Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Момент инерции. Некоторые подробности механики твердого тела

Одним из основных физических принципов взаимодействия твердых тел является закон инерции, сформулированный еще великим Исааком Ньютоном. С этим понятием мы сталкиваемся практически постоянно, так как оно оказывает чрезвычайно большое влияние на все материальные предметы нашего мира, в том числе и на человека. В свою очередь, такая физическая величина, как момент инерции, неразрывно связана с упомянутым выше законом, определяя силу и продолжительность его воздействия на твердые тела.

С точки зрения механики любой материальный объект можно описать как неизменную и четко структурированную (идеализированную) систему точек, взаимные расстояния между которыми не изменяются в зависимости от характера их движения. Такой подход позволяет точно вычислять по специальным формулам момент инерции практически всех твердых тел. Еще одним интересным нюансом здесь является то, что любое сложное, имеющее самую замысловатую траекторию, движение можно представить в виде совокупности простых перемещений в пространстве: вращательного и поступательного. Это тоже значительно облегчает жизнь физикам при вычислении данной физической величины.

Понять, что же такое момент инерции и каково его влияние на окружающий нас мир, легче всего на примере резкого изменения скорости пассажирского транспортного средства (торможения). В этом случае ноги стоящего пассажира трение о пол увлечет за собой. Но при этом на туловище и голову никакого воздействия оказано не будет, вследствие чего они какое-то время будут продолжать движение с прежней заданной скоростью. В итоге пассажир наклонится вперед или упадет. Иными словами, момент инерции ног, погашенный силой трения о пол, будет значительно меньше, чем остальных точек тела. Противоположная картина будет наблюдаться при резком увеличении скорости автобуса или трамвайного вагона.

Момент инерции можно сформулировать как физическую величину, равную сумме произведений элементарных масс (тех самых отдельных точек твердого тела) на квадрат их удаленности от оси вращения. Из данного определения следует, что эта характеристика является величиной аддитивной. Проще говоря, момент инерции материального тела равен сумме аналогичных показателей его частей: J = J₁ + J₂ + J₃ +_…

Данный показатель для тел сложной геометрии находится экспериментальным путем. Приходится учитывать слишком много различных физических параметров, включая плотность объекта, которая может быть неоднородной в разных его точках, что создает так называемую разницу масс в различных сегментах тела. Соответственно, и стандартные формулы здесь не подходят. Например, момент инерции кольца с определенным радиусом и однородной плотностью, имеющего ось вращения, которая проходит через его центр, можно рассчитать по следующей формуле: J = mR². Но таким способом не получится вычислить данную величину для обруча, все части которого изготовлены из разных материалов.

А момент инерции шара сплошной и однородной структуры можно рассчитать по формуле: J = 2/5mR². При вычислении данного показателя для тел относительно двух параллельных осей вращения в формулу вводится дополнительный параметр – расстояние между осями, обозначаемое литерой а. Вторая ось вращения обозначается при этом буквой L. Например, формула может иметь следующий вид: J = L + ma².

Тщательные опыты по изучению инерционного движения тел и характера их взаимодействия впервые были произведены Галилео Галилеем на стыке шестнадцатого и семнадцатого веков. Они позволили великому ученому, опередившему свое время, установить основной закон о сохранении физическими телами состояния покоя или прямолинейного движения относительно Земли при отсутствии воздействия на них других тел. Закон инерции стал первым шагом в установлении основных физических принципов механики, в то время еще совершенно смутных, невнятных и неясных. Впоследствии Ньютон, формулируя общие законы движения тел, включил в их число и закон инерции.

fb.ru

Момент инерции — Википедия РУ

Моме́нт ине́рции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от типа базового множества до которого отсчитываются расстояния от элементарных масс.

Осевой момент инерции

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси^[1]:

Ja=∑i=1nmiri2,{\displaystyle J_{a}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2},} 

где:

• m_i — масса i-й точки,
• r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Ja=∫(m)r2dm=∫(V)ρr2dV,{\displaystyle J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV,} 

где:

dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV,

ρ — плотность,

r — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Ja=ρ∫(V)r2dV.{\displaystyle J_{a}=\rho \int \limits _{(V)}r^{2}dV.} 

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Гюйгенса — Штейнера, момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями^[1]:

J=Jc+md2,{\displaystyle J=J_{c}+md^{2},} 

где m — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

J=Jc+md2=112ml2+m(l2)2=13ml2.{\displaystyle J=J_{c}+md^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.} 

Осевые моменты инерции некоторых тел

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ_i. Тогда

J=∑dJi=∑Ri2dm.(1).{\displaystyle J=\sum dJ_{i}=\sum R_{i}^{2}dm.\qquad (1).} 

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

J=∑R2dm=R2∑dm=mR2.{\displaystyle J=\sum R^{2}dm=R^{2}\sum dm=mR^{2}.} 

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R₁ = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

J=12mR2.{\displaystyle J={\frac {1}{2}}mR^{2}.} 

Сплошной конус

Вывод формулы

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

r=RhH,{\displaystyle r={\frac {Rh}{H}},} 

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

dm=ρdV=ρ⋅πr2dh;{\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^{2}dh;} 

dJ=12r2dm=12πρr4dh=12πρ(RhH)4dh;{\displaystyle dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {Rh}{H}}\right)^{4}dh;} 

Интегрируя, получим

J=∫0HdJ=12πρ(RH)4∫0Hh5dh=12πρ(RH)4h55|0H==110πρR4H=(ρ⋅13πR2H)310R2=310mR2.{\displaystyle {\begin{aligned}J=\int _{0}^{H}dJ={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right)^{4}\int _{0}^{H}h^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right)^{4}\left.{\frac {h^{5}}{5}}\right|_{0}^{H}=={\frac {1}{10}}\pi \rho R^{4}H=\left(\rho \cdot {\frac {1}{3}}\pi R^{2}H\right){\frac {3}{10}}R^{2}={\frac {3}{10}}mR^{2}.\end{aligned}}} 

Сплошной однородный шар

Вывод формулы

Разобьём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

r=R2−h3.{\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-h^{2}}}.} 

Масса и момент инерции такого диска составят

dm=ρdV=ρ⋅πr2dh;{\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^{2}dh;} 

dJ=12r2dm=12πρr4dh=12πρ(R2−h3)2dh=12πρ(R4−2R2h3+h5)dh.{\displaystyle dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-h^{2}\right)^{2}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh.} 

Момент инерции шара найдём интегрированием:

J=∫−RRdJ=2∫0RdJ=πρ∫0R(R4−2R2h3+h5)dh==πρ(R4h−23R2h4+15h5)|0R=πρ(R5−23R5+15R5)=815πρR5==(43πR3ρ)⋅25R2=25mR2.{\displaystyle {\begin{aligned}J&=\int _{-R}^{R}dJ=2\int _{0}^{R}dJ=\pi \rho \int _{0}^{R}\left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^{4}h-{\frac {2}{3}}R^{2}h^{3}+{\frac {1}{5}}h^{5}\right)\right|_{0}^{R}=\pi \rho \left(R^{5}-{\frac {2}{3}}R^{5}+{\frac {1}{5}}R^{5}\right)={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}=\\&=\left({\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho \right)\cdot {\frac {2}{5}}R^{2}={\frac {2}{5}}mR^{2}.\end{aligned}}} 

Тонкостенная сфера

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

J0=25MR2=815πρR5.{\displaystyle J_{0}={\frac {2}{5}}MR^{2}={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}.} 

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

J=dJ0dRdR=ddR(815πρR5)dR==83πρR4dR=(ρ⋅4πR2dR)23R2=23mR2.{\displaystyle {\begin{aligned}J&={\frac {dJ_{0}}{dR}}dR={\frac {d}{dR}}\left({\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}\right)dR=\\&={\frac {8}{3}}\pi \rho R^{4}dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^{2}dR\right){\frac {2}{3}}R^{2}={\frac {2}{3}}mR^{2}.\end{aligned}}} 

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы

Разобьём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

dm=mdrl;dJ=r2dm=mr2drl.{\displaystyle dm={\frac {mdr}{l}};\qquad dJ=r^{2}dm={\frac {mr^{2}dr}{l}}.} 

Интегрируя, получим

J=∫−l/2l/2dJ=2∫0l/2dJ=2ml∫0l/2r2dr=2mlr33|0l/2=2mll324=112ml2.{\displaystyle J=\int _{-l/2}^{l/2}dJ=2\int _{0}^{l/2}dJ={\frac {2m}{l}}\int _{0}^{l/2}r^{2}dr={\frac {2m}{l}}\left.{\frac {r^{3}}{3}}\right|_{0}^{l/2}={\frac {2m}{l}}{\frac {l^{3}}{24}}={\frac {1}{12}}ml^{2}.} 

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние ^l⁄₂. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

J=J0+mr2=J0+m(l2)2=112ml2+14ml2=13ml2.{\displaystyle J=J_{0}+mr^{2}=J_{0}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+{\frac {1}{4}}ml^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.} 

Безразмерные моменты инерции планет и спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr²). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра^[5][6].

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины^[1][7]:

Jxy=∫(m)xydm=∫(V)xyρdV,{\displaystyle J_{xy}=\int \limits _{(m)}xydm=\int \limits _{(V)}xy\rho dV,} 

Jxz=∫(m)xzdm=∫(V)xzρdV,{\displaystyle J_{xz}=\int \limits _{(m)}xzdm=\int \limits _{(V)}xz\rho dV,} 

Jyz=∫(m)yzdm=∫(V)yzρdV,{\displaystyle J_{yz}=\int \limits _{(m)}yzdm=\int \limits _{(V)}yz\rho dV,} 

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции J_xy и J_xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела^[7].

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции^[7].

Геометрические моменты инерции

Геометрический момент инерции объёма относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой^[8]:

JVa=∫(V)r2dV,{\displaystyle J_{Va}=\int \limits _{(V)}r^{2}dV,} 

где, как и ранее r — расстояние от элемента dV до оси a.

Размерность J_Va — длина в пятой степени (dimJVa=L5{\displaystyle \mathrm {dim} J_{Va}=\mathrm {L^{5}} } ), соответственно единица измерения СИ — м⁵.

Геометрический момент инерции площади относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой^[8]:

JSa=∫(S)r2dS,{\displaystyle J_{Sa}=\int \limits _{(S)}r^{2}dS,} 

где интегрирование выполняется по поверхности S, а dS — элемент этой поверхности.

Размерность J_Sa — длина в четвёртой степени (dimJSa=L4{\displaystyle \mathrm {dim} J_{Sa}=\mathrm {L^{4}} } ), соответственно единица измерения СИ — м⁴. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката часто указывается в см⁴.

Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения:

W=JSarmax.{\displaystyle W={\frac {J_{Sa}}{r_{max}}}.} 

Здесь r_max — максимальное расстояние от поверхности до оси.

Момент инерции относительно плоскости

Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости^[9].

Если через произвольную точку O{\displaystyle O}  провести координатные оси x,y,z{\displaystyle x,y,z} , то моменты инерции относительно координатных плоскостей xOy{\displaystyle xOy} , yOz{\displaystyle yOz}  и zOx{\displaystyle zOx}  будут выражаться формулами:

JxOy=∑i=1nmizi2 ,{\displaystyle J_{xOy}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}^{2}\ ,} 

JyOz=∑i=1nmixi2 ,{\displaystyle J_{yOz}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}^{2}\ ,} 

JzOx=∑i=1nmiyi2 .{\displaystyle J_{zOx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}^{2}\ .} 

В случае сплошного тела суммирование заменяется интегрированием.

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (момент инерции относительно точки O, момент инерции относительно полюса, полярный момент инерции) JO{\displaystyle J_{O}}   — это величина, определяемая выражением^[9]:

Ja=∫(m)r2dm=∫(V)ρr2dV,{\displaystyle J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV,} 

где:

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей^[9]:

JO=12(Jx+Jy+Jz),{\displaystyle J_{O}={\frac {1}{2}}\left(J_{x}+J_{y}+J_{z}\right),} 

JO=JxOy+JyOz+JxOz.{\displaystyle J_{O}=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}.} 

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором s→=‖sx,sy,sz‖T,|s→|=1{\displaystyle {\vec {s}}=\left\Vert s_{x},s_{y},s_{z}\right\Vert ^{T},\left\vert {\vec {s}}\right\vert =1} , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

Is=s→T⋅J^⋅s→,{\displaystyle I_{s}={\vec {s}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\vec {s}},\qquad }  (1)

где J^{\displaystyle {\hat {J}}}  — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры 3×3{\displaystyle 3\times 3}  и состоит из компонент центробежных моментов:

J^=‖Jxx−Jxy−Jxz−JyxJyy−Jyz−Jzx−JzyJzz‖,{\displaystyle {\hat {J}}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{xx}&-J_{xy}&-J_{xz}\\-J_{yx}&J_{yy}&-J_{yz}\\-J_{zx}&-J_{zy}&J_{zz}\end{array}}\right\Vert ,} 

Jxy=Jyx,Jxz=Jzx,Jzy=Jyz,{\displaystyle J_{xy}=J_{yx},\quad J_{xz}=J_{zx},\quad J_{zy}=J_{yz},\quad } Jxx=∫(m)(y2+z2)dm,Jyy=∫(m)(x2+z2)dm,Jzz=∫(m)(x2+y2)dm.{\displaystyle J_{xx}=\int \limits _{(m)}(y^{2}+z^{2})dm,\quad J_{yy}=\int \limits _{(m)}(x^{2}+z^{2})dm,\quad J_{zz}=\int \limits _{(m)}(x^{2}+y^{2})dm.} 

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора J^{\displaystyle {\hat {J}}} 

http-wikipediya.ru

Момент инерции

Моме́нт ине́рции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

Содержание

• 1 Осевой момент инерции
  • 1.1 Теорема Гюйгенса — Штейнера
  • 1.2 Осевые моменты инерции некоторых тел
  • 1.3 Вывод формул
  • 1.4 Безразмерные моменты инерции планет и спутников
• 2 Центробежный момент инерции
• 3 Геометрический момент инерции
• 4 Центральный момент инерции
• 5 Тензор инерции и эллипсоид инерции
• 6 См. также
• 7 Комментарии
• 8 Примечания
• 9 Литература
• 10 Ссылки

Осевой момент инерции

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где:

• mi — масса i-й точки,
• ri — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,

где:

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

где m — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Осевые моменты инерции некоторых тел

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJi. Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R1, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Сплошной конус

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

Интегрируя, получим

Сплошной однородный шар

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции шара найдём интегрированием:

Тонкостенная сфера

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l⁄2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Безразмерные моменты инерции планет и спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида

где  — расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси.

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.

Единица измерения СИ — м4. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см4.

Из него выражается момент сопротивления сечения:

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) — это величина

,

где:

•  — масса малого элемента объёма тела ,
•  — плотность,
•  — расстояние от элемента до точки O.

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции: .

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

где  — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где  — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины  — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на

и произведя замены:

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах :

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

См. также

• Движение твёрдого тела
• Метод главных компонент
• Сопротивление материалов
• Теорема Штейнера
• Теорема Кёнига (механика)
• Механические приложения тройного интеграла
• Механические приложения двойного интеграла
• Полярный момент инерции
• Список моментов инерции
• Момент силы
• Момент импульса

Комментарии

1. ↑ В правильности использования знака «+» в этой формуле можно убедиться, если сравнить моменты инерции полого толстостенного и сплошного цилиндров с одинаковыми массами. Действительно, у первого из этих цилиндров масса в среднем сосредоточена дальше от оси, чем у второго, поэтому и момент инерции этого цилиндра должен быть больше, чем у сплошного. Именно такое соотношение моментов инерции и обеспечивает знак «+». С другой стороны, в пределе при стремлении r1 к r2 формула для полого толстостенного цилиндра должна приобрести тот же вид, что и формула для полого тонкостенного цилиндра. Очевидно, что такой переход происходит только при использовании формулы со знаком «+».

Примечания

1. ↑ Planetary Fact Sheet
2. ↑ Showman, Adam P.; Malhotra, Renu (1999). «The Galilean Satellites» (PDF). Science 286 (5437): 77–84. DOI:10.1126/science.286.5437.77. PMID 10506564.
3. ↑ Галкин И.Н. Внеземная сейсмология. — М.: Наука, 1988. — С. 42-73. — 195 с. — (Планета Земля и Вселенная). — 15 000 экз. — ISBN 502005951X.
4. ↑ Пантелеев В. Л. Физика Земли и планет. Гл. 3.4 — Гравитационное поле планеты

Литература

• Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.)
• Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
• Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А.Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
• Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с.
• Беляев Н. М., Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.

Ссылки

• Определение момента инерции тел простой формы
• Осевые моменты инерции, моменты сопротивления и радиусы инерции плоских фигур
• Online Калькулятор осевых моментов инерции, моментов сопротивления и радиусов инерции плоских фигур

момент инерции, момент инерции кольца, момент инерции куба, момент инерции материальной точки, момент инерции обруча, момент инерции прямоугольника, момент инерции стержня, момент инерции тела, момент инерции формула, момент инерции цилиндра

Момент инерции Информацию О

Момент инерции Комментарии

Момент инерции
Момент инерции
Момент инерции Вы просматриваете субъект

Момент инерции что, Момент инерции кто, Момент инерции описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

Расчет моментов инерции некоторых простых тел. Теорема Штейнера

ens.tpu.ru