Высшая математика уравнения дифференциальные уравнения – Дифференциальные уравнения | Высшая математика
- Комментариев к записи Высшая математика уравнения дифференциальные уравнения – Дифференциальные уравнения | Высшая математика нет
- Советы абитуриенту
Дифференциальные уравнения
Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
$\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$).
Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ :
а) дифференцируемы в окрестности точки $a,$ за исключением, быть
может, самой точки $a,$ причем $g'(x)\neq 0$ в этой окрестности;
б) функции $f(x)$ и $g(x)$ являются одновременно либо бесконечно
малыми либо бесконечно большими при $x\rightarrow a;$
в) существует конечный $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$
Тогда существует $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ и
выполняется равенство $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$
Если функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в точке $a,$
$g(a)=f(a)=0,$ $ g'(a)\neq ,0$ то $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$
Примеры:
1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}$
Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:
$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{5x^4}{6x^2-1}=1.$
2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-arctg x}{x^3}$
Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:
$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-arctg x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{3x^2(1+x^2)=\frac{1}{3}.}$$
3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$
Имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:
$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0.$$
4. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3 x}.$
Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Замечая, что $\sin x\sim x$ при $x\rightarrow 0,$ по правилу Лопиталя находим
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3 x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-\cos x+x\sin x}{3x^2}=$ $\frac{1}{3}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{3}.$
5. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^10-10x+9}{x^5-5x+4}.$
Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:
$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^10-10x+9}{x^5-5x+4}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{10x^9-10}{5x^4-5}.$
Пользуясь еще раз правилом Лопиталя, находим
$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{10x^9-10}{5x^4-5}=2\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^9-1}{x^4-1}=2\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{9x^8}{4x^3}=\frac{9}{2}.$
6. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$
Пусть $k=[\alpha]+1;$ тогда $\alpha-k<0.$
Применяя правило Лопиталя $k$ раз, получаем $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha x^{\alpha-1}}{\beta e^{\beta x}}=…=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)…(\alpha-k+1)x^{\alpha-k}}{\beta^k e^{\beta x}}=0.$
7. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$
Пусть $\ln x =t;$ тогда $x=e^t$ и $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}}=\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^{\alpha}}{e^{\beta t}}=0$ (пример 6).
Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:
8. $\lim\limits_{x\rightarrow +0}x\ln x$
Преобразуя неопределенность вида $0\cdot\infty$ к виду $\frac{\infty}{\infty}$ и применяя правило Лопиталя имеем
$$\lim\limits_{x\rightarrow +0}x\ln x=\lim\limits_{x\rightarrow +0}\frac{\ln x}{1/x}=\lim\limits_{x\rightarrow +0}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow +0}(-x)=0.$$
9. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^{50}}e^{-1/x^2}.$
Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Полагая $1/x^2=t,$ получаем
$$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^{50}}e^{-1/x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{t^{25}}{e^t}=0.$$
10. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-ctg^2 x\right).$
Преобразуя неопредленность вида $\infty-\infty$ к виду $\frac{0}{0}$ и используя асимптотическую формулу $\sin x \sim x$ при $x\rightarrow 0,$ получаем
$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-ctg^2 x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^2 x-x^2\cos^2 x}{x^2\sin^2 x}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(\sin x+x\cos x)(\sin x-x\cos x)}{x^2\sin^2 x}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}.$$
Так как
$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}+\lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos x=2,$$
а $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\frac{1}{3}$ (см. пример 4), то искомый предел равен $2/3.$
mathportal.net
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения
Общие сведения. 1
Дифференциальные уравнения первого порядка. 1
1. Уравнения с разделяющимися переменными. 1
2. Дифференциальные уравнения вида . 2
3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. 2
4. Дифференциальные уравнения, приводимые к однородным.. 2
5. Линейные уравнения. 2
6. Уравнение Бернулли. 3
7. Особые точки и особые решения дифференциальных уравнений первого порядка 3
8. Уравнение в полных дифференциалах. 3
9. Метод введения интегрирующего множителя. 4
10. Уравнение Риккати. 4
11. Уравнения, неразрешенные относительно производной. 4
Дифференциальные уравнения второго порядка. 4
Основные определения. 4
24. Общее решение линейного однородного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. 4
Характеристическое уравнение. 4
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка 5
Пример решения дифференциального уравнения второго порядка 5
Дифференциальные уравнения высших порядков. 7
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 9
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 10
Метод вариации произвольных постоянных. 10
Дифференциальным называют уравнение, содержащее независимую переменную, искомую функцию и ее производные различных порядков:
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая при подстановке ее в уравнение превращает его в тождество.
/******************************
Пример. Решением уравнения
Есть функция , и вообще любая функция вида при любом выборе постоянных и .
/******************************
Общим решением дифференциального уравнения называется функция , которая зависит от произвольных постоянных и удовлетворяет заданному уравнению при любых конкретных значениях .
Общее решение дифференциального уравнения, не разрешенное относительно Y, часто называют также Общим интегралом.
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
Если это уравнение можно разрешить относительно У’, То его можно записать в виде
В этом случае мы говорим, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной. Для такого уравнения справедлива следующая теорема, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.
Теорема. Если в уравнении Функция F (х, у) и ее частная производная по у непрерывны в некоторой области
1. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение типа называют уравнением С разделенными переменными. Общий интеграл его есть
Уравнение вида
Называется уравнением С разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих частей на :
2. Дифференциальные уравнения вида
Такие уравнения решают подстановкой . Производная новой функции равна
Подставляя в исходное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Это уравнения вида
Где – однородные функции одного измерения, или – однородная функция.
Такие уравнения решают заменой . Тогда
После подстановки в исходное уравнение получим уравнение с разделяющимися переменными.
4. Дифференциальные уравнения, приводимые к однородным
К однородному приводится уравнение
Подстановкой , при этом H и K подбираются так, чтобы выполнялись равенства:
(необходимо решить систему уравнений)
Если определитель этой системы равен нулю, то после подстановки приходим к уравнению с разделяющимися переменными.
5. Линейные уравнения
Решение ищут в виде произведения функций: , тогда
Функцию V выбирают такой, чтобы выполнилось равенство:
отсюда ,
6. Уравнение Бернулли
Подстановка , приводит к линейному уравнению:
Это уравнение можно также решать предыдущим способом (в виде произведения двух функций).
7. Особые точки и особые решения дифференциальных уравнений первого порядка
Это решения, не входящие в семейство общих решений. График таких решений есть Огибающая семейства интегральных кривых. Линия называется огибающей, если в каждой своей точке она касается той или иной линии семейства кривых.
См. Пискунов, стр.39, стр. 45
8. Уравнение в полных дифференциалах
– неоднородные функции, но соблюдается условие
(*)
Решение имеет вид , где функцию находят интегрированием любой части равенства (*):
А) ,
Полученное выражение дифференцируют по У , результат приравнивают к , находят и решают уравнение
Б)
Полученное выражение дифференцируют по Х , результат приравнивают к , находят и решают уравнение
9. Метод введения интегрирующего множителя
Если левая часть уравнения Не есть Полный дифференциал, то иногда удается найти Интегрирующий множитель, так что левая часть становится полным дифференциалом:
,
10. Уравнение Риккати
В общем случае уравнение неразрешимо. Если известно одно частное решение , то заменой (z – новая переменная) уравнение сводится к линейному
11. Уравнения, неразрешенные относительно производной
Решение можно найти, только если из уравнения легко выражается Х или У
. Тогда решение находится Методом введения параметра.Основные определения
Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид: .
Общее решение такого уравнения всегда содержит Две произвольные постоянные и . Частное решение (т. е. конкретные значения постоянных) находят из начальных условий вида ; (такое частное решение часто называют Задачей Коши).
24. Общее решение линейного однородного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение вида называют Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если правая часть уравнения равна нулю, то уравнение называется Однородным.
Характеристическое уравнение
Для решения таких однородных уравнений вначале составляют так называемое Характеристическое уравнение, которое имеет вид:
Вид общего решения однородного уравнения определяется корнями характеристического уравнения. При этом возможны следующие случаи:
1. , т. е. корни характеристического уравнения , – действительные числа. Общее решение имеет вид: .
2. , т. е. корни характеристического уравнения – действительные числа, причем (обозначим кратный корень как K) . Общее решение имеет вид: .
3. , т. е. корни характеристического уравнения , – комплексные числа, причем , (). Общее решение имеет вид: .
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Общее решение неоднородного уравнения при правой части, не равной нулю, имеет вид: , где – общее решение соответствующего однородного уравнения (нахождение этого решения описано в предыдущем разделе), – некоторое частное решение неоднородного уравнения. Вид этого частного решения зависит от вида правой части уравнения.
1. Если имеет вид ( – полином степени N), то частное решение имеет вид: , где – полином той же степени, что и . Число R равно нулю, если M не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, в противном случае R равно кратности совпадений M с корнями характеристического уравнения.
2. Если имеет вид (А, В – действительные числа), то частное решение имеет вид: (M,N – неопределенные коэффициенты).
Пример решения дифференциального уравнения второго порядка
Найдем решение дифференциального уравнения
При начальных условиях:
Это линейное неоднородное уравнение второго порядка. Как уже говорилось, его решение имеет вид: , где – общее решение соответствующего однородного уравнения, а – частное решение неоднородного уравнения.
Составим характеристическое уравнение: . Корни этого уравнения равны: ; . Так как корни действительны и различны, то общее решение имеет вид:
Правая часть уравнения имеет вид , причем в данной задаче M = 4, . Число M не является корнем характеристического уравнения, Поэтому частное решение ищем в виде , где Q(X) =C – многочлен той же степени, что и P(x).
Константу многочлена C найдем с помощью метода неопределенных коэффициентов: ; . Подставляя эти значения в исходное уравнение, получим: , отсюда
Следовательно, частное решение равно: , а решение уравнения в целом имеет вид:.
Значения констант находим из начальных условий:
, отсюда
отсюда
Решая систему уравнений, находим: С1 = 7; С2 = –6.
Окончательно получаем решение дифференциального уравнения:
Выполним проверку решения:
Следовательно, решение найдено верно.
po-teme.com.ua
Дифференциальные уравнения
Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Научно-издательский центр “Регулярная и хаотическая динамика”. 2000.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде $$y’=f(x)g(y),\qquad\qquad\qquad(1)$$ а также в виде $$M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0.\qquad\qquad\qquad(2)$$ Для решения этого уравнения его нужно преобразовать таким образом, чтобы в одну часть уравнения входило только $x,$ а в другую только $y,$ а затем проинтегрировать обе части.
При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные $x$ и $y,$ могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.
Пример. Решить уравнение $$x^2y^2y’+1=y.$$
Решение.
Преобразуем заданное уравнение к виду (2).
$$x^2y^2\frac{dx}{dy}=y-1;\qquad\qquad x^2y^2dy=(y-1)dx.$$
Делим обе части уравнения на $x^2(y-1):$
$$\frac{y^2}{y-1}dy=\frac{dx}{x^2}.$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int\frac{y^2}{y-1}dy=\int\frac{dx}{x^2}.$$
$$\int\frac{y^2}{y-1}dy=\int\frac{y^2-1+1}{y-1}dy=\int\left(y+1+\frac{1}{y-1}\right)dy=\frac{y^2}{2}+y+\ln|y-1|+C.$$
$$\int\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C.$$
Таким образом,
$$\frac{y^2}{2}+y+\ln|y-1|=-\frac{1}{x}+C.$$
При делении на $x^2(y-1)$ могли быть потеряны решения $x=0$ и $y-1=0,$ то есть $y=1.$ Если подставить эти значения в условие, то становится очевидно, что $y=1$ – решение заданного уравнения, а $x=0$ – нет.
Ответ: $\frac{y^2}{2}+y+\ln|y-1|=-\frac{1}{x}+C,$ $y=1.$
Уравнения сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Уравнения вида $y’=f(ax+by)$ приводится к уравнениям с разделяющейся переменной заменой $z=ax+by$ (или $z=ax+by+c,$ где $c- $ любое).
Примеры.
65. $y’=\sqrt{4x+2y-1}.$
Решение.
Сделаем замену переменных.
$z=4x+2y-1.$ Отсюда $y=\frac{1}{2}(z-4x+1)\Rightarrow y’=\frac{1}{2}z’-2$
Получаем $$\frac{1}{2}z’-2=\sqrt{z}$$
Преобразуем данное уравнение к виду (2).
$$\frac{dz}{2dx}=\sqrt{z}+2\Rightarrow \frac{dz}{\sqrt z+2}=2dx$$
Интегрируем обе части уравнения:
$$\int\frac{dz}{\sqrt z+2}=\int 2dx$$
$$\int\frac{dz}{\sqrt z+2}=[z=t^2\qquad dz=2tdt]=\int\frac{2tdt}{t+2}=2\int\frac{t+2-2}{t+2}dt=2(t-2\ln|t+2|)+C=$$ $$=2(\sqrt z-2\ln|\sqrt z+2|)+C=2(\sqrt{4x+2y-1}-2\ln|\sqrt{4x+2y-1}+2|)+С.$$
$$\int 2dx=2x+C.$$
Таким образом, получили
$$2(\sqrt{4x+2y-1}-2\ln|\sqrt{4x+2y-1}+2|)=2x+C\Rightarrow \sqrt{4x+2y-1}-\ln(\sqrt{4x+2y-1}+2)=x+C.$$
Ответ: $$\sqrt{4x+2y-1}-\ln(\sqrt{4x+2y-1}+2)=x+C..$$
mathportal.net
Математический анализ и дифференциальные уравнения
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Часть 5: Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференциальных уравнений первого порядка с частными производными. – Харьков: изд-во при Харьковском гос. университете, 1972. – 413с.
Книга содержит подробный разбор и решение типовых задач по таким разделам высшей математики: векторный анализ, алгебра матриц и их приложений к решению задач линейной алгебры, линейные дифференциальные у равнения с частными производными первого порядка, решение алгебраических и трансцендентных уравнений.
Книга рассчитана на студентов высших технических учебных заведений и может быть полезной также преподавателям, ведущим практические занятия.
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Часть 4: Кратные и криволинейные интегралы. – Харьков: изд-во при Харьковском гос. университете, 1971. – 133с.
Книга содержит разбор и подробное решение типовых задач по интегральному исчислению и интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, кратным и криволинейным интегралам.
Большое количество задач, для упражнений снабжено указаниями, промежуточными результатами и ответами.
Книга соответствует новой программе по высшей математике. Она рассчитана на студентов высших технических учебных заведений, а также может быть полезна преподавателям, ведущим практические занятия.
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике (Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Дифференциальное исчисление функций одной и многих независимых переменных. Интегральное исчисление функций одной одной независимой переменной. Интегрирование дифференциальных уравнений). Часть I-III. – Харьков: изд-во при Харьковском гос. университете, 1967. – 947с.
В книге разобраны и подробно решены типовые задачи по аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, дифференциальному и интегральному исчислениям и по интегрированию дифференциальных уравнений.
Из задач, помещенных для самостоятельного решения, многие снабжены указаниями, промежуточными результатами и ответами.
Книга рассчитана на студентов высших технических учебных заведений, может быть полезна также преподавателям, ведущим практические занятия.
Математический анализ в примерах и задачах, ч. 2. Ряды, функции нескольких переменных, кратные и криволинейные интегралы. Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Издательское объединение «Вища школа», 1977, 672 с.
Пособие состоит из четырех глав. В начале каждого параграфа помещен соответствующий теоретический материал, а затем подробно рассмотрены примеры и контрпримеры. В нем содержится свыше 1140 решенных примеров и задач, имеются также примеры и задачи для самостоятельного решения.
Пособие предназначено для студентов механико-математических и физических факультетов, а также факультетов кибернетики университетов, физико-математических факультетов педагогических институтов и для студентов технических вузов.
Математический анализ в примерах и задачах, ч. 1. Введение в анализ, производная, интеграл. Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Издательское объединение «Вища школа», 1974, 680 с.
Пособие состоит из четырех глав. В начале каждого параграфа помещен соответствующий теоретический материал, а затем подробно рассмотрены примеры и контрпримеры. Книга содержит свыше 1400 примеров и задач, к которым поданы подробные решения.
Пособие предназначено для студентов механико-математических и физических факультетов, а также факультетов кибернетики университетов, физико-математических факультетов педагогических институтов и для студентов технических вузов. Ил. 158.
Михайлова Л.М. Уникальные ряды «золотого сечения, золотой пропорции».- Авторская рукопись. – 32 с.
От автора:
“Считаю, что «Уникальный ряд «золотого сечения, золотой пропорции»» -это математический ряд Мироздания в обширнейшем диапазоне от Микромира (он может пригодиться в ядерной физике) до Макромира, причём под Макромиром надо подразумевать не только Солнечную Систему, но и другие Звёздные Системы, и Галактики.
Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. – М.: ИЛ, 1950.
В книге А. Зоммерфельда «Дифференциальные уравнения в частных производных физики», являющейся шестым томом его лекций по теоретической физике, последовательно изложен круг вопросов, входящих обычно в курс методов математической физики (ряды Фурье, проблемы, связанные с рассмотрением уравнений в частных производных второго порядка, цилиндрические и шаровые функции, уравнения колебаний мембран и т. д.).
edu-lib.com
Дифференциальные уравнения – Всё для чайников
- Главная
-
Видеотека
-
Естествознание
- Физика
- Математика
- Химия
- Биология
- Экология
-
Обществознание
- Обществознание – как наука
- Иностранные языки
- История
- Психология и педагогика
- Культурология
- Экономика
- Менеджмент
- Логистика
- Статистика
- Философия
- Бухгалтерский учет
-
Технические науки
- Черчение
- Материаловедение
- Сварка
- Электротехника
- АСУТП и КИПИА
- Технологии
- Теоретическая механика и сопромат
- САПР
- Метрология, стандартизация и сертификация
- Геодезия и маркшейдерия
-
Программирование и сеть
- Информатика
- Языки программирования
- Алгоритмы и структуры данных
- СУБД
- Web разработки и технологии
- Архитектура ЭВМ и основы ОС
- Системное администрирование
- Создание программ и приложений
- Создание сайтов
- Тестирование ПО
- Теория информации и кодирования
- Функциональное и логическое программирование
-
Программы
- Редакторы и компиляторы
- Офисные программы
- Работа с аудио видео
- Работа с компьютерной графикой и анимацией
- Автоматизация бизнеса
-
Прочие
- Музыка
- Природное земледелие
- Рисование и живопись
-
Естествознание
-
Библиотека
-
Естествознание
- Физика
- Математика
- Химия
- Биология
- Экология
- Астрономия
-
Обществознание
- Иностранные языки
- Технические науки
-
Естествознание
forkettle.ru
Основные дифференциальные уравнения и их решения
Разделение переменных
f1(x)g1(y)dx + f2(x)g2(y)dy = 0
Решение
$\int\frac{f_1(x)}{f_2(x)}dx + \int\frac{g_2(y)}{g_1(y)}dy = c$
Линейное уравнение первого порядка
dx/dy + P(x)y = Q(x)
Решение
$y e^{\int P dx} = \int Q e^{\int P dx} dx + c$
Уравнение Бернулли
dy/dx + P(x)y = Q(x)yn
Решение
$v e^{(1-n) \int P dx} = (1-n) \int Q e^{(1-n) \int P dx} dx + c$
, где v = y1-n.
Если n = 1, решение имеет вид
$ln y = \int (Q – P ) dx + c$
Точное уравнение
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, где ∂M/∂y = ∂N/∂x.
Решение
$\int M \partial x + \int (N – \frac{\partial}{\partial y}\int M \partial x) dy = c$
, где ∂x означает интегрирование по x при постоянной y.
Однородное уравнение
dy/dx = F(y/x).
Решение
$ln x = \int \frac{dv}{F(v) – v} + c$, где v = y/x. Если F(v) = v, решением будет y = cx.
yF(xy)dx + xG(xy)dy = 0
Решение
$ln x = \int \frac{G(v) dv}{v \{G(v) – F(v)\} } + c$, где v = xy. Если G(v) = F(v), решением будет xy = c.
Линейное однородное уравнение второго порядка
d2y/dx2 + a(dy/dx) + by = 0 , a,b – действительные константы.
Решение
Пусть m1, m2 – корни уравнения m2 + am + b = 0. Тогда возможны три варианта
Вариант 1. m1,m2 действительные и несовпадающие:
$y = c_1 e^{m_1 x} + c_2 e^{m_2 x}$
Вариант 2. m1,m2 действительные и равные:
$y = c_1 e^{m_1 x} + c_2 x e^{m_1 x}$
Вариант 3. m1 = p + qi,m2 = p – qi:
$y = e^{px} (c_1 \cos qx + c_2 \sin qx)$
Линейное неоднородное уравнение второго порядка.
d2y/dx2 + a(dy/dx) + by = R(x), a, b – действительные константы.
Решение
Аналогично предыдущему случаю, возможны три варианта.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Уравнение Коши (или Эйлера).
x2d2y/dx2 + a(dy/dx) + by = S(x) .
Решение
После замены x = et уравнение принимает вид
d2y/dt2 + (a – 1)(dy/dt) + by = S(et)
, и теперь решение его сводится к вышеуказанным вариантам.
Уравнение Бесселя.
x2d2y/dx2 + x(dy/dx) + (λ2x2 – n2)y = 0.
Решение
y = c1Jn(λx) + c2Yn(x).
Модифицированное уравнение Бесселя
x2d2y/dx2 + (2p + 1)x(dy/dx) + (α2x2r + β2)y = 0.
Решение
$y = x^{-p} \{c_1 J_{q/r} (\frac{\alpha}{\gamma}x^r) + c_2 Y_{q/r} (\frac{\alpha}{\gamma}x^r)\}$
, где q = √p2 – β2.
Уравнение Лежандра
(1 – x2)d2y/dx2 – 2xdy/dx + n(n + 1)y = 0.
Решение
y = c1Pn(x) + c2Qn(y).
www.math10.com
Дифференциальные уравнения и краевые задачи от НОУ ИНТУИТ
- Главная
-
Видеотека
-
Естествознание
- Физика
- Математика
- Химия
- Биология
- Экология
-
Обществознание
- Обществознание – как наука
- Иностранные языки
- История
- Психология и педагогика
- Русский язык и литература
- Культурология
- Экономика
- Менеджмент
- Логистика
- Статистика
- Философия
- Бухгалтерский учет
-
Технические науки
- Черчение
- Материаловедение
- Сварка
- Электротехника
- АСУТП и КИПИА
- Технологии
- Теоретическая механика и сопромат
- САПР
- Метрология, стандартизация и сертификация
- Геодезия и маркшейдерия
-
Программирование и сеть
- Информатика
- Языки программирования
- Алгоритмы и структуры данных
- СУБД
- Web разработки и технологии
- Архитектура ЭВМ и основы ОС
- Системное администрирование
- Создание программ и приложений
- Создание сайтов
- Тестирование ПО
- Теория информации и кодирования
- Функциональное и логическое программирование
-
Программы
- Редакторы и компиляторы
- Офисные программы
- Работа с аудио видео
- Работа с компьютерной графикой и анимацией
- Автоматизация бизнеса
-
Прочие
- Музыка
- Природное земледелие
- Рисование и живопись
-
Естествознание
-
Библиотека
-
Естествознание
- Физика
- Математика
- Химия
- Биология
- Экология
- Астрономия
- Обществознание
-
Естествознание
forkettle.ru
