Формулы пределов – Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике – Элементы математического анализа

Содержание

Таблица пределов. Таблица пределов функций, формулы.

Основные правила вычисления пределов.

Примечательные пределы:

Значимые специальные пределы:

Пределы простейших функций:

Пределы логарифмических и степенных функций:

Пределы тригонометрических функций:

Если is выражена в радианах:

Пределы при стремлении переменной к бесконечности:

www.dpva.ru

Теория пределов, формулы и примеры решений

Дальнейшее свое активное применение теория пределов получила при создании дифференциального и интегрального исчислений в 17 в., прежде всего в работах английского физика, математика, механика и астронома Исаака Ньютона (1642-1727). Впервые определение понятия предела было введено в работе английского математика Джона Валлиса (1616-1703) «Арифметика бесконечных величин». Хотя все же исторически понятие предела не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений. Только лишь в 19 веке в работах великого французского математика и механика Огюстена Луи Коши (1789-1857) теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшим развитием этой теории занимались немецкий математик Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815-1897) и чешский математик, философ и теолог Бернард Больцано (1781-1848).

Предел последовательности

Свойства предела последовательности

1. Если предел последовательности существует, то он единственный.

2.

3. (если оба предела в правой части существуют).

4. .

5. (если оба предела в правой части существуют).

6. (если оба предела в правой части существуют и предел знаменателя не равен нулю).

7. Теорема про двухстороннее ограничение (Теорема про двух милиционеров): если , то и

Предел функции

Замечание. Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, которые приведены выше.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Замечательные пределы, формулы и доказательства

Первый замечательный предел:

   

Следствия:

   

   

   

   

Подробнее про первый замечательный предел читайте в отдельной теме.

Примеры решений с первым замечательным пределом

Второй замечательный предел

   

здесь – постоянная Эйлера

Следствия:

   

   

   

   

   

Подробнее про второй замечательный предел читайте в отдельной теме.

Примеры решений со вторым замечательным пределом

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Элементы математического анализа

Предел числовой последовательности

      Определение 1. Число   a   называют пределом числовой последовательности

a1 ,  a2 , … an , …

если для любого положительного числа   ε   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| an

– a | < ε .

      Условие того, что число   a   является пределом числовой последовательности

a1 ,  a2 , … an , … ,

записывают с помощью обозначения

и произносят так: «Предел   an   при   n ,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».

      То же самое соотношение можно записать следующим образом:

ana   при .

Словами это произносится так: «an   стремится к   a   при   n ,   стремящемся к бесконечности».

      Замечание. Если для последовательности

a1 ,  a2 , … an , …

найдется такое число   a ,   что   ana   при , то эта последовательность ограничена.

      Определение 2. Говорят, что последовательность

a1 ,  a

2 , … an , …

стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| an| > C .

      Условие того, что числовая последовательность

a1 ,  a2 , … an , … ,

стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения

или с помощью обозначения

 при .

      Пример 1. Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

      Пример 2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

      Пример 3. Для любого числа   a   такого, что   | a | < 1,   справедливо равенство

      Пример 4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство

      Пример 5 . Последовательность

– 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,

заданная с помощью формулы общего члена

an = (– 1)n ,

предела не имеет.

Свойства пределов числовых последовательностей

      Рассмотрим две последовательности

a1 ,  a2 , … an , … ,   и   b b, … bn , … .

Если при существуют такие числа   a   и   b ,  что

  и   ,

то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

      Если, кроме того, выполнено условие

то при существует предел дроби

причем

      Для любой непрерывной функции   f (x)   справедливо равенство

Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

      Рассмотрим геометрическую прогрессию

b1 ,  b2 , … bn , … ,

знаменатель которой равен   q .  

      Для суммы первых   n   членов геометрической прогрессии

Sn = b1 + b2 + … + bn  ,       n = 1, 2, 3, …

справедлива формула

      Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение

S = b1 + b2 + … + bn + … ,

то будет справедлива формула

      В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель   q   удовлетворяет неравенству

| q | < 1 ,

поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем

      Итак,

Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей

      Определение 3. Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

      Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменале дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

      Пример 6. Найти предел последовательности

      Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:

      Ответ.

      Пример 7 . Найти предел последовательности

      Ответ.

      В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа.

      Пример 8 . Найти предел последовательности

      Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

      Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби:

Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

      Ответ.

      Пример 9. Найти предел последовательности

      Решение. В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к. Для того, чтобы раскрыть неопределенность, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».

      Из-за большого размера формул подробные вычисления видны только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах). На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.

      Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби,а затем сокращая дробь на n2:

Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

      Ответ.

      Пример 10. Найти предел последовательности

      Решение. Замечая, что для всех   k = 2, 3, 4, …   выполнено равенство

,

получаем

      Ответ.   1 .

Число e. Второй замечательный предел

      Рассмотрим последовательность

(1)

      В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой   e.

      Таким образом, справедливо равенство

(2)

причем расчеты показывают, что число

e = 2,718281828459045…

и является иррациональным и трансцендентным числом.

      Число   e   играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции

y = e x,

которую называют «экспонента».

      Число   e   также является пределом последовательности

(3)

что позволяет вычислять число   e   с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.

      Замечание. Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа , называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.

 

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Пределы для чайников, с подробными примерами

Определение предела

Предел числовой последовательности обозначается как .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Часто используемые пределы

Приведем часто употребляемые пределы и их значения, которые можно (и даже нужно) запомнить как формулы:

1.

Здесь запись означает соответствующую неопределенность, которая требует дальнейшего «раскрытия» (то есть от неопределенности необходимо избавиться).

2.

3. – первый замечательный предел.

4. – второй замечательный предел.

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Предел последовательности, формулы и примеры

Доказательство Предположим противное, что заданная последовательность имеет предел, который равен . Это означает, что для любого существует такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство :

   

Поскольку имеют место следующие неравенства:

   

тогда взяв , будем иметь, что

   

Или, подставляя значения:

   

Рассмотрим модуль следующей разности: . С одной стороны имеем, что

   

а с другой стороны модуль разности меньше либо равен суммы модулей, то есть

   

   

Итак, имеем, что

   

То есть получили противоречие , которое означает, что предположение, что заданная последовательность имеет предел, который равен , неверно. Следовательно, последовательность не имеет предела.

Что и требовалось доказать.

ru.solverbook.com

пределы / Формула вычисления предела / Математика

Эта формула в общем случае неверна. Возьмём, например, $%a=2$% и рассмотрим функцию $%x^x$%. Тогда в левой части получается $%2^2=4$%, а в правой $%e^{(2-1)\cdot2}=e^2$%.

Думаю, дело в следующем. Если $%u(x) > 0$%, то $%u(x)=e^{\ln u(x)}$%, то есть $%u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$%. Ввиду того, что экспонента -- непрерывная функция, её предел будет равен $%e$% в степени предела выражения $%v(x)\ln u(x)$%. Если предел $%u(x)$% тоже больше нуля, как и сама функция, то всё просто. Скажем, если обе функции непрерывны, то пределы равны значениям функции, и получится число $%v(a)\ln u(a)$% в показателе экспоненты. Сам предел функции $%u(x)^{v(x)}$% в этом простом случае будет равен $%u(a)^{v(a)}$%, как и в рассмотренном только что примере.

Теперь рассмотрим особые случаи. Один из них заключается в том, когда $%u(x)\to0$% при $%x\to a$%. Если $%v(x)$% имеет конечный предел, отличный от нуля (для простоты, пусть он равен $%v(a)$%), то в показателе степени получится $%v(a)\cdot(-\infty)$%. В зависимости от знака $%v(a)$%, это будет $%-\infty$% или $%+\infty$%, и тогда итоговое значение предела равно либо $%e^{-\infty}=0$%, либо $%e^{+\infty}=+\infty$%.

Наконец, рассмотрим ситуацию, когда $%v(x)$% имеет бесконечный предел. Здесь заслуживает внимания лишь случай, когда $%\ln u(x)$% стремится к нулю: в показателе степени возникает неопределённость типа $%\infty\cdot0$%. В остальных случаях всё понятно. Таким образом, $%u(x)\to1$%, поскольку логарифм стремится к нулю, и тогда можно записать $%u(x)=1+(u(x)-1)$%, где $%u(x)-1\to0$% -- бесконечно малая величина.

Известно, что $%\ln(1+t)\sim t$% при $%t\to0$%. Значит, $%\ln u(x)\sim u(x)-1$% при этих условиях. Замена множителя на эквивалентный ему не меняет значения предела функции, если он существует. Поэтому мы можем сказать, что если существует предел $%\lim\limits_{x\to a}(u(x)-1)v(x)=b$%, то для исходного предела получается значение $%e^b$%.

Таким образом, формула применима при естественных ограничениях. Если они не выполнены, то сама формула не нужна. Простейший пример, когда формула применима: $%(1+\frac1x)^{x+1}$% при $%x\to+\infty$% (значение $%a$% может быть любым -- в том числе бесконечным). Здесь $%u(x)\to1$%, $%v(x)\to+\infty$%, то есть это неопределённость типа $%1^{\infty}$%. Здесь $%(u(x)-1)v(x)=\frac{x+1}x\to1$%, поэтому предел равен $%e$%.

отвечен 20 Май '15 16:03

math.hashcode.ru