Как решить функцию f x – Калькулятор онлайн – Найти производную функции (с подробным решением) описание
- Комментариев к записи Как решить функцию f x – Калькулятор онлайн – Найти производную функции (с подробным решением) описание нет
- Советы абитуриенту
Как решить функцию f x
Термин решения функции как таковой в математике не используется. Под данной формулировкой следует понимать выполнение некоторых действий над заданной функцией с целью нахождения какой-то определенной характеристики, а также выяснение необходимых данных для построения графика функции.Инструкция
- Можно рассмотреть примерную схему, по которой целесообразно исследовать поведение функции и строить ее график.
Найдите область определения функции. Определите, является ли функция четной и нечетной. В случае нахождения нужного ответа, продолжите исследование только на требуемой полуоси. Определите, является ли функция периодической. В случае положительного ответа продолжите исследование только на одном периоде. Найдите точки разрыва функции и определите ее поведение в окрестности этих точек. - Найдите точки пересечения графика функции с осями координат. Найдите асимптоты, если они есть. Исследуйте с помощью первой производной функцию на экстремумы и интервалы монотонности. Также проведите исследование с помощью второй производной на выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Выберите точки для уточнения поведения функции и вычислите в них значения функции. Постройте график функции, учитывая полученные результаты по всем проведенным исследованиям.
- На оси 0Х следует выделить характерные точки: точки разрыва, х=0 , нули функции, точки экстремума, точки перегиба. В этих точках вычислите значения функции (если они существуют) и на плоскости 0xy отметьте соответствующие точки графика, а также точки, выбранные для уточнения. Линия, проведенная через все построенные точки с учетом интервалов монотонности, направлений выпуклости и асимптот, и даст эскиз графика функции.
- Так, на конкретном примере функции y=((x^2)+1)/(x-1) проведите исследование с помощью первой производной. Перепишите функцию в виде y=x+1+2/(x-1). Первая производная будет равна y’=1-2/((x-1)^2).
Найдите критические точки первого рода: y’=0, (x-1)^2=2, в результате получатся две точки: x1=1-sqrt2, x2=1+sqrt2. Отметьте полученные значения на области определения функции (рис. 1).
Определите знак производной на каждом из интервалов. На основе правила чередования знаков от «+» к «-» и от «-» к «+», получите, что точка максимума функции x1=1-sqrt2, а точка минимума x2=1+sqrt2. Этот же вывод можно сделать и по знаку второй производной.
completerepair.ru
Примеры обратных функций | Математика
Обратная функция — функция y=g(x), которая получается из данной функции y=f(x), если из отношения x=f(y) выразить y через x.
Чтобы для данной функции y=f(x) найти обратную, надо:
1.В соотношении y=f(x) заменить x на y, а y — на x: x=f(y) .
2.В полученном выражении x=f(y) выразить y через x.
Функции f(x) и g(x) — взаимно обратны.
Примеры нахождения обратных функций:
1) y=3x-8
1. x=3y-8
2. 3y=x+8
y=(x+8)/3.
2) y=11-5x
1. x=11-5y
2. 5y=11-x
y=(11-x)/5.
Область определения и область значений функций f и g меняются местами: область определения f является областью значений g, а область значений f — областью определения g.
Не для всякой функции можно указать обратную. Условие обратимости функции — ее монотонность, то есть функция должна только возрастать или только убывать. Если функция не монотонна на всей области определения, но монотонная на некотором промежутке, тогда можно задать обратную ей функцию только на этом промежутке.
Пример обратных функций, заданных на промежутке.
y=x².
Это — квадратичная функция. Она убывает на промежутке (-∞;0), и
возрастает на промежутке (0;∞). Возьмем промежуток [0;∞). На этом промежутке функция монотонна, поэтому обратима. Ищем обратную функцию.
1. x=y²
2. y=√x.
y=x² и y=√x на [0;∞) — взаимно обратные функции.
Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой y=x.
www.matematika.uznateshe.ru
Обратная функция | Алгебра
Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?
Определение.
Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.
Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.
Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:
1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:
x=f(y).
y=g(x).
Пример.
Найти функцию, обратную функции y=2x-6.
1) x=2y-6
2) -2y=-x-6
y=0,5x+3.
Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).
y=2x-6 и y=0,5x+3 — линейные функции. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой берём две точки.
Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой).
Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)
Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.
Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.
Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.
Классический пример — функция y=x². На промежутке [0;∞) функция возрастает. Условие обратимости выполнено, следовательно, можем искать обратную функцию.
Так как область определения функции y=x² — промежуток [0;∞), область значений на этом промежутке — также [0;∞), то область определения и область значений обратной функции — также [0;∞).
1) x=y².
2)
Так как y≥0, то
то есть на промежутке [0;∞) y=√x — функция, обратная к функции y=x². Их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей:
В алгебре наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
www.algebraclass.ru
