Вызвать Обратить_Матрицу(@a,n)

* “Выводим обратную матрицу”

Вызвать Печать_Системы(@a,@b,n,dec)

Печать” Конец программы “

Определить Процедуру Обратить_Матрицу

Параметры a,n

Определить Локальный Массив c(n,n),b(n),x(n)

Определить Локальную Переменную i,j,k,l,m

Цикл по j от 1 до n

Цикл по k от 1 до n

b(k)=0

Конец Цикла

b(j)=1

Вызвать Метод_Гаусса(@a,@b,@x,n)

FOR k=1 TO n

c(k,j)=x(k)

Конец Цикла

Конец Цикла

Цикл по i от 1 до n

Цикл по j от 1 до n

a(i,j)=c(i,j)

Конец Цикла

Конец Цикла

Конец Определения Процедуры

Определить Функцию Случ_Матирица

Параметры a,n,lb,ub,dec,prnt

Определить Массив a(n,n)

Цикл по i от 1 до n

Цикл по j от 1 до n

a(i,j)=(ub-lb)*Случайный()+lb

a(i,j)=Округлить(a(i,j),dec)

Конец Цикла

Конец Цикла

Если prnt=1 Тогда

Цикл по i от 1 до n

Цикл по j от 1 до n

Печать a(i,j)

Конец Цикла

Печать

Конец Цикла

Конец Если

Возврат

Конец Определения Функции

Определить Функцию Случ_Вектор

Параметры a,n,lb,ub,dec,prnt

Определить Массив a(n)

Цикл по i от 1 до n

a(i)=(ub-lb)*Случайный()+lb

a(i)=Округлить(a(i),dec)

Конец Цикла

Если prnt=1 Тогда

Цикл по i от 1 до n

Печать a(i)

Конец Цикла

Конец Если

Конец Определения Функции

Определить Функцию Метод_Гаусса

Параметры a_tmp,b,x,n

Определить локальный Массив a(n,n)

Цикл по j от 1 до n

Цикл по i от 1 до n

a(i,j)=a_tmp(i,j)

Конец Цикла

Конец Цикла

* приводим к треугольному виду

Цикл по k от 1 до n-1

Цикл по l от k+1 до n

p=a(l,k)/a(k,k)

Цикл по m от k до n

a(l,m)=a(l,m)-a(k,m)*p

Конец Цикла

b(l)=b(l)-b(k)*p

Конец Цикла

Конец Цикла

* вычисляем x

Цикл по k от n до 1 с шагом -1

s=0

Цикл по l от k+1 до n

s=s+a(k,l)*x(l)

Конец Цикла

x(k)=(b(k)-s)/a(k,k)

Конец Цикла

Возврат

Конец Определения Функции

Определить Функцию Печать_Системы

Параметры a,b,n,dec

Цикл по i от 1 до n

Цикл по j от 1 до n

Печать a(i,j)

Конец Цикла

Печать ” :” + b(i)

Конец Цикла

Возврат

Конец Определения Функции

Пример реализации алгоритма вычисления обратной матрицы NxN методом Гаусса на VFP:

CLEAR

lb=-0.5

ub=0.5

dec=6

n=3

DIMENSION a(n,n),x(n),b(n)

* формируем матрицу коэффициентов уравнения и выводим их на печать

? ” Матрица коэффициентов a(n,n)”

CreateRNDMartix(@a,n,lb,ub,dec,1)

?

* формируем правую часть системы и выводим ее на печать

?” Правые частии системы b(n)”

CreateRNDVector(@b,n,lb,ub,dec,1)

?

* “Выводим коэффициенты исходной системы”

PrintSystem(@a,@b,n,dec)

* “Находим обратную матрицу методом Гаусса”

Reverse_Matrix(@a,n)

?

* “Выводим обратную матрицу”

PrintSystem(@a,@b,n,dec)

?

?” Конец программы !!!”

PROCEDURE Reverse_Matrix

LPARAMETERS a,n

LOCAL ARRAY c(n,n),b(n),x(n)

LOCAL i,j,k,l,m

FOR j=1 TO n

FOR k=1 TO n

b(k)=0

ENDFOR

b(j)=1

Gauss_Classic(@a,@b,@x,n)

FOR k=1 TO n

c(k,j)=x(k)

ENDFOR

ENDFOR

FOR i=1 TO n

FOR j=1 TO n

a(i,j)=c(i,j)

ENDFOR

ENDFOR

ENDPROC

FUNCTION CreateRNDMartix

LPARAMETERS a,n,lb,ub,dec,prnt

FOR i=1 TO n

FOR j=1 TO n

a(i,j)=(ub-lb)*RAND()+lb

a(i,j)=ROUND(a(i,j),dec)

ENDFOR

ENDFOR

IF prnt=1 then

?

FOR i=1 TO n

FOR j=1 TO n

?? a(i,j)

ENDFOR

?

ENDFOR

ENDIF

RETURN

ENDFUNC

FUNCTION CreateRNDVector

LPARAMETERS a,n,lb,ub,dec,prnt

FOR i=1 TO n

a(i)=(ub-lb)*RAND()+lb

a(i)=ROUND(a(i),dec)

ENDFOR

IF prnt=1 then

FOR i=1 TO n

? a(i)

ENDFOR

ENDIF

ENDFUNC

FUNCTION Gauss_Classic

LPARAMETERS a_tmp,b,x,n

LOCAL ARRAY a(n,n)

FOR j=1 TO n

FOR i=1 TO n

a(i,j)=a_tmp(i,j)

ENDFOR

ENDFOR

* приводим к треугольному виду

FOR k=1 TO n-1

FOR l=k+1 TO n

p=a(l,k)/a(k,k)

FOR m=k TO n

a(l,m)=a(l,m)-a(k,m)*p

ENDFOR

b(l)=b(l)-b(k)*p

ENDFOR

ENDFOR

* вычисляем x

FOR k=n TO 1 STEP -1

s=0

FOR l=k+1 TO n

s=s+a(k,l)*x(l)

ENDFOR

x(k)=(b(k)-s)/a(k,k)

ENDFOR

RETURN

ENDFUNC

FUNCTION PrintSystem

LPARAMETERS a,b,n,dec

FOR i=1 TO n

?

FOR j=1 TO n

?? STR(a(i,j),dec*2+2,dec)

ENDFOR

?? ” :” + STR(b(i),dec*2+2,dec)

ENDFOR

RETURN

ENDFUNC

В данной реализация использован прием формирования матрицы коэффициентов системы уравнений случайным образом из заданного диапазона, при этом границы диапазона определяются значениями lb (low bound – нижняя граница) и ub (upper bound – верхняя граница).

Запись Округлить() и Случайный() означают соответственно вызовы стандартных встроенных функций округления и возврата псевдослучайного значения из диапазона от 0 до 1.

Пример реализации алгоритма вычисления обратной матрицы nxn методом Гаусса на VBA:

Sub Find_Reverse_Matrix()

Dim a(), b(), x()

n = 3

dec = 4

ReDim a(n, n): ReDim b(n): ReDim x(n)

Call Read_Matrix(“C:\Temp\system.txt”, a(), b(), n)

‘ Выводим на экран исходную систему

Call Print_Matrix(a(), b(), n, dec)

‘ Вычисляем обратную матрицу методом Гаусса

Call Reverse_Matrix(a(), b(), x(), n)

‘ “Выводим обратную матрицу”

Call Print_Matrix(a(), b(), n, dec)

MsgBox “Конец программы !!!”

End Sub

Sub Reverse_Matrix(a(), b(), x(), n)

Dim i, j, k, l, m

Dim c()

ReDim c(n, n)

For j = 1 To n

For k = 1 To n

b(k) = 0

Next k

b(j) = 1

Call Gauss_Classic(a(), b(), x(), n)

For k = 1 To n

c(k, j) = x(k)

Next k

Next j

For i = 1 To n

For j = 1 To n

a(i, j) = c(i, j)

Next j

Next i

End Sub

Sub Gauss_Classic(a_tmp(), b(), x(), n)

Dim i, j, k, l, m

Dim a()

Redim a(n,n)

a()=a_tmp()

‘ приводим к треугольному виду

For k = 1 To n – 1

For l = k + 1 To n

p = a(l, k) / a(k, k)

For m = k To n

a(l, m) = a(l, m) – a(k, m) * p

Next m

b(l) = b(l) – b(k) * p

Next l

Next k

‘ вычисляем x

For k = n To 1 Step -1

s = 0

For l = k + 1 To n

s = s + a(k, l) * x(l)

Next l

x(k) = (b(k) – s) / a(k, k)

Next k

End Sub

Sub Read_Matrix(file_path, a(), b(), n)

Dim s, s1, i, j

nf = FreeFile

Open file_path For Input As #nf

For i = 1 To n

pos1 = 1

Input #nf, s

For j = 1 To n

pos2 = InStr(pos1, s, “;”)

s1 = Mid(s, pos1, pos2 – pos1)

a(i, j) = Val(s1)

pos1 = pos2 + 1

Next j

pos2 = InStr(pos1, s, “;”)

s1 = Mid(s, pos1, pos2 – pos1)

b(i) = Val(s1)

Next i

Close #nf

End Sub

Sub Print_Matrix(a(), b(), n, dec)

Dim i

Dim DStr, str

DStr = “0.”

For i = 1 To dec

DStr = DStr + “0”

Next i

str = “”

For i = 1 To n

str = str & vbCrLf

For j = 1 To n

str = str & Format(a(i, j), DStr) & ” : “

Next j

str = str & ” : ” & Format(b(i), DStr)

Next i

Debug.Print str

End Sub

Данная реализация алгоритма использует чтение коэффициентов системы уравнений из текстового файла. Текстовый файл, например, для системы с тремя уравнениями, должен быть следующего вида:

“0.34;0.71;0.63;2.08;”

“0.71;-0.36;-0.18;0.17;”

“1.17;-2.35;0.75;1.28;”

т.е. в каждой строке файла записываются коэффициенты первой строки системы (i=1, a(i,j), b(i)), при этом вся строка заключена в кавычки (т.е. рассматривается VBA как текстовая строка) и после каждого коэффициента ставиться разделитель – точка с запятой (;).

Контрольные вопросы

1. Что такое система линейных уравнений?

2. Что такое решение системы линейных уравнений?

3. Что такое совместность и полнота системы линейных уравнений?

4. Что такое вырожденная система линейных уравнений?

5. Что такое определитель матрицы системы линейных уравнений?

6. Что такое однородная система линейных уравнений?

7. Что такое собственные значения матрицы?

8. Что такое характеристическая функция системы линейных уравнений?

9. Привести алгоритм табуляции характеристической функции системы линейных уравнений.

10. Как найти собственный вектор системы линейных уравнений?

11. Как найти ненулевое решение однородной системы линейных алгебраических уравнений?

12. Привести алгоритм решения системы линейных уравнений методом простой итерации.

13. В чем состоит условие сходимости метода простой итерации для системы линейных уравнений?

14. Как определить точность вычисления решений системы линейных уравнений методом простой итерации?

15. Привести алгоритмы вычисления разностей векторов и длин разностей векторов (норм).

16. Привести алгоритм определения степени сходимости метода простой итерации для системы линейных уравнений.

17. Привести алгоритм модифицированного (с параметром, улучшающим сходимость) метода простой итерации для системы линейных уравнений.

18. Привести алгоритм метода Гаусса-Зейделя.

19. Привести алгоритм обращения матрицы nxn.

Задания

Методами Зейделя и Гаусса-Зейделя решить с точностью до 0,001 систему линейных уравнений. Численным методом найти обратные матрицы к матрицам коэффициентов систем линейных уравнений. Матрицы коэффициентов и векторы правых частей считывать из:

а) текстовых файлов;

б) dbf-таблицы;

в) MS’Excel;

г) MS’Word.

cyberpedia.su

Обратная матрица методом Гаусса | Численные методы на Python

Для получения матрицы будем исходить из того, что она является решением уравнения , где – единичная матрица. Представим искомую матрицу как набор векторов-столбцов img а единичную матрицу как набор единичных векторов img Матричное уравнение в соответствии с правилами умножения матриц возможно заменить не связанной между собой системой уравнений img Каждое из этих уравнений может быть решено методом Гаусса. Заметим то обстоятельство, что все СЛАУ имеют одну и ту же матрицу коэффициентов, поэтому

Суть метода Гаусса-Жордана заключается в том, что если с единичной матрицей провести элементарные преобразования, которыми невырожденная квадратная матрица приводится к , то получится обратная матрица . Для отображения всех элементарных преобразований, совершающихся над матрицей , на единичную матрицу , удобно “склеить” две матрицы в одну. Если матрицы и имели размер , то склеенная матрица будет иметь размер . Таким образом, все преобразования над матрицей (перестановка строк, умножение строки на константу) будут автоматически совершаться и над единичной матрицей). Обозначим склеенную матрицу как Приведение матрицы к единичной совершается в два этапа: на первом этапе будем двигаться “сверху-вниз”, получая в итоге треугольную матрицу, с единицами на главной диагонали и нулями ниже. На втором этапе будем двигаться “снизу-вверх”, преобразуя элементы, лежащие выше главной диагонали к нулю, тем самым добиваясь единичной матрицы в результате.

Прямой ход

Пусть матрица имеет размер . Тогда на первом этапе будет совершено шагов. На каждом шаге необходимо совершить три действия.

1. Поменять местами строки и , в случае если . Этот шаг необходим для исключения ситуации нахождения на главной диагонали 0.
2. Преобразовать элемент, стоящий на главной диагонали к 1. Для этого необохдимо домножить всю строку на .
3. Обнулить все нижележащие элементы столбца. Для этого вычтем из каждой нижележащей строки c индексом результат умножения элемента c текущей строкой. Напомним, что в результате шага 2 первый элемент 1, поэтому первым элементом вычитаемой строки будет являться значение первого элемента строки , что и даст 0 в элементе

Обратный ход

Теперь необходимо преобразовать матрицу так, чтобы все элементы n-ого столбца выше стали равны нулю. Для этого прибавляем к n-1 строке соответсвующие элементы n-ой строки, умноженные на . К n-2 строке прибавляем соответсвующие элементы (n-1)-ой строки, умноженные на и т.д. Аналогичные действия необходимо совершить над оставшимися строками.

Реализация

Приведем реализацию функции inverse, принимающей в качестве аргумента исходную матрицу коэффициентов, и возвращающую матрицу, обратную к исходной. Склеим матрицу коэффициентов с единичной матрицей с помощью функции hstack

m = np.hstack((matrix_origin, 
                np.matrix(np.diag([1.0 for i in range(matrix_origin.shape[0])]))))

Прямой ход

    for k in range(n):
        
        swap_row = pick_nonzero_row(m, k)
        if swap_row != k:
            m[k, :], m[swap_row, :] = m[swap_row, :], np.copy(m[k, :])
        
        if m[k, k] != 1:
            m[k, :] *= 1 / m[k, k]
        
        for row in range(k + 1, n):
            m[row, :] -= m[k, :] * m[row, k]

Для проверки первгого условия реализуем вспомогательную функцию pick_non_zero_row, возвращающую индекс первой строки, в которой элемент интересующего нас столбца не равен нулю

def pick_nonzero_row(m, k):
    while k < m.shape[0] and not m[k, k]:
        k += 1
    return k

Обратный ход

    for k in range(n - 1, 0, -1):
        for row in range(k - 1, -1, -1):
            if m[row, k]:
                
                m[row, :] -= m[k, :] * m[row, k]

Возвратим преобразованную единичную матрицу, т.е. вторую часть “склееного” массива, воспользовавшись функцией hsplit

return np.hsplit(m, n // 2)[1]

orion1401.gitbooks.io

Матрицы Метод Гаусса

1-ый учебный вопрос               ДЕЙСТВИЯ  НАД  МАТРИЦАМИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.   Прямоугольная  таблица из m,  n чисел, содержащая  m – строк  и   n – столбцов, вида:

называется     матрицей  размера    m ´ n
Числа, из которых составлена матрица, называются  элементами матрицы.
Положение элемента а_ij  в матрице характеризуются двойным индексом:
          первый  i – номер строки;
          второй  j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…
Коротко можно записывать так:    .zip” v:shapes=”_x0000_i1026″>
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.   Матрица,  у  которой  число  строк равно числу столбцов, т.е.  m = n ,  называется    квадратной.
Число  строк  (столбцов)  квадратной  матрицы   называется порядком      матрицы.
ПРИМЕР.
         
ЗАМЕЧАНИЕ 1.  Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются другие объекты, например, функции, векторы.
ЗАМЕЧАНИЕ 2.  Матрица – специальное математическое понятие. С помощью матриц удобно записывать различные преобразования, линейные системы и т.д., поэтому матрицы часто встречаются в математической и технической литературе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.   Матрица   размера   1 ´ n,   состоящая  из  одной   строки,  называется    матрицей – строкой.                                   
   Матрица  размера  т ´ 1,   состоящая   из  одного   столбца, называется     матрицей – столбцом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.    Нулевой  матрицей  называют   матрицу,  все  элементы   которой   равны   нулю.
Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:
                                                                            побочная диагональ

                                                                                                                                             главная диагональ
Диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого элемента таблицы к правому нижнему, называется  главной  диагональю  матрицы  (на главной диагонали стоят элементы вида  а _ii).
Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, называется побочной диагональю матрицы.
Рассмотрим некоторые частные виды квадратных матриц.
1)     Квадратная матрица называется  диагональной, если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю.

2)     Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется  единичной. Обозначается:

3)     Квадратная матрица называется  треугольной,  если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:
                                                      
                                            верхняя                                   нижняя      
                                треугольная  матрица            треугольная  матрица
Для квадратной матрицы вводится понятие: определитель матрицы. Это определитель, составленный из элементов матрицы. Обозначается:

Ясно, что определитель единичной матрицы равен 1:   ½Е½ = 1
ЗАМЕЧАНИЕ.   Неквадратная матрица определителя не имеет.
Если определитель квадратичной матрицы отличен от нуля, то матрица называется    невырожденной,  если определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.     Матрица,  полученная  из  данной  заменой  ее строк  столбцами  с  теми  же   номерами,   называется   транспонированной  к  данной.
Матрицу, транспонированную к  А, обозначают  А^Т.
ПРИМЕР.
                 
                                          2  3                                       3  2
                                                 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  Две матрицы одного и того же размера называются равными, если равны все их соответственные элементы.
Рассмотрим  действия над матрицами.
СЛОЖЕНИЕ  МАТРИЦ.
Операция сложения вводится только для матриц одинакового размера.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.    Суммой двух матриц А = (а_ij) и  В = (b_ij)  одинакового  размера называется матрица  С = (с_ij)  того же размера,   элементы которой равны  суммам  соответствующих  элементов  слагаемых   матриц, т.е.     с _{i j  =}  a _{i  j} + b _{i  j}
Обозначается  сумма  матриц  А + В.
ПРИМЕР.

УМНОЖЕНИЕ  МАТРИЦ  НА  ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ  ЧИСЛО
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Чтобы умножить матрицу на число k,  надо умножить   на это число каждый элемент  матрицы:
если А= (а_ij), то k · A= (k · a_ij)
                ПРИМЕР.

СВОЙСТВА   СЛОЖЕНИЯ   МАТРИЦ   И  УМНОЖЕНИЯ  НА  ЧИСЛО
1. Переместительное свойство:       А + В = В + А
2. Сочетательное свойство:             ( А + В ) + С = А + ( В + С )
3. Распределительное свойство:     k · ( A + B ) = k A + k B, где  k  – число
УМНОЖЕНИЕ  МАТРИЦ
Матрицу А назовем   с о г л а с о в а н н о й   с матрицей  В , если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В , т.е. для согласованных матриц матрица А имеет размер m ´ n , матрица В  имеет размер n ´ k . Квадратные матрицы согласованы, если они одного порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Произведением матрицы А размера m ´ n на матрицу В размера n ´ k  называется матрица С размера   m ´ k,  элемент которой а_ij,  расположенный  в  i –ой строке и  j – ом столбце, равен сумме   произведений   элементов   i – ой  строки  матрицы  А   на соответствующие   элементы   j – столбца   матрицы  В,   т.е. 
c_ij= a _{i 1}  b _{1 j} + a_{i 2} b _{2 j} +……+ a_inb_nj
Обозначим:    С = А ·  В.
Если   то
         
Произведение В ´ А не имеет смысла, т.к. матрицы  не согласованы.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.            Если  А ´ В имеет смысл, то В ´ А может не иметь смысла.
ЗАМЕЧАНИЕ 2.            Если имеет смысл А ´ В и В ´ А, то, вообще говоря
А ´ В ¹ В ´ А,  т.е. умножение матриц не обладает   переместительным законом.
          ЗАМЕЧАНИЕ 3.    Если А – квадратная матрица и Е – единичная матрица того же  порядка, то А ´ Е = Е ´ А = А.
Отсюда  следует, что единичная матрица при умножении играет роль единицы.
ПРИМЕРЫ.   Найти , если можно, А ´ В и В ´ А.
1.    
Решение: Квадратные матрицы одного и того же второго порядка согласованы в томи другом порядке, поэтому А ´ В и В ´ А существуют.

2. 
Решение:   Матрицы А и  В согласованы
         
Матрицы В и  А не согласованы,  поэтому В ´ А  не  имеет смысла.
Отметим, что в результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица–множимое и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.
СВОЙСТВА  УМНОЖЕНИЯ  МАТРИЦ
1.     Сочетательное свойство: А ´ ( В ´ С ) = (А ´ В ) ´С
2.     Распределительное свойство:  (А + В) ´ С =  А ´ С +  В ´С
Можно показать, что , если А и В – две квадратные матрицы одного порядка с определителями ½ А ½ и ½ В ½, то определитель матрицы С = А ´ В равен произведению определителей перемножаемых матриц, т.е.
½С½ = ½ А ½ ½ В ½
Отметим следующий любопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т.е. произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль – матрице.
Действие “деление” для матриц не вводится. Для квадратных невырожденных матриц вводится обратная матрица. С понятием обратной матрицы можно познакомиться в рекомендуемой литературе.

2 – ой учебный вопрос        РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
     УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА
Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) применим для решения систем линейных уравнений, в которых число неизвестных может быть либо равно числу уравнений, либо отлично от него.
Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
                                                                    
x₁ , x₂,  …,  x_n – неизвестные.
a_ij– коэффициенты при неизвестных.
b_i – свободные члены (или правые части)
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.
Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:
1.     перемена местами двух любых уравнений;
2.     умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;
3.     прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.
Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную ей.
Элементарные преобразования системы используются в методе Гаусса.
Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:
Дана система:
                            ( 1 )
1-ый шаг метода Гаусса.
На первом шаге исключим неизвестное х₁ из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а₁₁. Получим уравнение:
                             
                                             ( 2 )
где
Исключим х₁ из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение  (2), умноженное на коэффициент при х₁ (соответственно а₂₁ и а₃₁).
Система примет вид:
                                                  ( 3 )
Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы.
2-ой шаг метода Гаусса.
На втором шаге исключим неизвестное х₂из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение:
                                                           ( 4 )
где 
Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение:
                                    
Предполагая, что находим
                            
В результате преобразований система приняла вид:
                                                                 (5)
                            
Система вида (5) называется треугольной.
Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение  неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.
Для этого найденное значение  х₃  подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х₂.  Затем х₂  и  х₃  подставляют в первое уравнение и находят х₁.
В общем случае для системы т линейных уравнений с п неизвестными проводятся аналогичные преобразования. На каждом шаге исключается одно из неизвестных из всех уравнений, расположенных ниже ведущего уравнения.
Отсюда другое называние метода Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.
Если  в  ходе  преобразований  системы  получается  противоречивое  уравнение  вида 0 = b, где b ¹ 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет.
В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному  или к  ступенчатому  виду.
Треугольная система  имеет вид:

Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода гаусса.
Ступенчатая система имеет вид:

Такая система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы найти эти решения, во всех уравнениях системы члены с неизвестными х_k+1,  … , x_k переносят в правую часть. Эти неизвестные называются свободными  и придают им произвольные значения. Из полученной треугольной системы находим х₁, … , x_k, которые будут выражаться через свободные неизвестные. Подробнее об этом можно узнать в рекомендуемой литературе.
Рассмотренный метод Гаусса легко программируется на ЭВМ и является более экономичным (по числу действий),  чем другие методы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренные на лекции матрицы являются удобным инструментом для записи различных математических преобразований и широко используется в научно-технической литературе. Метод Гаусса позволяет решать любые линейные системы, он находит широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ для ЭВМ.
доцент                                  Смирнова А.И.

referatnatemu.com

Матрицы Метод Гаусса

1-ый учебный вопрос               ДЕЙСТВИЯ  НАД  МАТРИЦАМИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.   Прямоугольная  таблица из m,  n чисел, содержащая  m – строк  и   n – столбцов, вида:

называется     матрицей  размера    m ´ n
Числа, из которых составлена матрица, называются  элементами матрицы.
Положение элемента а_ij  в матрице характеризуются двойным индексом:
          первый  i – номер строки;
          второй  j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…
Коротко можно записывать так:   
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.   Матрица,  у  которой  число  строк равно числу столбцов, т.е.  m = n ,  называется    квадратной.
Число  строк  (столбцов)  квадратной  матрицы   называется порядком      матрицы.
ПРИМЕР.
         
ЗАМЕЧАНИЕ 1.  Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются другие объекты, например, функции, векторы.
ЗАМЕЧАНИЕ 2.  Матрица – специальное математическое понятие. С помощью матриц удобно записывать различные преобразования, линейные системы и т.д., поэтому матрицы часто встречаются в математической и технической литературе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.   Матрица   размера   1 ´ n,   состоящая  из  одной   строки,  называется    матрицей – строкой.                                   
   Матрица  размера  т ´ 1,   состоящая   из  одного   столбца, называется     матрицей – столбцом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.    Нулевой  матрицей  называют   матрицу,  все  элементы   которой   равны   нулю.
Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:
                                                                            побочная диагональ

                                                                                                                                             главная диагональ
Диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого элемента таблицы к правому нижнему, называется  главной  диагональю  матрицы  (на главной диагонали стоят элементы вида  а _ii).
Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, называется побочной диагональю матрицы.
Рассмотрим некоторые частные виды квадратных матриц.
1)     Квадратная матрица называется  диагональной, если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю.

2)     Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется  единичной. Обозначается:

3)     Квадратная матрица называется  треугольной,  если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:
                                                      
                                            верхняя                                   нижняя      
                                треугольная  матрица            треугольная  матрица
Для квадратной матрицы вводится понятие: определитель матрицы. Это определитель, составленный из элементов матрицы. Обозначается:

Ясно, что определитель единичной матрицы равен 1:   ½Е½ = 1
ЗАМЕЧАНИЕ.   Неквадратная матрица определителя не имеет.
Если определитель квадратичной матрицы отличен от нуля, то матрица называется    невырожденной,  если определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.     Матрица,  полученная  из  данной  заменой  ее строк  столбцами  с  теми  же   номерами,   называется   транспонированной  к  данной.
Матрицу, транспонированную к  А, обозначают  А^Т.
ПРИМЕР.
                 
                                          2  3                                       3  2
                                                 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  Две матрицы одного и того же размера называются равными, если равны все их соответственные элементы.
Рассмотрим  действия над матрицами.
СЛОЖЕНИЕ  МАТРИЦ.
Операция сложения вводится только для матриц одинакового размера.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.    Суммой двух матриц А = (а_ij) и  В = (b_ij)  одинакового  размера называется матрица  С = (с_ij)  того же размера,   элементы которой равны  суммам  соответствующих  элементов  слагаемых   матриц, т.е.     с _{i j  =}  a _{i  j} + b _{i  j}
Обозначается  сумма  матриц  А + В.
ПРИМЕР.

УМНОЖЕНИЕ  МАТРИЦ  НА  ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ  ЧИСЛО
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Чтобы умножить матрицу на число k,  надо умножить   на это число каждый элемент  матрицы:
если А= (а_ij), то k · A= (k · a_ij)
                ПРИМЕР.

СВОЙСТВА   СЛОЖЕНИЯ   МАТРИЦ   И  УМНОЖЕНИЯ  НА  ЧИСЛО
1. Переместительное свойство:       А + В = В + А
2. Сочетательное свойство:             ( А + В ) + С = А + ( В + С )
3. Распределительное свойство:     k · ( A + B ) = k A + k B, где  k  – число
УМНОЖЕНИЕ  МАТРИЦ
Матрицу А назовем   с о г л а с о в а н н о й   с матрицей  В , если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В , т.е. для согласованных матриц матрица А имеет размер m ´ n , матрица В  имеет размер n ´ k . Квадратные матрицы согласованы, если они одного порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Произведением матрицы А размера m ´ n на матрицу В размера n ´ k  называется матрица С размера   m ´ k,  элемент которой а_ij,  расположенный  в  i –ой строке и  j – ом столбце, равен сумме   произведений   элементов   i – ой  строки  матрицы  А   на соответствующие   элементы   j – столбца   матрицы  В,   т.е. 
c_ij= a _{i 1}  b _{1 j} + a_{i 2} b _{2 j} +……+ a_inb_nj
Обозначим:    С = А ·  В.
Если   то
         
Произведение В ´ А не имеет смысла, т.к. матрицы  не согласованы.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.            Если  А ´ В имеет смысл, то В ´ А может не иметь смысла.
ЗАМЕЧАНИЕ 2.            Если имеет смысл А ´ В и В ´ А, то, вообще говоря
А ´ В ¹ В ´ А,  т.е. умножение матриц не обладает   переместительным законом.
          ЗАМЕЧАНИЕ 3.    Если А – квадратная матрица и Е – единичная матрица того же  порядка, то А ´ Е = Е ´ А = А.
Отсюда  следует, что единичная матрица при умножении играет роль единицы.
ПРИМЕРЫ.   Найти , если можно, А ´ В и В ´ А.
1.    
Решение: Квадратные матрицы одного и того же второго порядка согласованы в томи другом порядке, поэтому А ´ В и В ´ А существуют.

2. 
Решение:   Матрицы А и  В согласованы
         
Матрицы В и  А не согласованы,  поэтому В ´ А  не  имеет смысла.
Отметим, что в результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица–множимое и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.
СВОЙСТВА  УМНОЖЕНИЯ  МАТРИЦ
1.     Сочетательное свойство: А ´ ( В ´ С ) = (А ´ В ) ´С
2.     Распределительное свойство:  (А + В) ´ С =  А ´ С +  В ´С
Можно показать, что , если А и В – две квадратные матрицы одного порядка с определителями ½ А ½ и ½ В ½, то определитель матрицы С = А ´ В равен произведению определителей перемножаемых матриц, т.е.
½С½ = ½ А ½ ½ В ½
Отметим следующий любопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т.е. произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль – матрице.
Действие “деление” для матриц не вводится. Для квадратных невырожденных матриц вводится обратная матрица. С понятием обратной матрицы можно познакомиться в рекомендуемой литературе.

2 – ой учебный вопрос        РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
     УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА
Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) применим для решения систем линейных уравнений, в которых число неизвестных может быть либо равно числу уравнений, либо отлично от него.
Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
                                                                    
x₁ , x₂,  …,  x_n – неизвестные.
a_ij– коэффициенты при неизвестных.
b_i – свободные члены (или правые части)
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.
Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:
1.     перемена местами двух любых уравнений;
2.     умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;
3.     прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.
Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную ей.
Элементарные преобразования системы используются в методе Гаусса.
Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:
Дана система:
                            ( 1 )
1-ый шаг метода Гаусса.
На первом шаге исключим неизвестное х₁ из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а₁₁. Получим уравнение:
                             
                                             ( 2 )
где
Исключим х₁ из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение  (2), умноженное на коэффициент при х₁ (соответственно а₂₁ и а₃₁).
Система примет вид:
                                                  ( 3 )
Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы.
2-ой шаг метода Гаусса.
На втором шаге исключим неизвестное х₂из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение:
                                                           ( 4 )
где 
Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение:
                                    
Предполагая, что находим
                            
В результате преобразований система приняла вид:
                                                                 (5)
                            
Система вида (5) называется треугольной.
Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение  неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.
Для этого найденное значение  х₃  подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х₂.  Затем х₂  и  х₃  подставляют в первое уравнение и находят х₁.
В общем случае для системы т линейных уравнений с п неизвестными проводятся аналогичные преобразования. На каждом шаге исключается одно из неизвестных из всех уравнений, расположенных ниже ведущего уравнения.
Отсюда другое называние метода Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.
Если  в  ходе  преобразований  системы  получается  противоречивое  уравнение  вида 0 = b, где b ¹ 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет.
В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному  или к  ступенчатому  виду.
Треугольная система  имеет вид:

Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода гаусса.
Ступенчатая система имеет вид:

Такая система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы найти эти решения, во всех уравнениях системы члены с неизвестными х_k+1,  … , x_k переносят в правую часть. Эти неизвестные называются свободными  и придают им произвольные значения. Из полученной треугольной системы находим х₁, … , x_k, которые будут выражаться через свободные неизвестные. Подробнее об этом можно узнать в рекомендуемой литературе.
Рассмотренный метод Гаусса легко программируется на ЭВМ и является более экономичным (по числу действий),  чем другие методы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренные на лекции матрицы являются удобным инструментом для записи различных математических преобразований и широко используется в научно-технической литературе. Метод Гаусса позволяет решать любые линейные системы, он находит широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ для ЭВМ.
доцент                                  Смирнова А.И.

baza-referat.ru