Предел арктангенса при х стремящемся к бесконечности – Вопрос: Пределы Объясните ,как найти предел функции lim(arctg(x)) при х стремящемся к + бесконечности

Предел синуса на бесконечности - Математика всем и для всех

06:35 pm - Предел синуса на бесконечности

Напомним, что последовательность {xn} называется расходящейся, если никакое число не является пределом этой последовательности (Кудрявцев, МФТИ, том первый).


Докажем от противного, что последовательность sin(n) является расходящейся.

Пусть существует

                                  

Тогда последовательность sin(n) является фундаментальной и, в частности, верно, что
 

                     

Учитывая то, что
                       ,

получаем

                     

откуда следует, что

                     

Откуда получаем

                     

но тогда, т.к. существует

                     

должно быть верно, что 

                     

Однако из cos2(n) + sin2(n) = 1 и из того, что

                     

следует, что должно выполнятся

                     

Полученное противоречие доказывает требуемое.


fichtengolts.livejournal.com

Первый замечательный предел

Замечательных пределов существует несколько, но самыми известными являются первый и второй замечательные пределы. Замечательность этих пределов состоит в том, что они имеют широкое применение и с их помощью можно найти и другие пределы, встречающиеся в многочисленных задачах. Этим мы и будем заниматься в практической части данного урока. Для решения задач путём приведения к первому или второму замечательному пределу не нужно раскрывать содержащиеся в них неопределённости, поскольку значения этих пределов уже давно вывели великие математики.

Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере:

Приведённое выше равенство основано на эквивалентности бесконечно малых . Следовательно, верно равенство и следующего отношения:

.

Это разновидность первого замечательного предела.

Переходим к решению задач на первый замечательный предел. Заметим: если под знаком предела находится тригонометрическая функция, это почти верный признак того, что это выражение можно привести к первому замечательнному пределу.

Пример 1. Найти предел .

Решение. Подстановка вместо x нуля приводит к неопределённости:

.

В знаменателе - синус, следовательно, выражение можно привести к первому замечательному пределу. Начинаем преобразования:

.

В знаменателе - синус трёх икс, а в числителе всего лишь один икс, значит, нужно получить три икс и в числителе, а, когда тройки сократятся, получится первый замечательный предел в чистом виде. Умножаем икс на три и тут же делим и далее решаем:

.

Пример 2. Найти предел .

Решение. Непосредственная подстановка вновь приводит к неопределённости "нуль делить на нуль":

.

Чтобы получить первый замечательный предел, нужно, чтобы икс под знаком синуса в числителе и просто икс в знаменателе были с одним и тем же коэффициентом. Пусть этот коэффициент будет равен 2. Для этого представим нынешний коэффициент при иксе как и далее, производя действия с дробями, получаем:

.

Пример 3. Найти предел .

Решение. При подстановке вновь получаем неопределённость "нуль делить на нуль":

.

Наверное, вам уже понятно, что из исходного выражения можно получить первый замечательный предел, умноженный на первый замечательный предел. Для этого раскладываем квадраты икса в числителе и синуса в знаменателе на одинаковые множители, а чтобы получить у иксов и у синуса одинаковые коэффициенты, иксы в числителе делим на 3 и тут же умножаем на 3. Получаем:

.

Пример 4. Найти предел .

Решение. Вновь получаем неопределённость "нуль делить на нуль":

.

Можем получить отношение двух первых замечательных пределов. Делим и числитель, и знаменатель на икс. Затем, чтобы коэффициенты при синусах и при иксах совпадали, верхний икс умножаем на 2 и тут же делим на 2, а нижний икс умножаем на 3 и тут же делим на 3. Получаем:

Пример 5. Найти предел .

Решение. И вновь неопределённость "нуль делить на нуль":

.

Помним из тригонометрии, что тангенс - это отношение синуса к косинусу, а косинус нуля равен единице. Производим преобразования и получаем:

.

Пример 6. Найти предел .

Решение. Тригонометрическая функция под знаком предела вновь наталкивает на мысль о применении первого замечательного предела. Представляем его как отношение синуса к косинусу.

.

Так как , то и

Пример 7. Найти предел .

Решение. И вновь неопределённость "ноль делить на ноль" и синус под знаком предела. Значит надо приводить к первому замечательному пределу. Умножим числитель и знаменатель на выражение сопряжённое числителю и получим

Пример 8. Найти предел .

Решение. Бороться с неопределённостью "ноль делить на ноль" будем приведением к первому замечательному пределу. Вспоминаем формулу тригонометрической единицы и подставляем её. Потом вспоминаем, что косинус в квадрате нуля и просто косинус нуля равны единице, а они у нас с противоположными знаками, значит взаимно уничтожаются. Затем умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю. И дальнейшие преобразования. Всё вышеописанное выглядит так:

Начало темы "Предел"

Продолжение темы "Предел"

function-x.ru

пределы тригонометрических функций | Математика

Пределы тригонометрических функций чаще всего находятся с помощью 1-го замечательного предела и следствий из него. Проиллюстрируем  решение пределов тригонометрических функций на  конкретных примерах. Сам 1й замечательный предел 

   

и одно из его следствий (есть и другие, но о них — позже):

   

(Здесь угол x выражен в радианах).  Итак, примеры на пределы тригонометрических функций, которые решаются через 1й замечательный предел.

Найти пределы:

   

чтобы раскрыть неопределенность вида ноль на ноль, используем 1й замечательный предел:

   

Сокращаем числитель и знаменатель на x:

   

Так как по 1-му замечательному пределу

   

окончательно получаем, что

   

   

   

   

Решение пределов тригонометрических функций зачастую требует привлечения тригонометрических формул. Например, из тригонометрической единицы следует, что

   

   

   

   

используем формулу

   

   

В следующем пункте пределы тригонометрических функций будем находить с помощью следствий из 1-го замечательного предела.

www.matematika.uznateshe.ru