Пределы с синусами как решать – .

Тригонометрические пределы. Первый замечательный предел

ПР13. Найдите тригонометрические пределы простой подстановкой:

1) а) ; б); в); г); д);

2) а) ; б); в); г); д).

Пример 19. Легко видеть, что

а) ;

б) .

Предел помогает, если при вычислении тригонометрических функций получается неопределённость. Оказывается, если прифункция, то выполнено приближённое равенство

,

и все 4 функции примерно равны собственному аргументу. Тем самым, если аргумент , указанные функции являютсяэквивалентными бесконечно малыми (предел их соотношения равен 1).

Так, ,, поскольку. Как применить это при вычислении пределов, показано в примерах.

ПР14. Раскройте неопределённость при помощи эквивалентных бесконечно малых величин:

1) ; б); в)

; г); д);

2) ; б); в); г); д).

Пример 20. Если заменить функции собственным аргументом, то

а) ;

б) ;

в) .

ПР15. Раскройте неопределённость при помощи эквивалентных бесконечно малых и тождества:

1) а) ; б); в); г)

;

2) а) ; б); в); г).

Пример 21.

.

Пример 22.

(учли, что по смыслу задачи , иначене существует).

При переходе к эквивалентным бесконечно малым следует проявлять осторожность, когда присутствует разность или сумма функций, тем более, если после упрощений получается 0 в числителе или знаменателе:

.

Попытка перейти в числителе к разности приведёт к ошибке: либо решим, что в числителе «чистый» 0, и потому ответ равен 0, либо вовсе зайдём в тупик.

Второй замечательный предел

Предел применяют для раскрытия неопределённостей вида

, связанных с показательными функциями. Равносильное свойство:

Однако, как при вычислении любого предела, начинать следует с подстановки предельной точки. Если вместо точки указана бесконечность, пытаются упростить пример, найдя предел основания, степени и т.п. И только при возникновении неопределённости применяют замечательный предел.

Схема применения 2-го замечательного предела

Пусть при оказалось, что, а. Тогда.

Считаем, что , гдепри. Тогда

.

Поскольку , то.

Найдём предел

, и если он равен числуA, то весь предел равен .

ПР16. Найдите пределы простой подстановкой:

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г).

Пример 23. .

ПР17. Найдите пределы, воспользовавшись свойствами показательной функции , а именно – её значениями при, когда

или:

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г).

В задании 2 в каждом примере получаются 2 ответа – в зависимости от знака бесконечности.

Пояснение. Если , тои. Если, тои

. Призависимостьне является функцией (точнее, это функция, разрывная в каждой действительной точке).

Пример 24. Видно, что

.

Тогда, поскольку при величинаобращается в 0,

.

Пример 25. Находим

.

Основание , а в этом случае. Поэтому

.

Пример 26. Здесь

.

Но функция – это то же, что

. А эта функция стремится к 0 прии обращается впри. Тогда.

ПР18. При помощи 2-го замечательного предела раскройте неопределённость , когда аргумент стремится к бесконечности:

1) а) б); в); г);

2) а) б); в); г);

3)а) ; б); в); г)

;

4) а) ; б); в); г);

5) а) ; б); в); г).

Пример 27. .

Пример 28.Найдём . Представим основание так:

(а лучше сразу заметить, что ).

Тогда .

Но .Поэтому .

ПР19. При помощи 2-го замечательного предела раскройте неопределённость

, когда аргумент стремится к 0:

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г).

Пример 29. Преобразовав степень, получаем

а) ;

б) .

ПР20. Найдите пределы

1) а) ; б); в); г)

;

2) а) ; б); в); г).

Пример 30. Найдём . Здесь

,

и тогда

.

В степени присутствует , но, поэтому

. Это и есть ответ.

Пример 31. Найдём . Представив, получаем, что.

Теперь находим . Преобразуем показатель степени так:

.

Тогда

Ответ: .

studfiles.net

Замечательные примеры. Определение и примеры.

В этой статье будут рассмотрены первый и второй замечательные пределы. Мы дадим их определение и разберем на примерах случаи практического применения. Перед прочтением рекомендую сначала ознакомиться с предыдущей статьей о пределах.

Итак, замечательными пределами будем называть тождества вида:

Первый замечательный предел

Как при решении конкретной задачи увидеть и использовать первый замечательный предел? Для этого нужно выяснить, стремится ли к нулю аргумент синуса. Понятно, что далеко не всегда синус будет зависеть именно от . Чаще всего это будут некоторые выражения, но главное, чтобы они обращались в при подстановке предельного значения .

Пример 1. Вычислить предел

   

Решение:   При подстановке предельного значения получаем неопределенность вида .  Очевидно, что аргумент синуса стремится к нулю при .

Таким образом, для использования первого замечательно предела нужно получить в знаменателе дроби в точности аргумент синуса . Умножим числитель и знаменатель дроби на :

   

Предел выражения    при равен единице, в соответствии с первым замечательным пределом.

   

Ответ:  

[свернуть]

Пример 2. Вычислить предел

   

Решение:   Подставляем предельное значение , получаем неопределенность вида .

В числителе имеем квадрат синуса, аргумент которого стремится к нулю. Следовательно, удобно будет воспользоваться первым замечательным пределом:

   

   

Ответ:  

Здесь был дважды применен первый замечательный предел. Мы воспользовались тем фактом, что предел выражения    равен при .

[свернуть]

Помимо стандартной формы записи первого замечательно предела, будет справедливо следующее равенство:

   

Рассмотрим пример с использованием данной  модификации.

Пример 3. Вычислить предел

   

Решение:   При подстановке предельного значения получаем неопределенность вида . Аргумент синуса стремится к нулю.

Для использования замечательного предела в числителе дроби должен иметь третью степень. Добьемся этого, умножив числитель и знаменатель дроби на :

   

Теперь, согласно первому замечательному пределу, вместо выражения    можно просто написать :

   

Ответ:  

[свернуть]

Разберем теперь пару примеров, в которых отсутствует синус, но его возможно получить, прибегнув к различным формулам тригонометрии.

Пример 4. Вычислить предел

   

Решение:   При подстановке предельного значения получаем неопределенность вида . Синуса не видно, однако, можно поступить следующим образом: запишем тангенс как отношение синуса к косинусу.

   

Синус появился и аргумент его стремится к нулю — всё хорошо, можно применять первый замечательный предел:

   

Ответ:  

[свернуть]

Пример 5. Вычислить предел

   

Решение:   При подстановке предельного значения получаем неопределенность вида . Синуса опять не видно. Как его получить, чтобы воспользоваться замечательным пределом? Предлагаю умножить и разделить дробь на :

   

В числителе появилась формула разности квадратов . У нас есть ее левая часть, то есть , а . Имеем:

   

Синуса мы не получили, однако в числителе хорошо просматривается основное тригонометрическое тождество . Таким образом, вместо можем смело написать :

   

   

   

Ответ:  

[свернуть]

И еще одна задача. Чтобы не было зацикливания на том, что обязательно 🙂

Пример 6. Вычислить предел

   

Решение:   При подстановке предельного значения получаем неопределенность вида .

Как видим, не стремится к нулю, а вот выражение стремится. Для решения такой задачи удобно ввести замену . При этом понятно, что . Получаем:

   

Синуса нет, но его легко получить, расписав котангенс как отношение косинуса к синусу:

   

   

Ответ:  

[свернуть]

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел служит для избавления от неопределенности вида . Таким образом, если при подстановке предельного значения была получена неопределенность , то сразу понимаем, что предстоит работа именно со вторым замечательным пределом.

Пример 7. Вычислить предел

   

Решение: Самое первое действие — подставляем предельное выражение . При этом , а всё выражение представляет собой неопределенность .

Наша задача состоит в том, чтобы получить запись вида

   

Умножим и разделим показатель степени на .

   

Видим выражение — это второй замечательный предел, заменяем его на букву .

   

Ответ:  

[свернуть]

Замечание. — это иррациональное, равное , то есть приблизительно .

Пример 8. Вычислить предел

   

Решение: При подстановке предельного значения имеем неопределенность . Если с понимаем этого факта еще возникают сложности, читайте предыдущую статью о пределах.

В основании находится . Следовательно, в показателе степени должно оказаться выражение, обратное к , то есть . Чтобы ничего не изменилось, умножим и разделим показатель на .

   

   

Теперь выражение есть второй замечательный предел. Получаем:

   

Отдельно вычислим предел, обозначенный через :

   

Возвращаемся к решению исходного предела:

   

Ответ:  

[свернуть]

В обоих разобранных примерах основание степени изначально имело вид «единица плюс выражение от икс». Однако, чаще всего студенту нужно выделить эту единицу самостоятельно:

Пример 10. Вычислить предел

   

Решение:  При подстановке предельного значения получаем . Преобразуем основание степени, дробь, следующим образом:

   

   

Вновь мысленно подставляем предельное значение — получаем нашу неопределенность .

   

   

Ответ:  

[свернуть]

Рассмотрим самую популярную при решении практических задач модификацию второго замечательного предела:

   

Буквально пару дней назад встретил интересную задачу как раз для этой формулы:

Пример 11. Вычислить предел

   

Решение:  Икс не стремится ни к нулю, ни к бесконечности. Однако, при подстановке предельного значения мы вновь видим неопределенность . Прибавим и отнимем в основании степени единицу:

   

Теперь в основании появилась единица плюс выражение от икс, стремящееся к нулю. Используем модификацию второго замечательного предела:

   

   

   

В результате получили новый предел, с которым тоже нужно как-то разобраться. При подставке имеем неопределенность вида . Введем замену . При этом понятно, что .

   

Для тангенса применим формулу тангенса от суммы двух углов. Для косинуса применим формулу приведения.

   

   

   

Возвращаемся к исходному пределу:

   

Ответ:   

[свернуть]

На этом всё. Надеюсь, что статья была полезна.

Удачи в освоении пределов замечательных и не очень! 🙂


higher-math.ru

Второй замечательный предел — МегаЛекции

Первый замечательный предел

Рассмотрим следующий предел:

Согласно нашему правилу нахождения пределов пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.

– тот же самый первый замечательный предел.

! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.

Примеры:
, , ,

Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим.

А вот следующая запись – ересь:

Почему? Потому-что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.

Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел ? Ответ можно найти в конце урока.

Переходим к рассмотрению практических примеров:

Пример 1

Найти предел

Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.

Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):

Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .

В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ».
А делается это очень просто:



То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:


Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:

Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:

 

Пример 2

Найти предел

Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:

Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей):

Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас , значит, в числителе тоже нужно получить :

Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:

Собственно, ответ готов:

Пример 3

Найти предел

Подставляем ноль в выражение под знаком передела:

Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле ( В данном случае:

Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):

Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.

Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел:

Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:

В итоге получена бесконечность, бывает и такое.

Пример 4

Найти предел

Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:

Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)

Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.

Постоянные множители вынесем за значок предела:

Организуем первый замечательный предел:


Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:

Избавимся от трехэтажности:

Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:

 

Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка: – это иррациональное число.

В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция.Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример 6

Найти предел

Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение , Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :

Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :

Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:


Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :

При этом сам значок предела перемещаем в показатель:

Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.

Пример 7

Найти предел

Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.

Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас , значит, в числителе тоже нужно организовать :

Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Вроде бы основание стало напоминать , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:

Таким образом, основание приняло вид , и, более того, появилась нужная нам неопределенность . Организуем второй замечательный предел .
Легко заметить, что в данном примере . Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь :

Наконец-то долгожданное устроено, с чистой совестью превращаем его в букву :

Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида , раскрывать такую неопределенность мы научились на уроке Пределы. Примеры решений. Делим числитель и знаменатель на :

Готово.


Рекомендуемые страницы:


Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru

Первый замечательный предел — Мегаобучалка

Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).

Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.

Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:

– тот же самый первый замечательный предел.

! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде, то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.

Примеры:
, , ,

Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим.

А вот следующая запись – ересь:

Почему? Потому-что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.

Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел ? Ответ можно найти в конце урока.

На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел и получить лёгкий зачет. Все-таки «халявные» математические определения и формулы вроде лучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример («а может он (а) все-таки знает чего?!»).

Переходим к рассмотрению практических примеров:

Пример 1

Найти предел

Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.



Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):

Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .

В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ».
А делается это очень просто:

То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:


Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:

Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:

Готово. Окончательный ответ:

Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:



Используем первый замечательный предел

Пример 2

Найти предел

Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:

Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На уроке Пределы. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей):

Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас , значит, в числителе тоже нужно получить :

Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:

Собственно, ответ готов:

В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно.

Пример 3

Найти предел

Подставляем ноль в выражение под знаком передела:

Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле (кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. методический материалГорячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы).

В данном случае:

Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):

Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.

Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел:

Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:

В итоге получена бесконечность, бывает и такое.

Пример 4

Найти предел

Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:

Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)

Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.

Постоянные множители вынесем за значок предела:

Организуем первый замечательный предел:


Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:

Избавимся от трехэтажности:

Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:

Пример 5

Найти предел

Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно:

 

megaobuchalka.ru