществ.

      Определение 1. Концентрацией (процентной концентрацией, процентным содержанием) вещества   A   в смеси (сплаве, растворе) называют число процентов   pA ,   выраженное формулой

(1)

где   MA   – масса вещества   A   в смеси (сплаве, растворе), а   M   – масса всей смеси (сплава, раствора).

      Часто в задачах на растворы указаны не массы входящих в них веществ, а их объёмы. В этом случае вместо формулы (1) для концентрации (процентной концентрации, процентного содержания) вещества   A   в растворе используется формула

(2)

где   VA ,   – объём вещества А в растворе, а   V   – объем всего раствора.

      Определение 2. Формулу (1) называют формулой для массовой концентрации вещества   A   в смеси (сплаве, растворе), а формулу (2) – формулой для объёмной концентрации вещества   A   в растворе.

      При решении задач считается, что при слиянии нескольких растворов (сплавов) масса и объем полученной смеси равны сумме масс и объемов смешиваемых компонентов соответственно.

      Приёмы, используемые при решении задач на массовые концентрации смесей (сплавов, растворов), а также при решении задач на объёмные концентрации растворов, являются общими, что мы и увидим при решении следующих типовых задач

Примеры решения задач на смеси, сплавы и растворы

      Задача 1. Смешали   16   литров   30%   раствора кислоты в воде с   9   литрами   80%   раствора кислоты в воде. Найти концентрацию полученного раствора кислоты в воде.

      Решение. В   16   литрах   30%   раствора кислоты в воде содержится

литров кислоты. В   9   литрах   80%   раствора кислоты в воде содержится

литров кислоты. Поэтому в смеси этих растворов содержится

4,8 + 7,2 = 12

литров кислоты. Поскольку полученный в результате смешивания раствор имеет объем

16 + 9 = 25

литров, то концентрация кислоты в этом растворе равна

      Ответ.   48% .

      Задача 2. Имеется   27   килограммов смеси цемента с песком с   40%   содержанием цемента. Сколько килограммов песка нужно добавить в эту смесь, чтобы процентное содержание цемента в ней стало   30% ?

      Решение. Обозначим буквой   x   количество килограммов песка, которые нужно добавить в смесь. Поскольку в   27   килограммах смеси с   40%   содержанием цемента содержится

килограммов цемента, а после добавления   x   килограммов песка масса смеси станет равной

27 + x

килограммов, то после добавления песка процентное содержание цемента в получившейся смеси будет составлять

      По условию задачи

      Следовательно,

      Ответ.   9   килограммов.

      Задача 3.  Смешав   8%   и   13%   растворы соли и добавив   200   миллилитров   5%   раствора соли, получили   7%   раствор соли. Если бы вместо   200   миллилитров   5%   раствора соли добавили   300   миллилитров   17%   раствора соли, то получили бы   15%   раствор соли. Сколько миллилитров   8%   и   13%   растворов соли использовали для получения раствора?

      Решение. Обозначив буквой   x   массу   8%   раствора соли, а буквой   y   – массу  13%   раствора соли, рассмотрим рисунки 1 и 2.

 x   мл
 
+y   мл
 
+200   мл
 
=(x + y + 200)   мл
 

Рис. 1

      На рисунке 1 изображена структура раствора, полученного при смешении   x   миллилитров   8%   раствора соли,   y   миллилитров   13%   раствора соли и   200   миллилитров   9%   раствора соли. Объем этого раствора равен   (x + y + 200)   миллилитров.

  x   мл
 
+y   мл
 
+300   мл
 
=(x + y + 300)   мл
 

Рис.2

      На рисунке 2 изображена структура раствора, полученного при смешении   x   миллилитров   8%   раствора соли,   y   миллилитров   13%   раствора соли и   300   миллилитров   17%   раствора соли. Объем этого раствора равен   (

x + y + 300)   миллилитров.

      Записывая баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 1, а также баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 2, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными   x   и   y :

      Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем

      Ответ. Смешали   70   мл   8%   раствора и   55   мл   13%   раствора.

      Задача 4. Имеются два сплава меди с цинком. Если сплавить   1   килограмм первого сплава с   2   килограммами второго сплава, то получится сплав с   50%   содержанием меди. Если же сплавить   4   килограмма первого сплава с   1   килограммом второго сплава, то получится сплав с   36%   содержанием меди. Найти процентное содержание меди в первом и во втором сплавах.

      Решение. Обозначим   x %   и  

y %   - процентные содержания меди в первом и во втором сплавах соответственно и рассмотрим рисунки 3 и 4.

1   кг 2   кг
Медь
x %
Цинк+Медь
y %
Цинк
 3   кг
=Медь
50%
Цинк

Рис. 3

      На рисунке 3 изображена структура сплава, состоящего из   1   килограмма первого сплава и   2   килограммов второго сплава. Масса этого сплава –   3   килограмма.

4   кг 
1   кг
Медь
x %
Цинк+Медь
y %
Цинк
 5   кг
=Медь
36%
Цинк

Рис.4

      На рисунке 4 изображена структура сплава, состоящего из   4   килограммов первого сплава и   1   килограмма второго сплава. Масса этого сплава –   5   килограммов.

      Записывая баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 3, а также баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 4, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными   x   и   y :

      Далее получаем

      Ответ. В первом сплаве содержание меди   30% ,   во втором сплаве содержание меди  60% .

 

      Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть раздел нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты», «Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки», а также наши учебные пособия «Задачи на проценты» и «Финансовая математика».

      Приемы, используемые для решения задач на выполнение работ, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на выполнение работ».

      С примерами решения задач на движение можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Задачи на движение».

      С методами решения систем уравнений можно ознакомиться в разделах нашего справочника «Системы линейных уравнений», «Системы с нелинейными уравнениями» и в нашем учебном пособии «Системы уравнений».

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

      С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Решение задачи на растворы

Я уже объясняла принцип решения задач на растворы здесь. В этой статье я приведу пример решения чуть более сложной задачи.

Решим задачу: из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

Задание B13 (№ 99577)

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Вспомним, что процентное содержание выражается формулой:  . В этой формуле

Р - процентное содержание;

m - масса чистого вещества;

M - масса раствора или сплава.

Тогда 

Чтобы решить эту задачу, составим таблицу:

Поскольку в задаче не дана масса каждого раствора, примем массу первого раствора за , а второго за , и, исходя из этого, найдем массу чистого вещества в каждом растворе:

Теперь будем заносить в таблицу все действия, которые описаны в условии задачи. По условию в раствор добавили 10 кг чистой воды. При этом масса раствора увеличилась на 10 кг, а масса чистого вещества не изменилась. В результате получили 36-процентный раствор кислоты:

Теперь у нас достаточно данных, чтобы составить первое уравнение системы. (Поскольку у нас две неизвестных величины, мы должны составить два уравнения.)

Читаем условие дальше:

Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты...Добавляем в таблицу эти данные:

то получили бы 41-процентный раствор кислоты:

 Можем записать второе  уравнение системы:

Получили систему уравнений:

Решим ее.

В ответе нужно записать, сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси, то есть х.

Ответ: 60.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Задачи на растворы и смеси с решениями. Для ЕГЭ.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАСТВОРЫ И СМЕСИ

Для решения задач этого типа удобно использовать таблицу

Раствор (смесь)

Масса раствора (смеси)

1-й компонент

2-компонент

% концентрации

масса

% концентрации

масса

Примеры задач

 

  1. 1. Имеется 40 литров 0,5 % раствора и 50 литров 2% раствора уксусной кислоты. Сколько нужно взять того и другого, чтобы получить 30 литров 1,5% - го раствора уксусной кислоты.

Решение:

Раствор (смесь)

Объем (масса) раствора (смеси)

Уксусная кислота

Вода

% концентрации

масса

% концентрации

масса

1

40 л

0,5 %

2

50 л

2 %

1

х

0,5 %

0,005х

2

30-х

2 %

0,02(30-х)

3

30

1,5 %

0,015*30

 

0,005х + 0,02(30-х) = 30*0,015

х = 10 литров

Ответ: 10 литров, 20 литров.

 

  1. 2. Имеется два сосуда, содержащие 4 кг и 6 кг раствора кислоты разной концентрации. Если их слить, то получится 35 % раствор. Если слить равные массы этих растворов, то получится 36% раствор. Найти концентрацию каждого раствора?

Решение:

Раствор (смесь)

Объем (масса) раствора (смеси)

кислота

Вода

% концентрации

масса

% концентрации

масса

1

4 кг

х

4*0,01х

2

6 кг

y

6*0,01у

3

10 кг

35 %

0,35*10

4

1+1

36 %

0,36*2х

 

4*0,01х + 6*0,01у = 10*0,35

0,01х + 0,01у = 2*0,36

Ответ: 41%,  31%.

 

  1. 3. Влажность сухого цемента на складе 18 %. Во время дождей влажность повысилась на 2 %. Какова стала масса цемента, если его было 400 кг.

Решение:

Раствор (смесь)

Объем (масса) раствора (смеси)

вода

Сухое вещество

% концентрации

масса

% концентрации

масса

1

400 кг

18%

82%

400*0,82

2

х кг

20%

80%

х*0,8

 

400*0,82 = 0,8х

Ответ: 410 кг.

 

  1. 4. Из 38 тонн руды, содержащей 25% примесей, получили 30 тонн металла. Сколько процентов примесей содержит металл?

Решение:

Раствор (смесь)

Объем (масса) раствора (смеси)

примесь

Основное вещество

% концентрации

масса

% концентрации

масса

1

38 т

25%

75%

38*0,75

2

30 т

х

30*0,01х

38*0,75 = 30*0,01х

Ответ: 95% - содержание металла, 5% - содержание примесей.

 

  1. 5. В 4 кг сплава меди и олова содержится 40 % олова. Сколько кг олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание было 70%?

 

Решение:

сплав

Масса сплава

медь

олово

%

масса

%

масса

1

4 кг

40%

4*0,4

2

х

100 %

х

3

4+х

70%

0,7*(4+х)

4*0,4 +х = 0,7(4+х)

Ответ: х=4

 

  1. 6. Имеется два сплава золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:3, в другом 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором эти металлы были бы в отношении 5:11?

 

Решение:

сплав

Масса сплава

золото

серебро

%

масса

%

масса

1

х

2

2/5х

3

2

8-х

3

(3/10) (8-х)

7

3

8

5

8 * 5/16

11

 

2/5x+3/10(8-x)=8*5/16

х = 1

Ответ: золота – 1 кг, серебра – 7 кг.

 

lib.repetitors.eu

Задачи на сплавы и смеси с решениями. на Сёзнайке.ру

 

Задача №1.

Сплав меди и цинка весом 20кг содержит 30% меди. Добавили 22кг цинка. Сколько нужно добавить меди, чтобы в сплаве стало 60% цинка.

 

Решение:

I способ:

30%    70%

20кг = 6кг + 36кг

 

Добавили цинка - +22кг

 

42кг = 6кг + 36кг

 

100% = 40% + 60%

36кг составляет 60%.

36:0.6=60кг – новый сплав.

60(кг) = 6(кг) + 36(кг) + x(кг)

 

x=18 (кг).

II способ:

Очень удобно в задачах на сплавы, смеси, концентрации составлять таблицу по условию задачи (жирным шрифтом), а затем заполнять пустые клетки, руководствуясь законом сохранения массы(объема) и формулами расчета «Процент от числа»

Для начала нужно определить количество объектов, которые участвуют в условии задачи ( в нашем случае их 4), затем занести в таблицу все, что говорится о каждом объекте. По вопросу задачу вводится переменная ( в нашем случае это x кг меди)

Объекты

I

добавили цинка

добавили меди

получили сплав

масса (кг)

20

22

x

20+22+x

% меди

30

100

% цинка

 

100

 

масса меди (кг)

 

 

 

60

масса цинка (кг)

 

 

 

 

 

Теперь начинаем заполнение пустых клеток:

Объекты

I

добавили цинка

добавили меди

получили сплав

масса (кг)

20

22

x

20+22+x=42+x

% меди

30

0

100

100-60=40

% цинка

100-30=70

100

0

60

масса меди (кг)

(20*30)/100

0

x

(42+x)*40/100=(20*30)/100+0+x

масса цинка (кг)

(20*70)/100

100

0

 

Нам, в принципе, достаточно заполнения четырех строк, чтобы составить уравнение.

Обратим внимание на «желтую» клетку- эта клетка является ключом составления уравнения задачи, т.к. мы ее можем заполнить по формуле «40 % от числа 42+x», а также по закону сохранения массы: (20*30)/100+0+x.

Следовательно, имеем уравнение: 

Ответ: 18.

 

Задача №2.

Имеется сплав серебра с медью. Вычислите массу сплава и процентное содержание серебра в нем, зная, что сплавив его с 3кг чистого серебра, получается сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2кг чистого серебра, получается сплав, содержащий 86% серебра.

Решение:

Xкг – масса исходного сплава

(X+3)кг – масса первого сплава

(X+2)кг – масса второго сплава

(X+3)*0.9(кг) – содержание серебра в первом сплаве

(X+2)*0.86(кг) – масса серебра во втором сплаве

(X+3)*0.9-(X+2)*0.86=1

X=0.5

Табличный способ:

По первому предложению составляем таблицу

Объект

I

II

Смесь

m кг

x

3

3+x

% серебра

p

100

90

mсеребра кг

x*p/100

3*100/100

(3+x)*90/100=x*p/100+3*100/100

По второму предложению составляем таблицу

Объект

I

II

Смесь

m кг

x

2

2+x

% серебра

p

100

86

mсеребра кг

x*p/100

2*100/100

(2+x)*86/100=x*p/100+2*100/100

В результате в «желтых» клетках имеем уравнения для системы:

 

Тогда 0,5p=15, p=30

Ответ: 0,5 кг; 30 % серебра.

 

Задача №3.

Из 50т руды получают 20т металла, который содержит 12% примесей. Сколько процентов примесей содержит руда?

 

Решение:

1) Сколько примесей содержится в металле?

20*0.12=2.4(т)

2) 50т = 20т + 3т =  (17.6 + 2.4) +30= 17.6+ (2.4 + 30)

металл    примеси               примеси              чистый        примеси

металл

3) 50т    – 100%

32.4т – x%

50/32,4=100/x ;      x=64.8

 

Табличный способ:

Объект

I

II

Получили

m тн

50

50-20=30

20

% примесей

p

100

12

mпримесей тн

50*p/100

30

20*12/100=50*p/100-30

 

12*20=50p-3000

50p=3240

p=64.8

Ответ: 64.8%.

 

Задача №4.

Сплав меди и цинка весом 60 кг содержит 40% меди. Сколько нужно добавить цинка, чтобы в сплаве его концентрация достигла 80%.

 

Решение:

 

Табличный способ:

Объект

I

II

Получили

m кг

60

x

60+x

% цинка

100-40=60

100

80

mцинка кг

60*60/100

x

(60+x)*80/100=60*60/100+x

Имеем:

(60+x)*0.8=36+x

48+0.8x=36+x

x=60  кг цинка нужно добавить.

Задача №5.

 

К 15 литрам 10%-ого раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

 

Решение:

1)     Пусть добавили Xл 5%-ного раствора соли.

(15+X)л – столько стало нового раствора

(15+X)*0.08л – столько в нем содержится соли

2)     В 15 литрах 10%-ного раствора содержится

15*0.1=1.5(л) соли

3)     В Xл 5%-ного раствора содержится 0.05Xл соли

X=10.

Добавили 10л 5%-ного раствора соли.

Табличный способ:

Объект

I

II

Получили

m л

15

x

15+x

% соли

10

5

8

mсоли л

15*10/100

x*5/100

(15+x)*8/100=15*10/100+5x/100

 

Имеем:

8(15+x)=150+5x

3x=30

x=10

Ответ: 10л

 

Задача №6.

В лаборатории есть раствор соли 4-х различных концентраций. Если смешать I, II, III растворы в весовом отношении 3:2:1, то получится 15%-ный раствор. II, III, IV растворы в равной пропорции дают при смешивании 24%-ный раствор, и , наконец, раствор составленный из равных частей I и III растворов, имеет концентрацию 10%. Какая концентрация будет при смешении II и IV растворов в пропорции 2:1?

 

Решение:

1) Пусть в 1кг   I р-ра – Xкг соли

II р-ра – Yкг соли

III р-ра – Zкг соли

IV р-ра – tкг соли

2) В условии говорится, что если мы смешаем 3кг I раствора, 2кг II раствора и 1кг III раствора, то в получившихся 6кг р-ра будет 6*0.15=0.9кг соли. Но в 3-х кг I р-ра имеется (3X)кг соли, в 2кг II р-ра ее (2Y)кг и в одном кг III р-ра – Zкг. Отсюда получается первое уравнение 3x+2y+Z=0.9

3)  Рассуждая аналогично, получим, что

Y + Z + t = 0.72

X + Z = 0.2,

Т.е. получим систему:

Из этой системы нам нужно вычленить 2y + t.

 

2y+t=0,5(3x+2y+Z)+(y+Z+t)-1,5(x+Z)=0,5.0,9+0,72-1,5.0,2=0,87

Значит, если смешать 2кг второго раствора и 1кг четвертого, то в получившихся 3кг смеси будет 0.87кг соли, что составляет 29%, что и требовалось найти.

3кг – 100%

0.87кг – x%

3/0,87=100/x;

x = 29%.

 

Ответ: 29%

 

Задача №7.

Даны два сплава. Первый весит 4кг и содержит 70% серебра. Второй весит 3кг и содержит 90% серебра. Сколько кг второго сплава надо сплавить со всем первым сплавом, чтобы получить r%-ный сплав серебра? При каких r задача имеет решение?

 

Решение:

В первом сплаве – 2.8кг серебра. Пусть надо взять x(кг) второго сплава, чтобы сплавив его со всем первым сплавом, получить такой сплав, как требуется. Весь сплав будет весить (x+4)кг. Серебра в нем будет (2.8+0.9x)кг.

По условию  ( 2,8+0,9x)/(x+4)=r/100

 

(x+4)кг – 100%

2.8+0.9x – r%, откуда x=(4r-280)/(90-r). Задача имеет решение тогда и только тогда, когда 0?x?3 (только в таких пределах можно что-либо взять из куска весом в 3кг), т.е. 0?(4r-280)/(90-r)?3 , откуда 70?r?80 .

Ответ: x=(4r-280)/(90-r), задача имеет решение при 70?r?80.

 

www.seznaika.ru

Различные способы решения задач на смеси, сплавы , растворы

Различные способы решения задач на смеси, сплавы, растворы

Вайланд Анна Павловна, учитель математики МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №3»

Балаково – 201 5 2

Проблема и гипотеза

  • Рассматривая учебники по математике разных авторов, я увидела несколько совершенно разных по типу задач на растворы, а решения одних и тех же задач в одних учебниках были совершенно другими, нежели в других. Поэтому выдвинула свою гипотезу:
  • Гипотеза: все задачи на растворы, сплавы и смеси делятся на несколько типов, а каждый из типов имеет конкретный способ решения.

Цели и задачи

  • Систематизировать задачи на растворы, смеси и сплавы;
  • Найти единый алгоритм решения этих задач;
  • Научиться решать задачи по заданной теме.

ЕГЭ и межпредметная связь

  • Созданный мною проект содержит материал по теме «Проценты» из курса математики, который может помочь также и при решении заданий на проценты не только в тестах ЕГЭ по математике за курс основной и средней школы, а так же при изучении химии, биологии, физики и других предметов.

Анализ ситуации

  • В ходе проектной деятельности я проводила опрос «Можете ли вы решать задачи на растворы?». Вот результаты первого:

Конечно!

Скорее всего

Затруднились ответить

Нет

3

6

5

10

Введение

Для решения задач на концентрации нужно уметь рассуждать и решать задачи на дроби и проценты, на составление уравнений и их систем. Эти задачи решаются арифметически, применением линейного уравнения и их систем, и другие способы.

Основные понятия

  • «Чистое вещество»
  • «Примесь»
  • Доли чистого вещества в смеси – « a »
  • Чистое вещество – « m »
  • Общее количество – « М »

a = m : M m = a M M = m : a

Классификация задач

На переливание

На понижение и повышение концентрации

На «высушивание»

На смешивание растворов разных концентраций

Задачи на понижение и повышение концентрации

Задача №1: сироп содержит 18% сахара. Сколько кг воды нужно добавить к 40 кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15% ?

Задача №2: сплав массой 36 кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы новый сплав содержал 60% меди?

Решение задачи №1

II . Правило «креста»

18 15

15

0 3

I . Пусть надо добавить х кг воды. Заполним таблицу по условию задачи.

Значит, 40 кг – 15 частей тогда, чтобы получить 15% р-р нужно добавить 3 части воды

40:15 · 3=8 кг.

Ответ: 8 кг

Составим и решим уравнение:

0,15(40+х)=0,18*40

х =8

Ответ: 8 кг.

Было

α

18%=0,18

М(кг)

Стало

т (кг)

40

15%=0,15

0,18*40

40+ х

0,15(40+ х )

Задачи на высушивание

Задача №3:

Пчелы перерабатывают цветочный нектар в мёд, освобождая его от воды. Нектар содержит 84% воды, а полученный мёд - 20%. Сколько кг нектара нужно переработать пчелам для получения 1 кг мёда?

Решение задачи №3

  • При решении таких задач надо разделять вещество на воду и «сухой остаток», масса которого не меняется в условиях задачи

1. Арифметический

1) 100-20=80% - составляет основное вещество от полученного мёда.

2) 1*0,8=0,8 кг – масса основное вещество в 1 кг.

3) 100-84 = 16% - составляет основное вещество от собранного нектара.

4) 0,8:0,16 = 5 кг нектара.

Ответ: 5 кг нектара нужно переработать пчелам для получения 1 кг мёда.

2. Правило «креста»

84 80

100

20 16

Значит, 1 кг составляет 16 частей, тогда 80 частей:

1 : 16 * 80 = 5 кг.

Ответ: 5 кг

Задачи, которые решаются с помощью систем линейных уравнений.

Задача №4

Имеется 2 раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200г второго раствора, то получится 50%-ный раствор. Если же слить вместе 300г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-ный раствор. Найти концентрацию второго раствора.

Решение задачи №4

  • Пусть процентное содержание соли в первом и втором растворах p% и q% соответственно, тогда по условиям задачи можно составить два уравнения:

100 p/100 + 200 q/100=50*(100+200)/100

300 p/100 + 200 q/100=42*(300+200)/100.

Упростив эти уравнения и решив систему, получим p=30 и q=60.

Следовательно, концентрация второго раствора равна 60%

Ответ. 60%

40-30

30-5

Старинная схема решения подобных задач

  • Смешивая 5% и 40% растворы кислот, необходимо получить 30% раствор. В каком соотношении их необходимо взять?

Доли исходных продуктов в

конечном продукте

Параметры

исходных

продуктов

5%

40%

Параметры

конечного

продукта

30%

1-ый продукт

2-ой продукт

10 частей

25 частей

Ответ:

Соотношение первого и второго растворов – 10:25

Задачи на переливание

При решении этих задач выполняются следующие допущения: «закон сохранения масс» и «закон сохранения объёмов», как для всей смеси, так и для каждого её компонента. При этом плотности растворов изменяются не значительно и примерно равны плотности воды.

Теперь покажу, как графические иллюстрации к условию задач помогают найти правильный путь к ответу на вопрос задачи

Задача №5

Сначала приготовили 25%-ый водный раствор поваренной соли. Затем одну треть воды выпарили. Найти концентрацию получившегося раствора.

Решение задачи №5

До выпаривания:

NaCl

Н 2 О

Н 2 О

Н 2 О

25% 25% 25% 25%

После выпаривания:

NaCl

Н 2 О

Н 2 О

Сейчас соль стала составлять одну треть всего раствора или

Ответ:

Задача №6

Имеется два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1:9, а в другом 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золота и серебро относилось бы как 1:4?

Решение задачи №6

НОВЫЙ СПЛАВ

Золота в нём 1/5 или 0,2

I СПЛАВ

Золота в нём 0,1 доля

II СПЛАВ

Золота в нём 2 / 5 или 0,4

1:9

2:3

1:4

Внесём данные в таблицу:

  • Имеется два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1:9, а в другом 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золота и серебро относилось бы как 1:4?

Название

элементов

Первый сплав

золото

серебро

Масса каждого элемента в сплаве

Второй сплав

золото

серебро

Общая масса сплава

0,1х кг

Новый сплав

X кг

Массовая доля элемента

0,4(15-х) кг

золото

серебро

(15- X) кг

0,1

0,2*15=3 кг

0,4

15 кг

0,2

Решение

0,1х + 0,4(15-х) =3

X =10

m (I сплава) =10 (кг)

m (II сплава) =15 – 10 =5 (кг) Ответ: 10 кг, 5 кг.

Вывод

При решении задач следует руководствоваться тем, что при соединении (разъединении) смесей с одним и тем же чистым веществом количества чистого вещества и общие количества смесей складываются (вычитаются). Складывать и вычитать доли и процентные содержания нельзя .

Вывод

  • В ходе проектной деятельности я разделила задачи на растворы и смеси по типам и нашла единый алгоритм решения для каждого из типов, следовательно, моя гипотеза подтвердилась .

Повторный опрос «Можете ли вы решать задачи на растворы?»

ДО:

ПОСЛЕ:

1

3

6

5

14

9

10

Да!

Скорее всего

Затруднились ответить

Конечно!

Скорее всего

Затруднились ответить

Нет

Рефлексия

  • Как видно из результатов опросов, проектная деятельность помогла мне лучше понять сущность процентных задач на растворы и смеси и научила правильно оценивать свои силы.

Список литературы

  • М.В. Лурье и др. Задачи на составление уравнений, изд-во «Наука», М., 1976 г.
  • Н.А. Терёшин Прикладная направленность школьного курса математики, «Просвещение», М., 1990 г.
  • А.В. Шевкин Школьные математические олимпиады, изд-во «Русское слово», 2002г.
  • О. Городнова Статья «Учимся решать задачи на «смеси и сплавы», г-та «Математика» №36 за 2004 г.

Интернет-ресурсы

1. Открытый банк заданий ЕГЭ по математике

http://www.mathege.ru

2. Шабон оформления презентации

http://www.pedsovet.su

kopilkaurokov.ru

решение задач на смеси, растворы и сплавы

Разделы: Математика, Внеклассная работа


Тип урока: урок обобщения систематизации знаний.

Цели урока:

  1. Обобщить решение задач на сплавы, растворы и смеси различными способами.
  2. Воспитывать интерес к предмету через межпредметные связи с химией, обращая внимание на аккуратность, дисциплинированность и самостоятельность.
  3. Развивать устную и письменную речь, внимание и логическое мышление.

Оборудование:

  • компьютер и проектор;
  • тексты задач на смеси, растворы и сплавы для решения в классе и дома.

Подготовка к уроку: повторение способов решения задач на смеси и сплавы.

Комментарий к уроку: использование презентации Microsoft Power Point

План урока:

  1. Оргмомент (сообщение необходимости решения задач на смеси и сплавы, связь темы урока с КИМами ЕГЭ по математике).
  2. Актуализация опорных знаний (повторение определения процента и концентрации).
  3. Закрепление материала (решение задач на смеси, растворы и сплавы разными способами).
  4. Итоги урока. Домашнее задание.

Презентация

Слайд 1: Решение задач на смеси, растворы и сплавы.

Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой. Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы входят в различные сборники заданий по математике ГИА и ЕГЭ.

«Закон сохранения объема или массы»

Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то V = V1 + V2 – сохраняется объем; m = m1+ m2 – сохраняется масса.

Примеры: Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4:7, то в этом сплаве 4/11 частей от массы сплава составляет масса свинца, а 7/11- масса меди.

Немного теории. Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в единицах измерения (грамм, литр и др.)

Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного содержания и общей массы (объему) смеси. Часто относительное содержание вещества в смеси называют концентрацией или процентным содержанием. Сумма концентраций всех компонентов смеси равна 1. Если имеется 40%-й раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема занимает «чистая» соль. Значит, объемная концентрация соли в растворе равна 0,4.

Слайд 2: Задача №1

Смешивают 300г 90%-ного раствора соли 900г 30%-ного раствора той же соли. Определить содержание соли в полученном растворе.

Слайд 3: Задача №2

Какой раствор получится при смешивании 300 граммов 50%-ного раствора соли и раствора, в котором 120 граммов соли составляют 60%?

Слайд 4: Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?

По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.

Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение

 

Аналогично массу серебра и получаем уравнение

 

Записываем одну из систем:

 

Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875

Ответ: 125 г и 875 г.

Слайд 5: Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

х = 140 и у = 60

Ответ: 140 г меди и 60 г свинца

Слайд 6: Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

Решение 1: Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго

(600 - x). Составим уравнение: 30x + 10* (600 - x) = 600 *15

x = 150           

Решение 2: Приравнивание площадей равновеликих прямоугольников: 15x = 5 (600- x)

x =150

Ответ: 150 г 30% и 450 г 10% раствора

Слайд 7: Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить140 т стали с содержанием 30% никеля?

С использованием графика:
(приравнивание площадей равновеликих прямоугольников)

10*х = 25*(140 – х)

х = 100

140 – 100 = 40

Ответ: 100 т и 40 т

Слайд 8: Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?

Так как первый раствор 20 % - й, то в нем 0,2 объема занимает «чистая» кислота. Так как объем первого раствора равен 0,5л, то в этом количестве содержится 0,2*0,5=0,1 л «чистой» кислоты.

Аналогично во втором растворе будет содержаться 0,3*1,5=0,45л «чистой» кислоты.

При смешивании обоих растворов получим 0,5+1,5=2л кислотного раствора, в котором 0,1+0,45=0,55л «чистой» кислоты.

Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе есть отношение 0,55:2=0,275, т.е.27,5%. Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5%

Слайд 9: Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%?

Аналитическая модель:

Переведем проценты в дроби: 6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08

Пусть надо взять х т «бедной» руды, которая будет содержать 0,06х т меди, а «богатой» руды надо взять (20-х) т, которая будет содержать 0,11(20 - х) т меди.

Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08 т меди, то получим уравнение:

0,06х + 0,11(20 - х) = 20*0,08.

Решив уравнение, получим х = 12.

Ответ: 12т руды с 6% содержанием меди

Слайд 10: Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ

У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла ценою 7 гривен?

Из схемы делаем заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого масла 3/4.

Слайд 11: Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ

Некто имеет чай трех сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой 8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен

Слайд 12: Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава.

Пусть проба сплава равна х. Составим диагональную схему:

Получаем: (864 – х): (х – 600) = 75: 150

1728 – 2х = х – 600

х = 776.

Ответ: сплав 776-й пробы.

Слайд 13: «Правило креста»

При решении задач на смешивание растворов разных концентраций используется «правило креста». В точке пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси. У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают концентрации составных частей смеси, а справа – разности концентраций смеси и ее составных частей:

Например, для приготовления 30 г 80%-го раствора h4PO4 требуется взять 20 г 90%-го и 10 г 60%-го растворов кислоты.

Слайд 14: От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков?

Обозначим массу отрезанного куска х (кг). Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операция стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах пропорциональны. Первоначально массы меди в сплавах равны 0,6*3(кг) и 0,8*2(кг). После того, как отрезали куски массой х(кг), содержание меди стало 0,6(3-х) и 0,8(2-х), а после сплавления

0,6(3-х) + 0,8х и 0,8(2-х) +0,6х

х = 1,2

Ответ: 1,2 кг

Слайд 15: Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально?

Обозначим искомую величину за х. Тогда масса первоначального куска латуни 2х – 11, а его

содержание меди составляет  процентов. Поскольку «медность» куска меди 100%, то по правилу квадрата получаем:

Слайд 16: В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?

Обозначим искомую величину за х.

По правилу квадрата получим: Составим пропорцию:

Слайд 17: Тренировочные варианты ЕГЭ - 2009 и задачи на смеси и сплавы (для самостоятельной работы)

1. Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве. Ответ: 65% меди в новом сплаве.

2. Для приготовления маринада необходим 2%-ый раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100г 9%-го раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада? Ответ: 350 г воды

Слайд 18:

«Только из союза двоих, работающих вместе и при помощи друг друга, рождаются великие вещи».
Антуан Де Сент-Экзюпери

При единении и малое растет, при раздоре и величайшее распадается.
Саллюстий Гай Крисп

Домашнее задание:

Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Задача B14: смеси и сплавы

Многие ученики ненавидят эту задачу и даже не пытаются ее решать. И совершенно зря, потому что смеси и сплавы — одни из самых легких задач B14.

Для решения требуется выполнить три простых шага:

  1. Составляем таблицу, в которой указываем общую массу и массу «чистого» вещества для каждой смеси или сплава. Все данные берутся прямо из условия задачи. Например, 50 литров кислоты с концентрацией 15% — это m 0 = 50 литров общей массы и m 1 = 0,15 · 50 = 7,5 литров «чистого» вещества;
  2. Если какие-то ячейки таблицы остались не заполненными, обозначаем их переменными x, y и т.д. Чаще всего в качестве неизвестной величины выступает масса, реже — концентрация;
  3. Составить уравнения по правилу: при объединении двух смесей/сплавов их массы складываются. Другими словами, масса полученной смеси равна сумме масс исходных смесей. Аналогично, складываются массы «чистых» веществ.

Если все сделать правильно, то получится одно-два линейных уравнения. Решаем их — получаем ответ. А вот фиг! После того, как решите уравнение, никогда (слышите, никогда!) не записывайте ответ. Запомните:

Прежде чем записать ответ, вернитесь к задаче и еще раз прочитайте, что требуется найти. Потому что решить уравнение — это еще не значит решить текстовую задачу.

Это правило работает для всех текстовых задач, а не только для B14. Многие ученики сосредотачиваются на решении уравнения, но совершенно забывают, что, собственно, требовалось найти. Получается, что по существу задача решена верно, а ответ — неправильный.

Задача. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора того же вещества. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?

Итак, у нас есть три вещества:

  1. 4 литра 15-процентного раствора;
  2. 6 литров 25-процентного раствора;
  3. Третий раствор с неизвестной концентрацией.

Составим таблицу:

Смесь Общая масса, кг Масса чистого вещества, кг
Раствор 1 (15%) 4 0,15 · 4 = 0,6
Раствор 2 (25%) 6 0,25 · 6 = 1,5
Раствор 3 x y

По условию, нам не дана ни масса нового раствора, ни масса чистого вещества в нем. Поэтому обозначим общую массу x, а массу основного вещества y.

Поскольку при смешивании все массы складываются, получаем уравнения:

4 + 6 = x ⇒ x = 10;
0,6 + 1,5 = y ⇒ y = 2,1.

Уравнения получились настолько простыми, что даже не пришлось составлять систему. Но это еще не ответ! В задаче требуется найти концентрацию нового раствора. Чтобы найти ее, разделим массу чистого вещества на общую массу раствора:

y : x = 2,1 : 10 = 0,21

Итак, доля чистого вещества равна 0,21. Чтобы перевести долю в проценты, умножим на сто:

0,21 · 100 = 21

Задача. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Обозначим массу 30-процентного раствора x, а массу 60-процентного раствора y. Получим таблицу:

Смесь Общая масса, кг Масса чистого вещества, кг
Раствор 1 (30%) x 0,3x
Раствор 2 (60%) y 0,6y
Чистая вода 10 0
Раствор 3 (50%) 10 0,5 · 10 = 5
Смесь «30% + 60% + вода» x + y + 10 0,3x + 0,6y + 0
Смесь «30% + 60% + 50%» x + y + 10 0,3x + 0,6y + 5

По условию, концентрация смеси «30% + 60% + вода» равна 36%. Получаем уравнение:

0,3x + 0,6y + 0 = 0,36 · (x + y + 10)

Аналогично, концентрация смеси «30% + 60% + 50%» равна 41%. Отсюда получаем еще одно уравнение:

0,3x + 0,6y + 5 = 0,41 · (x + y + 10)

Решаем полученную систему, вычитая первое уравнение из второго:

Теперь вспомним, что надо найти. А нужна масса 30-процентного раствора. Та самая, которую мы обозначили за x. Следовательно, x = 60 — это и есть ответ.

В заключение — два слова об уравнениях. Взгляните на задачи, приведенные выше: все уравнения — линейные. Никаких квадратов, никаких дискриминантов и тем более дробно-рациональных выражений. Вот почему задачи на смеси и сплавы считаются очень легкими.

Смотрите также:

  1. Простая задача B14 на смеси и сплавы
  2. Сложная задача B14 на смеси и сплавы
  3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 8 (без производных)
  5. Показательные функции в задаче B15
  6. Формулы приведения: ускоряем вычисления в тригонометрии

www.berdov.com