Примеры матрицы и действия над ними – «МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ». ПЛАН ЛЕКЦИИ 1. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ МАТРИЦ 2. СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ И РАЗМЕР МАТРИЦ 3. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ.”. Скачать бесплатно и без регистрации.

Лекция 1. "Матрицы и основные действия над ними. Определители"

Лекция 1. «Матрицы и основные действия над ними. Определители

Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Основные действия над матрицами.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической.

Пример. - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.


cij = aij bij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 (А+В) =А  В А() = А  А

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

Операция умножения матриц.

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

AB = C; .

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц,

число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

АЕ = ЕА = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

AO = O; OA = O,

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:

(AB) = (A)B = A(B).

5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство:

(АВ)Т = ВТАТ, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.

Что такое det будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = АТ=

;

другими словами, bji = aij.

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC)T = CTBTAT,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число  = 2. Найти АТВ+С.

AT = ; ATB = = = ;

C =

; АТВ+С = + = .

Пример. Найти произведение матриц А = и В = .

АВ = = .

ВА = = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=, В =

АВ = = = .

Определители (детерминанты).

Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

det A = , где (1)

М – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Формула (1) позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det A = (2)

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA = , i = 1,2,…,n. (3)

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

det A = det A

T;

Свойство 2. det ( A  B) = det A  det B.

Свойство 3. det (AB) = detAdetB

Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d1 d2 , e = e1 e2 , f = f1 f2 , то верно:

Пример. Вычислить определитель матрицы А =

= -5 + 18 + 6 = 19.

Пример:. Даны матрицы А = , В = . Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.

2- й способ: AB = , det (AB) = 718 - 819 = 126 –

– 152 = -26.

infourok.ru

Лекция № Матрицы и действия над ними

скачать
МБИ, Высшая математика, Элементы алгебры матриц

Адрес сайта-www.dariapiatkina.narod.ru/банковский интситут/высшая математика


Высшая математика

2 семестр

Лекция № 1.

Матрицы и действия над ними.
Введение.

Понятие матрицы и основанный на нём раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное - компактной матричной форме. Также понятие матрицы всем известно по одноимённому кинофильму Матрица. В компьютере файлы картинок хранятся в виде матриц. Форматы jpg, bmp кодируются матрицами. Обработка картинок в Photoshop – это матричная обработка. Раньше существовало такое понятие как матричный принтер. Таблицы Excel – это матричная форма представления результатов.


Матрица размера - прямоугольная таблица чисел, каждый элемент которой имеет 2 индекса ( первый - по строке и второй - по столбцу). Числа, составляющие матрицу, называют элементами матрицы. Матрицы обозначаются большими латинскими буквами A, B, C, D и т.д. Элементы матриц обозначаются маленькими буквами с индексами.
матрица размера
Частные случаи:
- матрица-строка (в матрице одна строка)
- матрица-вектор (в матрице один столбец)

Пример:
матрица размера
к каждому элементу можно обратиться по его индексам (первый-строка, второй-столбец)
Если матрица имеет одинаковое число строк и столбцов, то она называется квадратной.
Пример:
пример квадратной матрицы размера
Квадратная матрица - у которой на главной диагонали 1, а вне главной диагонали 0 называется единичной
- единичная матрица размера 3x3
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Над матрицами больших размеров действия вручную не производятся. Есть специальные компьютерные программы, которые используются для обсчёта матриц. Типичный пример матриц - это таблицы Excel.
Транспонирование – это процедура, при применении которой в матрице меняются местами строки и столбцы. Транспонированная матрица обозначается верхним индексом «T». Если у исходной матрицы размер , то у транспонированной матрицы размер
Пример:
- исходная матрица (

- транспонированная матрица
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
Определитель матрицыэто число, характеризующее матрицу. Если определитель матрицы не равен 0, то говорят, что матрица невырожденная. В противном случае матрицу называют вырожденной. Определитель вычисляется только для квадратных матриц.
Определитель матрицы A обозначают как (det A)

Пусть матрица состоит из одного элемента (т.е. имеет размер )

В этом случае


Пусть матрица A имеет размер

для матрицы - определитель 2-го порядка

Как запомнить формулу для определителя втрого порядка: вычитание идет крест на крест по диагонали
Пример:
(отличен от 0 => матрица невырожденная)
Пусть матрица A имеет размер (метод – разложение по первой строке)

для матрицы - определитель 3-го порядка рассчитывается через определители второго порядка (определители 2 –го порядка рассчитываются по формуле, приведённой выше)

Как запомнить формулу для определителя третьего порядка:


Пример на вычисление определителя:

СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ (на примере матриц )

- матрицы складываются поэлементно (складываем числа на одинаковых

местах)

!!! Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковый размер (т.е. одинаковое число строк и столбцов)

Пример:

Умножение матриц ( на примере матриц и )

или сокращённо
формула для умножения матриц
- матрицы A и B можно перемножать, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Если матрица A имеет размер , а матрица B имеет размер , то матрица имеет размер . ()

Пример:

(Матрица умножается на матрицу . В результате получается матрица размера )

Получение первой строки матрицы C
() первую строку м-цы A умножаем на первый столбец м-цы B поэлементно и складываем
() первую строку м-цы A умножаем на второй столбец м-цы B поэлементно и складываем
() первую строку м-цы A умножаем на третий столбец м-цы B поэлементно и складываем
() первую строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем
Получение второй строки матрицы C
() вторую строку м-цы A умножаем на первый столбец м-цы B поэлементно и складываем
() вторую строку м-цы A умножаем на второй столбец м-цы B поэлементно и складываем
() вторую строку м-цы A умножаем на третий столбец м-цы B поэлементно и складываем
() вторую строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем
Получение третьей строки матрицы C
() третью строку м-цы A умножаем на первый столбец м-цы B поэлементно и складываем
()третью строку м-цы A умножаем на второй столбец м-цы B поэлементно и складываем
()третью строку м-цы A умножаем на третий столбец м-цы B поэлементно и складываем
() третью строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем
Умножение матрицы на число

-при умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на число

ПРИМЕР:


Обратная матрица
Матрица называется обратной к матрице A, если - в результате умножения получается единичная матрица

!!! Обратная матрица существует, если исходная матрица невырожденная, т.е. . Обратную матрицу можно определить только для квадратных матриц.

Алгоритм поиска обратной матрицы для матрицы
Пусть
-формула для поиска обратной матрицы, где

- определитель матрицы A

- алгебраические дополнения элементов матрицы A

Они ищутся следующим образом:

Как запомнить формулу для обратной матрицы:

т.е. в исходной матрице надо поменять местами элементы на главной диагонали, а у двух оставшихся элементов изменить знак на противоположный

Найдем матрицу обратную к матрице (алгоритм описан выше)

= > => обратная матрица существует
Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы



элементы на главной диаг. переставили местами,

У оставшихся элементов поменяли знаки

Матричные уравнения:
Рассмотрим систему уравнений, состоящую из 5 уравнений ( - неизвестные, остальные коэффициенты – известные числа, цель найти неизвестные )
скалярная форма записи
Используя матрицу , матрицу-вектор B=

и матрицу-вектор ,

можем записать систему уравнений в матричной форме :

Или в сокращённой форме


Если обе части скалярного уравнения домножить на число (это число обратное к – их произведение равно 1) то имеем

Возникает вопрос : как решать матричное уравнение (будем использовать метод решения основанный на умножении на обратную матрицу - она является аналогом обратного числа в матричном случае, т.к. единичной матрице
- произведение двух матриц равно третьей; A, B – известные матрицы,
неизвестная матрица – её надо найти

Домножим обе части уравнения на (обратную матрицу к матрице A) слева

[!!! Это можно делать только в случае если существует (т.е. ) – аналогично со скалярным уравнением (см. выше)].


т.к.
т.к. ( => перемножив и B найдём решение X

Пример 1 (на метод обратной матрицы):
- матричное уравнение

Найдем матрицу обратную к матрице A (алгоритм описан выше)


(см. Алгоритм перемножения матриц)

распишем подробно, как производится умножение:



Проверка (надо подставить полученную матрицу и проверить, что действительно в результате умножения получается матрица B)
- убедиться самим, перемножив матрицы.

Пример 2 (на метод обратной матрицы):
Дано :

- система в скалярном виде. Найти решение системы методом обратной матрицы и сделать проверку, решив систему методом Крамера
Запишем систему в матричном виде:
, где - матрица системы, - столбец свободных коэффициентов,

- столбец неизвестных


- матрица обратима (т.е. обратная матрица существует)
-обратная матрица ищется по алгоритму описанному выше (проверить самим)

- формула для поиска решения методом обратной матрицы

- решение системы

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
Задача 1.

Предприятие производит продукцию трёх видов и использует сырьё двух типов. Норма затрат сырья на единицу продукции каждого типа задана матрицей


-норма затрат сырья i-го типа (кол-во единиц) на единицу продукции j-го типа
Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей- строкой
- стоимость единицы сырья j-го типа
- получим матрицу-строку стоимости единицы продукции каждого типа.

Обозначим полученную матрицу буквой C

Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого типа, 200 единиц продукции второго типа и 150 единиц продукции третьего типа.

Введём матрицу-вектор

, который отражает необходимое количество продукции каждого типа
полные затраты рассчитаны
Задача 2.

Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трёх видов: сапог, кроссовок и ботинок, при этом используется сырьё трёх типов . Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объём расхода сырья на 1 день заданы таблицей:


Вид сырья

Нормы расхода сырья на одну пару, усл.ед.

Расход сырья на 1 день, усл. ед

сапоги

кроссовки

ботинки

S1

5

3

4

2700

S2

2

1

1

900

S3

3

2

2

1600

Найти ежедневный объём выпуска каждого вида обуви:


Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает пар сапог, пар кроссовок и

пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:


скалярная форма
В матричном виде система выглядит следующим образом:
получаем матричное уравнение,

которое в сокращённом виде записывается как


можно его решить с помощью метода обратной матрицы, рассмотренного выше
Следовательно, фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 – кроссовок и 200 пар ботинок.

Можно это матричное уравнение решить с помощью метода Гаусса, который будет рассмотрен в следующей лекции.


скачать

nenuda.ru

Действия над матрицами | spiruk

Действия над матрицами

Действия над матрицами

Сложение матриц:
Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов.
С = А + В
cij = aij + bij
Аналогично определяется разность матриц.Умножение матрицы на число:

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что bij = k × aij.
В = k × A
bij = k × aij.
Матрица — А = (-1) × А называется противоположной матрице А.

Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:
1. А + В = В + А;
2. А + (В + С) = (А + В) + С;
3. А + 0 = А;
4. А — А = 0;
5. 1 × А = А;
6. α × (А + В) = αА + αВ;
7. (α + β) × А = αА + βА;
8. α × (βА) = (αβ) × А;
, где А, В и С — матрицы, α и β — числа.

Умножение матриц (Произведение матриц):

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что
сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + … + ain × bnk,
т. е. находиться сумма произведений элементов i — ой строки матрицы А на соответствующие элементы j — ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения

spiruk.wordpress.com

Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц — ПриМат

1. Выполнить сложение матриц:
.
Для сложения матриц нам необходимо каждый элемент первой матрицы сложить с соответствующим элементом из второй:
.

Следует также отметить, что операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна. Например, пусть даны матрицы , и . Тогда:

.

Покажем выполнение ассоциативности сложения матриц:

;
.
;
.

Как видим, .

2. Выполнить умножение матрицы на число:
.
Для умножения матрицы на число мы умножаем каждый элемент матрицы на данное число:
.

Операция умножения матрицы на число ассоциативна, то есть , . Покажем это на конкретном примере:
Пусть дана матрица и .
Тогда ;
.
;
.
Как видим, .

3. Вычислить произведение матриц:
.
Для удобства будем называть первую матрицу а вторую матрицу . Для начала убедимся, что произведение данных матриц возможно. Даны матрицы размерностей и , следовательно умножение возможно, так как количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Для вычисления первого элемента результирующей матрицы умножим каждый элемент первой строки матрицы на соответствующие элементы первого столбца матрицы . Полученные значения сложим. Данную последовательность действий можно проиллюстрировать следующим образом:

Получим следующее:
.
Далее вычисляем первый элемент второго столбца результирующей матрицы. Умножаем все элементы первой строки матрицы на соответствующие им элементы из второго столбца матрицы и складываем полученные значения:
.
Для вычисления первого элемента второй строки результирующей матрицы мы будем аналогично умножать элементы второй строки матрицы на элементы первого столбца матрицы , складывая результаты:
.
Оставшиеся элементы вычисляются аналогично:
.
Отметим, что произведение матриц в общем случае некоммутативно и покажем это на примере.
Пусть даны матрицы .
Тогда .
.
Как видим, .

4. Возвести матрицу в степень:
.
Для возведения в степень необходимо данную матрицу умножить саму на себя. Заметим, что возводить в степень можно только квадратные матрицы.
.

5. Транспонировать матрицу:
.
Для транспонирования матрицы достаточно записать строки столбцами, а столбцы строками:
.

Таблица лучших: Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

Лимит времени: 0

Информация

Тест на тему «Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Средний результат

 

 
Ваш результат

 

 
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

Источники:
  1. Г. С. Белозеров. Конспект лекций.
  2. В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 194-197.
  3. А. Г. Курош  «Курс высшей алгебры» (Издание девятое, 1968 г.), стр. 99-102.
  4. И. В. Проскуряков.   «Сборник задач по линейной алгебре» (1984 г.), стр. 112-115.

Поделиться ссылкой:

Похожее

ib.mazurok.com

Матрицы и действия над ними — Мегаобучалка

Введение

При изучении курса высшей математики студент-заочник должен выполнить ряд контрольных работ. Решения задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все решения надо приводить полностью, чертежи и графики должны быть выполнены четко, с указанием масштаба и названий координатных осей. Обозначения к задачам должны соответствовать указаниям на чертежах и графиках. К выполнению контрольного задания следует приступать после изучения теоретического материала по учебникам и решения достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию.

Настоящее пособие является руководством по выполнению контрольных работ по курсу высшей математики для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. Оно содержит вопросы и теоретические сведения, необходимые для выполнения контрольных работ по данной теме, примеры решения задач, контрольные задания и список литературы.

 

Глава I. Основы линейной алгебры

Теоретические вопросы

1. Матрицы и действия над ними.

2. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Миноры и

алгебраические дополнения.

3. Обратная матрица.

4. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Крамера. Матричный способ решения алгебраических уравнений. Метод Гаусса.

5. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

 

Литература

В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. Краткий курс высшей математики. -М.: Наука, 1978.

1. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1978.

2. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1998, ч.1,2 .

 

Матрицы и действия над ними

Таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов вида

,

называется матрицей порядка . Матрица порядка называется квадратной матрицей порядка п ( А = ).

Две матрицы и называются равными (А=В), если равны их соответствующие элементы, т.е. (i=1,…,m; j=1,…,n).

Суммой двух матриц и одинакового порядка называется матрица (С = A+B), элементы которой определяются равенствами



(i=1,…,m; j=1,…,n).

Произведением матрицы на число называется матрица (В = А или B = А ), элементы которой определяются равенствами

(i=1,…,m; j=1,…,n).

Произведением матрицы на матрицу называется матрица (С = AB), элементы которой определяются равенствами

.

Заметим, что умножение матрицы А на матрицу В определяется только при условии, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Задание 1. Выполнить действия над матрицами А и В:(2A-B)(A+3B), где

.

Решение. Данное выражение содержит следующие операции над матрицами:

1) произведение матрицы на число.

2) сумма двух матриц;

3) произведение двух матриц.

Используя определения, данные выше, получим:

;

 

megaobuchalka.ru

Лекция № Матрицы и действия над ними

Лекция № Матрицы и действия над ними - страница №1/1



МБИ, Высшая математика, Элементы алгебры матриц

Адрес сайта-www.dariapiatkina.narod.ru/банковский интситут/высшая математика


Высшая математика

2 семестр

Лекция № 1.

Матрицы и действия над ними.
Введение.

Понятие матрицы и основанный на нём раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное - компактной матричной форме. Также понятие матрицы всем известно по одноимённому кинофильму Матрица. В компьютере файлы картинок хранятся в виде матриц. Форматы jpg, bmp кодируются матрицами. Обработка картинок в Photoshop – это матричная обработка. Раньше существовало такое понятие как матричный принтер. Таблицы Excel – это матричная форма представления результатов.


Матрица размера - прямоугольная таблица чисел, каждый элемент которой имеет 2 индекса ( первый - по строке и второй - по столбцу). Числа, составляющие матрицу, называют элементами матрицы. Матрицы обозначаются большими латинскими буквами A, B, C, D и т.д. Элементы матриц обозначаются маленькими буквами с индексами.
матрица размера
Частные случаи:
- матрица-строка (в матрице одна строка)
- матрица-вектор (в матрице один столбец)

Пример:
матрица размера
к каждому элементу можно обратиться по его индексам (первый-строка, второй-столбец)
Если матрица имеет одинаковое число строк и столбцов, то она называется квадратной.
Пример:
пример квадратной матрицы размера
Квадратная матрица - у которой на главной диагонали 1, а вне главной диагонали 0 называется единичной
- единичная матрица размера 3x3
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Над матрицами больших размеров действия вручную не производятся. Есть специальные компьютерные программы, которые используются для обсчёта матриц. Типичный пример матриц - это таблицы Excel.
Транспонирование – это процедура, при применении которой в матрице меняются местами строки и столбцы. Транспонированная матрица обозначается верхним индексом «T». Если у исходной матрицы размер , то у транспонированной матрицы размер
Пример:
- исходная матрица (

- транспонированная матрица
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
Определитель матрицыэто число, характеризующее матрицу. Если определитель матрицы не равен 0, то говорят, что матрица невырожденная. В противном случае матрицу называют вырожденной. Определитель вычисляется только для квадратных матриц.
Определитель матрицы A обозначают как (det A)

Пусть матрица состоит из одного элемента (т.е. имеет размер )

В этом случае


Пусть матрица A имеет размер

для матрицы - определитель 2-го порядка

Как запомнить формулу для определителя втрого порядка: вычитание идет крест на крест по диагонали
Пример:
(отличен от 0 => матрица невырожденная)
Пусть матрица A имеет размер (метод – разложение по первой строке)

для матрицы - определитель 3-го порядка рассчитывается через определители второго порядка (определители 2 –го порядка рассчитываются по формуле, приведённой выше)

Как запомнить формулу для определителя третьего порядка:


Пример на вычисление определителя:

СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ (на примере матриц )

- матрицы складываются поэлементно (складываем числа на одинаковых

местах)

!!! Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковый размер (т.е. одинаковое число строк и столбцов)

Пример:

Умножение матриц ( на примере матриц и )

или сокращённо
формула для умножения матриц
- матрицы A и B можно перемножать, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Если матрица A имеет размер , а матрица B имеет размер , то матрица имеет размер . ()

Пример:

(Матрица умножается на матрицу . В результате получается матрица размера )

Получение первой строки матрицы C
() первую строку м-цы A умножаем на первый столбец м-цы B поэлементно и складываем
() первую строку м-цы A умножаем на второй столбец м-цы B поэлементно и складываем
() первую строку м-цы A умножаем на третий столбец м-цы B поэлементно и складываем
() первую строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем
Получение второй строки матрицы C
() вторую строку м-цы A умножаем на первый столбец м-цы B поэлементно и складываем
() вторую строку м-цы A умножаем на второй столбец м-цы B поэлементно и складываем
() вторую строку м-цы A умножаем на третий столбец м-цы B поэлементно и складываем
() вторую строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем
Получение третьей строки матрицы C
() третью строку м-цы A умножаем на первый столбец м-цы B поэлементно и складываем
()третью строку м-цы A умножаем на второй столбец м-цы B поэлементно и складываем
()третью строку м-цы A умножаем на третий столбец м-цы B поэлементно и складываем
() третью строку м-цы A умножаем на четвертый столбец м-цы B поэлементно и складываем
Умножение матрицы на число

-при умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на число

ПРИМЕР:


Обратная матрица
Матрица называется обратной к матрице A, если - в результате умножения получается единичная матрица

!!! Обратная матрица существует, если исходная матрица невырожденная, т.е. . Обратную матрицу можно определить только для квадратных матриц.

Алгоритм поиска обратной матрицы для матрицы
Пусть
-формула для поиска обратной матрицы, где

- определитель матрицы A

- алгебраические дополнения элементов матрицы A

Они ищутся следующим образом:

Как запомнить формулу для обратной матрицы:

т.е. в исходной матрице надо поменять местами элементы на главной диагонали, а у двух оставшихся элементов изменить знак на противоположный

Найдем матрицу обратную к матрице (алгоритм описан выше)

= > => обратная матрица существует
Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы



элементы на главной диаг. переставили местами,

У оставшихся элементов поменяли знаки

Матричные уравнения:
Рассмотрим систему уравнений, состоящую из 5 уравнений ( - неизвестные, остальные коэффициенты – известные числа, цель найти неизвестные )
скалярная форма записи
Используя матрицу , матрицу-вектор B=

и матрицу-вектор ,

можем записать систему уравнений в матричной форме :

Или в сокращённой форме


Если обе части скалярного уравнения домножить на число (это число обратное к – их произведение равно 1) то имеем

Возникает вопрос : как решать матричное уравнение (будем использовать метод решения основанный на умножении на обратную матрицу - она является аналогом обратного числа в матричном случае, т.к. единичной матрице
- произведение двух матриц равно третьей; A, B – известные матрицы,
неизвестная матрица – её надо найти

Домножим обе части уравнения на (обратную матрицу к матрице A) слева

[!!! Это можно делать только в случае если существует (т.е. ) – аналогично со скалярным уравнением (см. выше)].


т.к.
т.к. ( => перемножив и B найдём решение X

Пример 1 (на метод обратной матрицы):
- матричное уравнение

Найдем матрицу обратную к матрице A (алгоритм описан выше)


(см. Алгоритм перемножения матриц)

распишем подробно, как производится умножение:



Проверка (надо подставить полученную матрицу и проверить, что действительно в результате умножения получается матрица B)
- убедиться самим, перемножив матрицы.

Пример 2 (на метод обратной матрицы):
Дано :

- система в скалярном виде. Найти решение системы методом обратной матрицы и сделать проверку, решив систему методом Крамера
Запишем систему в матричном виде:
, где - матрица системы, - столбец свободных коэффициентов,

- столбец неизвестных


- матрица обратима (т.е. обратная матрица существует)
-обратная матрица ищется по алгоритму описанному выше (проверить самим)

- формула для поиска решения методом обратной матрицы

- решение системы

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
Задача 1.

Предприятие производит продукцию трёх видов и использует сырьё двух типов. Норма затрат сырья на единицу продукции каждого типа задана матрицей


-норма затрат сырья i-го типа (кол-во единиц) на единицу продукции j-го типа
Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей- строкой
- стоимость единицы сырья j-го типа
- получим матрицу-строку стоимости единицы продукции каждого типа.

Обозначим полученную матрицу буквой C

Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого типа, 200 единиц продукции второго типа и 150 единиц продукции третьего типа.

Введём матрицу-вектор

, который отражает необходимое количество продукции каждого типа
полные затраты рассчитаны
Задача 2.

Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трёх видов: сапог, кроссовок и ботинок, при этом используется сырьё трёх типов . Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объём расхода сырья на 1 день заданы таблицей:


Вид сырья

Нормы расхода сырья на одну пару, усл.ед.

Расход сырья на 1 день, усл. ед

сапоги

кроссовки

ботинки

S1

5

3

4

2700

S2

2

1

1

900

S3

3

2

2

1600

Найти ежедневный объём выпуска каждого вида обуви:


Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает пар сапог, пар кроссовок и

пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:


скалярная форма
В матричном виде система выглядит следующим образом:
получаем матричное уравнение,

которое в сокращённом виде записывается как


можно его решить с помощью метода обратной матрицы, рассмотренного выше
Следовательно, фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 – кроссовок и 200 пар ботинок.

Можно это матричное уравнение решить с помощью метода Гаусса, который будет рассмотрен в следующей лекции.

davaiknam.ru

§ 2. Матрицы и действия над ними

Литература: (1, с. 16-18; 2, с. 71-82; 3, с. 259-263)

    1. Определение матрицы и основные понятия

Рассмотрим прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов:

Такая таблица называется матрицей. Числа ,,,- элементы этой матрицы. Если(число строк матрицы равно числу ее столбцов), то матрица называется квадратной-го порядка. Каждая матрица имеет определённые размеры, т.е. количество строк и количество столбцов. Матрица, у которой всего один столбец, называется столбцевой или числовым вектором. Матрица у которой всего одна строка, называется строчной. Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой. Квадратная матрица, у которой равны нулю все элементы, кроме стоящих на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице называется единичной. Обозначим её

.

Если поменять местами строки и столбцы матрицы , то получим так называемую транспонированную матрицу

.

Квадратная матрица имеет определитель, который обозначим.

Две матрицы называются равными, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны . В этом случае -.

    1. Сложение матриц. Действия над ними

Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных двух матриц . Символически это записывают.

Пример 1.

Аналогично определяется разность двух матриц.

Сложение матриц обладает переместительным и сочетательным свойствами, т.е. 1.) ;

2.) .

Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент этой матрицы умножить на это число:.

Пример 2.

.

При умножении матрицы на число справедливы следующие свойства: 1.) ; 2.); 3.).

Умножение матриц

Произведением матрицы изстрок истолбцов на матрицуизстрок истолбцов, элементкоторый равен сумме произведений элементов-й строки матрицына соответствующие элементы-го столбца матрицы, т.е.

.

Пример 3.

.

В результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица-множимое, и столько столбцов, сколько их имеет матрица множитель, т.е.. Так, произведение двух матриц 3-го порядка можно символически представить:

.

При умножении матрицы справедливы свойства:

1.) - переместительный закон не верен;

2.) ;

3.) ;

4.) ;

5.) ;

6.) .

    1. Обратная матрица

Определение: Матрица называется обратной для матрицы, если.

Теорема: Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной.

Нахождение матрицы, обратной данной:

Пусть дана невырожденная матрица

, .

Можно доказать, что обратная матрица определяется равенством: ,(6)

где есть алгебраическим дополнением элементаопределителя матрицы.

Замечание: Элементами обратной матрицы являются алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы, деление на определитель матрицы.

Пример 4. Найти матрицу обратную данной: .

Решение: Воспользуемся формулой (6). Найдем определитель матрицы .

.

Находим алгебраические дополнения:

; ;;

; ;;

; ;.

Следовательно:

.

    1. Ранг матрицы

Пусть дана матрица изстрок истолбцов. Выделим в ней произвольнострок истолбцов (,). Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором-го порядка матрицы.

Наивысший из порядков миноров, отличных от нуля, называется рангом матрицы . Так, если ранг матрицы, то это означает, что среди миноров порядкаесть хотя бы один минор, не равный нулю, а все миноры высшего порядка (чем) равны нулю.

При определении ранга матрицы приходится вычислять большое количество определителей. Чтобы облегчить этот процесс, используют специальные приёмы. Вначале введем понятие элементарных преобразований матрицы:

    1. умножение всех элементов какой-либо строки 9столбца) на число ;

    2. прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

    3. перемена местами строк (столбцов) матрицы;

    4. отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю;

Матрицы, полученные одна из другой при элементарных преобразованиях, называются эквивалентными. Эквивалентные матрицы имеют одинаковый ранг. .

Пример 5. Вычислить ранг матрицы

.

Решение: Используя элементарные преобразования получим:

. .

Так как минор второго порядка отличен от нуля, то .

    1. Вопросы для самопроверки

Что называется матрицей? Как обозначается матрица и как определяется её размер?

Назовите виды матриц.

Как определяются линейные операции над матрицами и каковы их свойства?

Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведений матриц?

Какая матрица называется обратной для данной матрицы? Всегда ли существует обратная матрица? Как можно найти обратную матрицу?

Что называется рангом матрицы и как его можно найти?

    1. Примеры для самостоятельного решения

Выполнит действия:

1. ; 2.;

3. ; 4.;

5. ; 6.

7. 8.;

9. ; 10..

11. Найти , где;

12. Найти , где;

13. Найти , где,-единичная матрица

14. Найти , при;

15. Найти , при;

Найти обратную матрицу , если

16. ; 17.;

18. ; 19.;

Определить ранг матрицы :

20. ; 21.;

22. ; 23..

    1. Ответы к примерам

1. ; 2. ; 3.;

4. ; 5.; 6.;

7. ; 8.; 9.;

10. ; 11.; 12.;

13. ; 14.; 15.;

16. ; 17.; 18. ;

19. ; 20.;

21. ; 22.; 23..

studfiles.net