Примеры решения задач по сопротивлению материалов

Как и в предыдущей статье, на этой странице приведены основные принципы решения задач технической механики на примере простейших заданий, в которых необходимо определить какие-либо силовые факторы, возникающие в конструкциях и телах напряжения, построить эпюры и т. п. Сопротивление материалов является базовой основой для решения вопросов наиболее практического раздела технической механики – “Детали машин”.

Решение задачи на растяжение и сжатие

Построить эпюру напряжений в ступенчатом круглом брусе, нагруженном продольными силами и указать на наиболее напряженный участок.
Весом бруса пренебречь.

Исходные данные:

Силы:
F₁ = 100 кН;
F₂ = 400 кН;
Площадь сечения бруса: А = 0,1 м².

Решение:

При построении эпюры напряжений используем метод сечений, рассматривая отдельные участки бруса, как самостоятельные его элементы, находящиеся в состоянии равновесия под действием реальных и условных нагрузок. При этом исследование сечений начинаем со стороны свободного конца бруса, т. е. со стороны, где приложены известные нам силы.
Сначала разбиваем весь брус на однородные участки, границами которых служат точки приложения силовых факторов и (или) изменение размеров сечения. Для нашего бруса можно выделить три таких однородных участка – I, II, III (см. схему 2).

Для каждого из участков определяем нормальные напряжения в сечениях по формуле σ = F/A, где: F – величина продольной силы в сечении, А – площадь сечения. При этом следует учитывать знаки: если сила растягивающая, то ее условно считают положительной, если сжимающая – отрицательной. Соответственно, напряжения будут иметь такие же знаки, как и силы.

После подсчетов получим:
σ_I = F₁/A = -100×10³/0,1 = -1000000 Па (-1 МПа),
σ_II = F₁/2A = -100×10³/2×0,1 = -500000 Па (-0,5 МПа),
σ_III = (F₂ – F₁)/A = (400 – 100)×10³/0,1 = 3000000 Па (3 МПа).

Построение эпюры напряжений начинаем с проведения линии, параллельной оси бруса (эта линия условно изображает брус и является нулевой ординатой графика эпюры). Затем, начиная от свободного конца бруса, откладываем от линии, как от нулевой ординаты, величины напряжений по каждому участку с учетом их знаков.
На брусе, приведенном в задании, величина напряжений в каждом сечении отдельных участков будет одинакова, и лишь в граничных (расположенных между соседними участками) сечениях появится скачок напряжения в виде ступени (здесь используется принцип Сен-Венана, условно полагающий, что в месте приложения нагрузки напряжение изменяется скачкообразно).

Построение эпюры завершается указанием на ее площадках знаков напряжения в кружках, проведением тонких линий перпендикулярно оси (нулевой ординаты) эпюры (эти линии условно изображают сечения бруса) и расстановкой величины напряжений на внешних углах графика (на внутренних углах цифровые обозначения не наносятся). Слева от эпюры указывается, что на ней изображено (в нашем случае – Эпюра σ)

В результате построений мы получим график (эпюру) распределения напряжений по каждому сечению бруса, визуальное исследование которого позволяет определить наиболее напряженный участок. Для бруса, представленного в задаче, максимальные напряжения возникают в сечениях участка III (см. схему). Поскольку эти напряжения положительны, они являются растягивающими

Задача решена.

***

Решение задачи с использованием закона Гука

Определить величину растягивающей силы F, если известно, что под ее действием брус удлинился на величину ΔL.

Исходные данные:

Удлинение бруса ΔL = 0,005 мм;
Модуль продольной упругости балки Е = 2,0×10⁵ МПа;
Площадь сечения бруса A = 0,01 м²;
Размеры бруса и точка приложения силы F приведены на схеме.

Решение:

Решить задачу можно, используя известную зависимость между линейными удлинениями и нагрузками (закон Гука).
Согласно закону Гука, представленному в расширенном виде:

ΔL = FL/(EA),     откуда:     F = (ΔLEA)/L.

Поскольку сила F приложена не к крайнему сечению бруса, а к его середине, то удлинился лишь участок между жесткой заделкой и сечением, к которому приложена растягивающая сила, имеющий длину L₁ = 2 м.
Учитывая это, определяем силу, вызвавшую удлинение бруса (не забываем привести все величины к единицам системы СИ):

F = (ΔLEA)/L₁ = (0,005×10^-3×2×10¹¹×0,01)/2 = 5000 ^{Н = 5,0 кН.}

Задача решена.

***

Решение задачи на срез и смятие

Венец зубчатого колеса прикреплен к ступице болтовыми соединениями из шести болтов с гайками, размещенными равномерно по окружности диаметром D.
Определить касательные напряжения сдвига (среза), действующие в каждом из болтов при номинальной нагрузке.
При расчете не учитывать ослабление стержня болта впадинами резьбы.

Исходные данные:

Номинальный крутящий момент на валу шестерни: Мкр = 10 Нм;
Диаметр окружности, на которой размещены болтовые соединения D = 0,4 м;
Диаметр стержня болта d = 10 мм.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся зависимостью между напряжением среза, внешней нагрузкой и площадью сечения по плоскости среза:

τ_ср = F_окр /A,

где: τ_ср – касательное напряжение среза, F_окр – окружная сила на расстоянии от оси вращения до центра болта, A – площадь сечения (в нашем случае – площадь поперечного сечения 6 болтов).

Окружную силу можно определить, зная крутящий (вращающий) момент на валу зубчатого колеса и расстояние от оси вращения зубчатого колеса до центра болта:
F_окр = 2Мкр/D.
Площадь сечения одного болта: А(1) = πd²/4, шести болтов: А = 3πd²/2 .
Подставив эти значения в исходную формулу, определим касательное напряжение сдвига (среза) болта:

τ_ср = F_окр /A = (2Мкр/D) / (3πd²/2) = (2×10/0,4) / (3×3,14 0,01²/2) ≈ 106 000 Па (или 0,106 МПа).

Задача решена.

***

Решение задачи на срез и смятие шпонки

Произвести проверочный расчет призматической шпонки на смятие.

Исходные данные:

Вращающий момент на валу Т = 120 Нм;
Радиус сечения вала r = 30 мм;
Высота шпонки h = 6 мм;
Рабочая длина шпонки l_р= 30 мм;
Допускаемое напряжение на смятие [σ]_см = 200 МПа

Решение:

Решение задачи сводится к определению напряжения смятия, возникающего в продольном сечении шпонки, выступающем над канавкой вала (рабочая площадь шпонки). Это напряжение можно определить из формулы:

σ_см = F_окр /A_раб     (1)

где: σ_см – искомое напряжение смятия,
F_окр – окружная сила, действующая на рабочую поверхность шпонки: F_окр = Т/r.

Учитывая, что высота рабочей поверхности шпонки невелика, можно принять для расчета напряжения окружную силу, действующую на расстоянии r от оси вращения вала (радиус вала). Если необходимо выполнить более точный расчет, следует к радиусу вала прибавить половину высоты рабочей поверхности шпонки (в нашем случае – h/4).

A_раб – площадь шпонки, подвергаемая смятию: A_раб = hl_р /2 (здесь l_р – рабочая длина шпонки).

Подставив полученные значения окружной силы и площади шпонки, работающей на смятие, в формулу (1), получим:

σ_см = F_окр /A_раб = (Т/r) / (hl_р /2) = (120/0,03) / (0,003×0,03/2) = 88 900 000 Па (или 88,9 МПа).

Полученное напряжение сравниваем с допускаемым напряжением смятия [σ_см] = 200 МПа, и делаем вывод, что шпонка выдержит нагрузку.

Задача решена.

***

Решение задачи на кручение

Построить эпюру вращающих моментов для круглого однородного бруса, представленного на схеме. Указать наиболее нагруженный участок бруса и определить напряжение в его сечениях.

Исходные данные:

Вращающие моменты:
Т₁ = 150 Нм;
Т₂ = 400 Нм;
Т₃ = 50 Нм;
Диаметр бруса d = 0,05 м.

Решение:

Построение эпюр вращающих (крутящих моментов) начинаем со стороны свободного конца бруса, откладывая величины крутящих моментов от оси абсцисс (нулевой ординаты) бруса с соблюдением знаков моментов (см. схему).

Из эпюры очевидно, что максимальный крутящий момент возникает в сечениях участка I: Мкр = 500 Нм. Для определения напряжения (при кручении возникает касательное напряжение), воспользуемся зависимостью, полученной ранее:

τ_max = М_кр / W_r ,

где: W_r ≈ 0,2d³ – момент сопротивления круглого сечения кручению (или полярный момент сопротивления круглого сечения).

Подставив полученные зависимости и их числовые значения в формулу, получим максимальное напряжение τ_max, возникающее в сечениях участка I при кручении бруса:

τ_max≈ М_кр / 0,2d³ ≈ 500/0,2×0,05³≈ 200 000 000 Па (или 200 МПа).

Задача решена.

С правилами и примерами построения эпюр при деформации кручения можно ознакомиться здесь.

***

Решение задачи на изгиб

Определить максимальное нормальное напряжение, возникающее в сечении круглого бруса, расположенном рядом с жесткой заделкой, если к свободному концу бруса приложена поперечная сила F.
Вес бруса не учитывать.

Поперечная сила F = 1000 Н;
Длина бруса L = 5 м;
Диаметр бруса d = 0,1 м.

Решение:

Изгибающий момент силы F и возникающие в сечениях бруса напряжения зависят от расстояния между линией приложения (вектором) силы и плоскостью рассматриваемого сечения (очевидно, что величина изгибающего момента находится в прямо пропорциональной зависимости от расстояния до вектора силы). Поэтому для данного бруса изгибающий момент достигает максимального значения в сечении рядом с жесткой заделкой:

Ми_max = FL = 1000×5 = 5000 Нм.

Максимальные нормальные напряжения в этом сечении можно определить по формуле:

σ_max = Ми_max / W,

где: W ≈ 0,1d³ – момент сопротивления круглого сечения изгибу (или осевой момент сопротивления круглого сечения). Подставив зависимости и их величины в формулу, получим:

σ_max≈ Ми_max / 0,1d³≈ 5000/0,1х0,1³≈ 50 000 000 Па (или 50 МПа).

Задача решена.

***

Решение задачи на изгиб с построением эпюр

Построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов, действующих на защемленный одним концом брус (см. схему).

Исходные данные:

Поперечная сила F = 50 Н;
Распределенная нагрузка q = 10 Н/м;
Длина бруса L = 12 м;
Вес бруса не учитывать.

Решение:

Для построения эпюр определим границы участков бруса, в пределах которых внешние нагрузки и размеры сечений одинаковы. Для данного бруса можно выделить два таких участка (см. схему).

Далее, используя метод сечений, строим эпюру поперечных сил, учитывая знаки. Очевидно, что на первом участке поперечная сила будет постоянной во всех сечениях, и эпюра представляет собой горизонтальную линию, отстоящую от оси эпюры на величину -F (сила отрицательная).

В среднем сечении бруса начинает действовать распределенная нагрузка, которая линейно увеличивается и суммируется с поперечной силой F в каждом последующем сечении бруса по направлению к жесткой заделке. Поскольку эпюра поперечных сил на втором участке представляет собой отрезок наклонной прямой, то для ее построения достаточно определить величину поперечной силы в середине бруса (очевидно, что здесь F = 50 Н) и величину поперечной силы в сечении рядом с жесткой заделкой:
F₂ = -FL – 6q = -50 – 10×6 = -110 Н.
По полученным значениям строим эпюру поперечных сил F (см. схему).

Построение эпюры изгибающих моментов строится аналогично эпюре поперечных сил – при помощи метода сечений. При этом учитывается расстояние от сечения, в котором приложена поперечная сила, до рассматриваемого сечения (плечо силы).
Очевидно, что изгибающий момент от силы F будет увеличиваться прямо пропорционально по мере удаления от сечения, к которому она приложена, причем в крайнем сечении (где приложена сила) момент этой силы равен нулю (поскольку плечо силы равно нулю).
В среднем сечении бруса изгибающий момент достигает значения: Ми = FL/2 = -50×6 = -300 Нм .

Начиная с середины бруса начинает действовать изгибающий момент от распределенной нагрузки q, который в каждом сечении определяется, как произведение приведенной силы F_пр = ql на половину расстояния l (здесь l – расстояние от рассматриваемого сечения до начала действия распределенной нагрузки).
Очевидно, что по мере удаления от среднего сечения к жесткой заделке изгибающий момент от распределенной нагрузки q изменяется по квадратичной зависимости, и линия эпюры изгибающих моментов на втором участке представляет собой параболу.

Чтобы построить параболу недостаточно двух точек, необходимо определить величину изгибающего момента в нескольких сечениях бруса (на втором участке). При этом следует учитывать изгибающий момент от силы F, который суммируется с изгибающим моментом от распределенной нагрузки q на данном участке бруса.
Максимальной величины изгибающий момент достигает в сечении рядом с жесткой заделкой:

Ми_max = – FL + [-q×(L/2)×(L/4)] = -50×12 + [-10×(12/2)×(12/4)] = -780 Нм.

Выполнив необходимые подсчеты, строим эпюру изгибающих моментов, начиная со свободного конца бруса (см. схему).

Задача решена.

***

Пример расчета бруса (стержня)

Сопротивление материалов

k-a-t.ru

решение задач по любому из разделов (тер мех, сопромат, тех мех)

В такой многогранной и сложной научной дисциплине, как техническая механика, решение задач студентам приходится выполнять практически постоянно. Это и понятно: только частое  решение задач по техмеху в сочетании с упорным изучением теории дает возможность достаточно прочно закрепить в памяти основные алгоритмы, быстро ориентироваться на экзамене и выполнять действительно правильное решение задач технической механике.

Как ни крути, но чувствовать себя уверенно перед преподавателем можно, лишь выполнив в течение семестра тех мех решение задач не один десяток раз, а это требует колоссального количества времени, которого у учащихся попросту нет.

Уникальный портал для студентов: помощь в любой сложной учебной ситуации

Оптимальную помощь студентам предлагает портал «ВсёСдал!», где можно без посредников, напрямую заказать решение задач. Техническая механика, для кого-то непонятная, у опытного профессионала не вызывает затруднений. В короткий срок вы получите грамотно оформленное решение задач по техмеху и сможете сдать его преподавателю.

Не секрет, что для такой приближенной к практике и производству дисциплины, как техническая механика, решение задач является основой для допуска студента к зачету или экзамену. Поэтому важность услуги сложно переоценить.

Заказать курсовую работу или решение задач по технической механике можно онлайн, заполнив простую форму. Специалисты сами  предложат вам услуги с указанием примерных цен и сроков, так что у вас обязательно будет выбор. Грамотно выполненное тех мех решение задач, дополненное необходимыми пояснениями, поможет быстро разобраться и вникнуть в суть заданий.

К слову, ресурс предлагает услуги множества специалистов в самых разных областях знаний, не только тех мех решение задач. Интересует ли вас электротехника и электроника, решение задач по общей химии или высшей математике, написание реферата по литературе – портал «ВсёСдал!» поможет решить любую учебную проблему недорого и быстро.

Техническая механика: решение задач онлайн

Для тех студентов, которые отдают себе отчет в том, что их профессиональная деятельность будет лежать в иной области, и не хотят ставить акцент на решении задач по тех мех и вместе с тем – портить диплом низкой оценкой, пригодится такая услуга, как решение задач (техническая механика) онлайн.

После получения билета (контрольного задания) вам нужно будет сфотографировать условие задачи по технической механике и отослать ММС исполнителю. Решение задач выполняется онлайн сразу же и присылается на ваш телефон небольшими частями, что позволяет комфортно считывать ход решения с дисплея телефона.

Практика показывает, что большинство студентов, потративших время на вдумчивое изучение уже выполненных для них на заказ контрольных по тех механике, вполне способны самостоятельно справиться с экзаменационными задачами. В таких случаях онлайн связь с исполнителем является скорее дополнительной страховкой, ведь всегда есть вероятность столкнуться с задачей, ход решения которой вам незнаком. Хотя иногда сосредоточиться и вспомнить материал мешает элементарное волнение. Поэтому иметь запасной вариант предпочтительно.

vsesdal.com

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Задачи. Образцы оформления задач

Задачи: от 150 р. Оформление – Word. Онлайн помощь на экзамене. Решение онлайн. Автор всегда на связи. Пишите в чат.

Гарантии (в плюсиках тоже есть текст)

Задача мошенника получить прибыль любой ценой. Первая страница сайта-лохотрона выглядит ярко и броско. Она сверкает, сияет, обвешана рекламой, призывами и мотиваторами сверху донизу. Изо всех щелей выскакивают онлайн-консультанты, бонусы, предложения, скидки. Вас уверяют, что если не купите все сейчас и немедленно по специальной исключительно для вас цене, то конец света неминуем! И, как правило, сайт единственной страницей и ограничивается. Зачем остальные, если всё можно наобещать на первой? В общем, если сайт похож на казино или цирк с огнями, зазывалой и фотками белозубых улыбающихся клиентов модельной внешности, уже сделавших заказ, то знайте, вы в казино и попали. Крутите барабан :-)

Если нечего предложить, то обещают золотые горы, но вот поглядеть на них можно только после оплаты. Или даются абстрактные заверения с общими примерами тех же счастливых модельных клиентов. На крайний случай бывает что-то выложено, но ощущение, что это надергано по помойкам интернета, все оформлено в разном стиле, рукописное пополам с печатным и зачастую совсем не в тему.

Если человек замыслил обман, то он прячется. На сайте мошенника, как правило, из связи есть только номер 8-800…. и форма для вашего сообщения, а обратных контактов никаких.

Отзывы из группы ВК

mehanika-sopromat.ru