Порядок дифференциального уравнения – Как определить тип дифференциального уравнения 🚩 как определять вид уравнения первого порядка 🚩 Математика
- Комментариев к записи Порядок дифференциального уравнения – Как определить тип дифференциального уравнения 🚩 как определять вид уравнения первого порядка 🚩 Математика нет
- Советы абитуриенту
Порядок – дифференциальное уравнение – Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Порядок – дифференциальное уравнение
Cтраница 1
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производной, содержащейся в этом уравнении. [1]
Порядок дифференциальных уравнений определяется числом независимых переменных состояния. Формально порядок дифференциальных уравнений можно определить как разность между числом переменных состояния, входящих в уравнение схемы, и числом зависимых переменных состояния. [2]
Порядок дифференциального уравнения с частными производными обычно не выше второго, количество уравнений – не больше числа звеньев. [3]
Порядок дифференциального уравнения будет равен этому числу минус число независимых узлов ( п), в которых сходятся ветви, содержащие в себе индуктивности и емкости, и минус число независимых контуров ( пн), составленных только из емкостей или индуктивностей. [4]
Порядок дифференциального уравнения и величины его постоянных коэффициентов полностью определяются статическими и динамическими параметрами элементов системы и ее структурной схемой. [5]
Порядок дифференциального уравнения, описывающего динамику следящей системы компенсатора, в большинстве случаев оказывается сравнительно невысоким – не выше 2 – 4 порядка. Он определяется порядком уравнений усилителя, двигателя и применяемых корректирующих цепей. Все используемые компенсационные элементы ( см. главу II) являются безынерционными динамическими звеньями. [6]
Порядок дифференциального уравнения – это наивысший порядок входящих в него производных, определяемый числом раз дифференцирования зависимой переменной. Существуют уравнения более высокого порядка. [8]
Порядок дифференциального уравнения и постоянная времени теплового чувствительного элемента зависит от его формы, конструкции, теплоемкости его материала и условий теплообмена между поверхностью датчика – 1 средой. [9]
Порядок дифференциального уравнения о частными производными обычно не вышо второго, количество уравнений – не больше числа звеньев. [10]
Порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в электрической цепи, в общем случае не равен полному числу катушек индуктивности и конденсаторов в цени. Последовательно ( или параллельно) включенные катушки индуктивности можно объединить в одну, также как и соответствующим образом включенные конденсаторы. Однако и после такого объединения число катушек и конденсаторов может превышать порядок дифференциального уравнения. Действительно, если к некоторому узлу подходят ветви, каждая из которых включает в себя катушку индуктивности ( в этом случае, как говорят, имеется 13-сечение), то ток одной из катушек можно выразить через токи других катушек из уравнения первого закона Кирхгофа, составленного для этого узла. Аналогично из уравнения второго закона Кирхгофа, записанного для контура, содержащего конденсаторы ( если такие контуры, называемые СЯ-кон-турами, имеются), можно исключить напряжение одного из конденсаторов, выразив его через напряжения других конденсаторов. [11]
Порядок дифференциальных уравнений чувствительности равен порядку исходного уравнения. [12]
Порядок дифференциального уравнения равновесия цепи зависит от числа реактивных элементов и их размещения в цепи. [13]
Если порядок дифференциального уравнения и вид его правой части известны, то для определения коэффициентов а, можно воспользоваться другим методом. [14]Повышение порядка дифференциального уравнения, как известно, усложняет его решение. Поэтому является целесообразным максимально упростить уравнение, понизить его порядок, не искажая, конечно, существенно физическую сущность анализируемого процесса. В каждом отдельном случае необходимо тщательно проанализировать относительное влияние каждого члена уравнения на протекание переходного процесса, особенно с точки зрения обеспечения устойчивости системы. Однако можно сделать и общие рекомендации, пользуясь которыми в ряде случаев можно значительно упростить дифференциальное уравнение системы. [15]
Страницы: 1 2 3 4
www.ngpedia.ru
Дифференциальные уравнения (основные понятия) [wiki.eduVdom.com]
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут входить дифференциалы.
Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если от нескольких, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это дифференциальные уравнения для функции от одной переменной.
Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией таков:
$$F(x,y,y’,y”,\ldots,y^{(n)})=0 \qquad (1)$$
y(x)– неизвестная функция, зависящая от независимой переменной x (штрих означает дифференцирование по x).Число n(порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) – порядок дифференциального уравнения (1).
Дифференциальные уравнения в частных производных — дифференциальные уравнения, содержащие неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.
Интегрирование дифференциального уравнения
Основное задачей теории дифференциальных уравнений является поиск всех решений данного дифференциального уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла, поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс поиска всех решений – интегрированием дифференциального уравнения.
Вообще интегралом данного дифференциального уравнения называют всякое уравнение, не содержащее производных, из которых данное дифференциальное уравнение вытекает как следствие.
Пример решения дифференциального уравнения второго порядка
Дифференциальное уравнение второго порядка: $${y}” + y = 0 \qquad (2)$$
Одним из решенией (интегралом) этого дифференциального уравнения второго порядка, будет функция: $y = \sin{x}$
Поскольку после подстановки $y = \sin{x}$ , равенство (2) принимает вид: ${(\sin{x})}” + \sin{x} = 0$, т.е. становится тождеством.
Функции $y = \frac{1}{2}\sin{x} \,,\,\, y = \cos{x} \,,\,\, y = 3\cos{x}$ – тоже решения уравнения (2), но функция $y=\sin{x}+\frac{1}{2}$ не является решением.
Основные понятия дифференциальных уравнений
subjects/diffury/дифференциальные_уравнения.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:24 — ¶
wiki.eduvdom.com
| Главная > Учебные материалы > Математика: Дифференциальные уравнения | |||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1.Понятие дифференциального уравнения. 2.Дифференциальное уравнение 1-го порядка.
|
|||||||||||||||||||||||||
| 16 17 18 19 20 21 22 23 24 | |||||||||||||||||||||||||
1.Понятие дифференциального уравнения. |
|||||||||||||||||||||||||
Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое включает в себя функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции. Производные, которые содержатся в уравнении, могут быть различных порядков. Простейшее дифференциальное уравнение содержит функцию от одной переменной. |
|||||||||||||||||||||||||
Дифференциальное уравнение в общем виде можно записать так: P ( x, y, y’, y” … yn ) = 0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим пример. Пусть задано уравнение x – y’ = 0
где С – произвольная постоянная. Отсюда можно сделать вывод, что решением дифференциального уравнения является функция. Другими словами это семейство интегральных кривых, т.к. постоянная С точно не определена. (Рис.1) |
Рис.1 |
||||||||||||||||||||||||
Если дифференциальное уравнение содержит функцию или вектор-функцию от одной переменной, то оно называется обыкновенным. Если неизвестная функция содержит две или большее число переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных. Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в него производной неизвестной функции. |
|||||||||||||||||||||||||
2.Дифференциальное уравнение 1-го порядка. |
|||||||||||||||||||||||||
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка можно записать в виде: где dy/dx – производная неизвестной функции. В данном случае уравнение разрешено относительно производной. Пример простейшего дифференциального уравнения первого порядка: y ‘ = f (x) Решением данного уравнения будет: Можно заметить, что решение содержит некую постоянную С, которая может быть определена, если известно значение y (x0) = y0. Тогда: |
|||||||||||||||||||||||||
Если уравнение можно представить в виде: то оно называется уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя левую и правую часть, получим решение дифференциального уравнения: где С – произвольная постоянная. |
|||||||||||||||||||||||||
Пример 1. |
|||||||||||||||||||||||||
 |
|
||||||||||||||||||||||||
Пример 2. |
|||||||||||||||||||||||||
 |
|||||||||||||||||||||||||
 |
|||||||||||||||||||||||||
Пример 3.Яхта движется в спокойной воде со скоростью v = 45км/ч. На полном ходу ее двигатель был выключен. Через t = 60c. скорость яхты уменьшилась до v1 = 6 км/ч. Найти скорость яхты через 3 мин после остановки двигателя. Считать, что сопротивление воды пропорционально скорости движения яхты. |
|||||||||||||||||||||||||
 |
 |
||||||||||||||||||||||||
| 16 17 18 19 20 21 22 23 24 | |||||||||||||||||||||||||
www.mathtask.ru
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Рассмотрим три частных случая решения дифференциальных уравнений с возможностью понижения порядка. Во всех случаях понижение порядка производится с помощью замены переменной. То есть, решение дифференциального уравнения сводится к решению уравнения более низкого порядка. В основном мы рассмотрим способы понижения порядка дифференциальных уравнений второго порядка, однако их можно применять многократно и понижать порядок уравнений изначально более высокого порядка. Так, в примере 2 решается задача понижения порядка дифференциального уравнения третьего порядка.
Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной: введём новую функцию и тогда . Следовательно, и исходное уравнение превращается в уравнениие первого порядка
с искомой функцией .
Решая его, находим . Так как , то .
Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:
,
где и – произвольные константы интегрирования.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение третьего порядка
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y и y‘ в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
.
Тогда и получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:
.
Заменяя z произведением функций u и v, получим
Тогда получим выражения с функцией v:
Выражения с функцией u:
Дважды интегрируем и получаем:
.
Для интегрирования по частям обозначаем:
.
Интегрируем по частям и получаем:
.
Итак, общее решение данного дифференциального уравения:
.
Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной как в предыдущем случае: введём , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка . Решая его, найдём . Так как , то . Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:
,
где и – произвольные константы интегрирования.
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:
.
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
.
Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:
Интегрируем полученную функцию:
Мы пришли к цели – общему решению данного дифференциального уравения:
.
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:
.
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
.
или
Это однородное уравение, которое решается при помощи подстановки . Тогда , :
Далее потребуется интегрировать по частям. Введём обозначения:
Интегрируем:
Таким образом, получили общее решение данного дифференциального уравения:
.
Это уравнение вида . Вводим новую функцию , полагая . Тогда
.
Подставляя в уравнение выражения для и , понижаем порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка относительно z как функции от y:
.
Решая его, найдём . Так как , то . Получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение исходного уравнения:
,
где и – произвольные константы интегрирования.
Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Полагая и учитывая, что , получаем . Понизив порядок исходного уравнения, получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду и интегрируя, получаем , откуда . Учитывая, что , находим , откуда получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:
или
.
При сокращении на z было потеряно решение уравнения , т.е. . В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при (за исключением решения y = 0).
Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
.
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
.
Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:
Используя вновь подстановку
,
получим ещё одно уравнение с разделяющимися переменными. Решим и его:
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравения:
.
Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1, y‘(0) = −1.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Поэтому применяем подстановку:
.
Таким образом, понизили порядок уравнения и получили уравнение первого порядка
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:
Чтобы определить C1, используем данные условия y(0) = 1, y‘(0) = −1 или p(0) = −1. В полученное выражение подставим y = 1, p = −1:
.
Получаем
и
.
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
.
Из начального условия y(0) = 1 следует
.
Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения
.
Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1, y‘(1) = −1.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
.
Таким образом, получили уравнение первого порядка
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на p, получим
Интегрируем обе части уравнения
Получим
или
Используем начальные условия и определим C1. Если x = 1, то y = 1 и p = y‘ = −1, поэтому
.
Тогда
Из начального условия y(1) = 1 следует
.
Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения
.
Всё по теме “Дифференциальные уравнения”
Поделиться с друзьями
function-x.ru
Дифференциальные уравнения высших порядков — Мегаобучалка
- Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .
В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y.
Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.
Если дифференциальное уравнение не содержит аргумента x, то есть, имеет вид , то его порядок может быть снижен на единицу заменой , где p(y(x)) будет сложной функцией. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим
и так далее.
Подставив эти результаты в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение не единицу меньшего порядка.
К примеру, дифференциальное уравнение заменой приводится к уравнению с разделяющимися переменными .
Подробное решение подобных примеров представлено в статьедифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка.
- Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и .
Чтобы определить общее решение таких видов дифференциальных уравнений, во-первых, требуется найти корни характеристического уравнения . В этом Вам может помочь статьярешение уравнений высших степеней. Далее, отталкиваясь от значений корней характеристического уравнения, общее решение ЛОДУ записывается в стандартной форме, а общее решение неоднородного уравнения представляется суммой , где – частное решение неоднородного дифференциального уравнения. можно определить методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примера ЛНДУ с постоянными коэффициентами приведем , ему соответствует ЛОДУ .
Подробное описание теории и детальный разбор решения примеров смотрите в разделе линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
- Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков и .
Общее решение ЛНДУ высших порядков ищется в виде , где – общее решение соответствующего ЛОДУ, а – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство в тождество. Частные решения обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.
Когда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения найдено, частное решение соответствующего неоднородного уравнения можно определить методом вариации произвольных постоянных.
Итак, .
Краткое описание теории приведено в статье линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
К началу страницы
Системы дифференциальных уравнений вида
Обыкнове́нные дифференциа́льные уравне́ния (ОДУ) — это дифференциальные уравнения для функции от одной переменной. (Этим оно отличается от уравнения в частных производных, где неизвестная — это функция нескольких переменных.) Таким образом, ОДУ — это уравнения вида
где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция, тогда , как правило, тоже вектор-функция со значениями в пространстве той же размерности; в этом случае говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) называется порядком дифференциального уравнения (1).
Независимая переменная часто интерпретируется (особенно в дифференциальных уравнениях, возникающих в физических и других естественно-научных задачах) как время, поэтому её часто обозначают буквой . Переменная — некоторая величина (или совокупность величин, если является вектор-функцией), изменяющаяся со временем. Например, может означать набор координат точки в пространстве; в этом случае уравнение (1) описывает движение точки в пространстве, то есть изменение её координат с течением времени. Независимая переменная обычно принимает вещественные значения, однако рассматриваются и дифференциальные уравнения, в которых переменная комплексная (так называемые уравнения с комплексным временем).
Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения вида
в которых старшая производная выражается в виде функции от переменных и производных порядков меньше Такие дифференциальные уравнения называются нормальными или разрешёнными относительно производной.
В противоположность уравнениям вида (2), дифференциальные уравнения вида (1) называются уравнениями, не разрешёнными относительно производной или неявными дифференциальными уравнениями.
Классическим решением дифференциального уравнения (2) называется раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительное условие. Начальным условием для уравнения (2) называется условие
где — некоторое фиксированное значение независимой переменной (фиксированный момент времени), а и — соответственно, фиксированные значения функции и всех её производных до порядка включительно. Дифференциальное уравнение (2) вместе с начальным условием (3) называется начальной задачей или задачей Коши:
При достаточно общих ограничениях на функцию , стоящую в правой части уравнения (2), задача Коши для этого уравнения имеет единственное решение, определённое на некотором интервале оси времени , содержащем начальное значение (этот интервал, вообще говоря, может не совпадать со всей осью).
Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы решения простейших ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Обыкновенное_дифференциальное_уравнение
Итак, требуется решить дифференциальное уравнение:
Действие первое. Пожалуйста, забудьте задачку про частные производные и готовый ответ. Дело в том, что когда вам предложен для решения произвольный диффур, то вы ещё не знаете о том, что это уравнение в полных дифференциалах. И данный факт крайне желательно доказать в самом начале решения.
Докажем, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Как это сделать? Уравнение в полных дифференциалах имеет вид . Вспоминаем характерное и очень удобное равенство смешанных производных второго порядка: . Вот его и надо проверить:
, значит, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
На чистовике проверка проводится немного не так. Мы не имеем права использовать букву , так как изначально не знаем, является ли данное уравнение полным дифференциалом некоторой функции . А вдруг не является? Тогда вышеприведенные записи с буквой будут некорректны с математической точки зрения. Поэтому обычно используют нейтральные буквы «пэ» и «ку», а сама проверка на чистовике выглядит примерно так:
“
Проверим, является ли уравнение уравнением в полным дифференциалах:
, значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах
”
Вот только теперь, после доказательства, мы можем использовать букву «эф», поскольку показано, что дифференциальное уравнение является полным дифференциалом некоторой функции и имеет вид:
Ну, а коль скоро уравнение имеет вид , то:
Таким образом, нам известны две частные производные, и наша задача состоит в том, чтобы восстановить общий интеграл .
Существуют два зеркальных способа решения. В статье я остановлюсь на более привычном способе решения, но в конце рассмотрю и второй зеркальный вариант, он не менее важен.
Действие второе. Работаем с верхней производной . Нижнюю производную пока запишем на листочек и спрячем в карман.
Если дана частная производная , то нужная нам функция восстанавливается с помощью обратного действия – частного интегрирования:
Когда мы берём интеграл по «икс», то переменная «игрек» считается константой. Как видите, принцип точно такой же, как и при нахождении частных производных.
Я запишу подробно, сначала используем свойства линейности интеграла:
Еще раз подчеркиваю, что «игрек» в данном случае является константой и выносится за знак интеграла (т.е. не участвует в интегрировании).
В итоге:
Здесь – некоторая, пока ещё неизвестная функция, зависящая только от «игрек».
Правильно ли вычислен интеграл? В этом легко убедиться, если выполнить проверку, т.е. найти частную производную:
– получена исходная подынтегральная функция.
Надеюсь всем, понятно, почему . Функция зависит только от «игрек», а, значит, является константой.
Действие третье.
Берем «недоделанный» результат и дифференцируем его по «игрек»:
Функцию мы пока не знаем, но производная-то по «игрек» у неё существует, поэтому запись – совершенно законна.
Действие четвертое.
Перепишем результат предыдущего пункта:
А теперь достаем из широких штанин листочек с производной:
Приравниваем:
И сокращаем всё, что можно сократить:
Находим функцию , для этого необходимо взять интеграл от правой части:
Заключительный аккорд: Подставим найденную функцию в «недоделанный» результат :
Ответ: общий интеграл:
Проверка уже выполнена в самом начале урока – находим частные производные первого порядка и составляем полный дифференциал, в результате должно получиться исходное дифференциальное уравнение.
Второй способ проверки состоит в том, чтобы найти производную от функции, заданной неявно:
Дифференциальное уравнение вида
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение
du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.
Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой
u(x,y)=C,
где C − произвольная постоянная.
megaobuchalka.ru
